Arthur C. Clarke: matemático, escritor de Ciencia Ficción rigurosa.

El pasado 19 de marzo de 2008, murió en Colombo ( Sri Lanka) el matemático y físico Arthur C. Clarke que había nacido el 16 de diciembre de 1917 en Minehead ( Inglaterra).

Estudió Matemáticas en el King´s College de Londres con calificaciones brillantes
Sus estudios sobre los satélites artificiales en la órbita geoestacionaria hicieron que esta órbita lleve su nombre "Órbita de Clark".

Se dedicó a la divulgación científica escribiendo más de 70 libros. Se hizo famoso por su intervención como comentarista en televisión de las misiones de las naves Apollo y de documentales dedicados al espacio.

Es muy famosa la denominada Tercera Ley de Clarke: "Toda tecnología lo suficientemente avanzada es indistinguible de la magia".

Pero por lo que siempre será recordado es por sus relatos de Ciencia-Ficción , rigurosos y con una base científica y tecnológica. Dos de ellos sobresalen el primero 2001: Una odisea del espacio ( 1968), y el segundo Cita con Rama ( 1973).

- 2001: Una odisea del espacio fue escrita a la vez que se desarrollaba el guión de una excelente e inigualable película de su mismo nombre (1968) dirigida por el gran Stanley Kubrick basado en un relato anterior de Clarke llamado "El Centinela".

Película con escenas y música inolvidables, quién la ha visto jamás olvidará la escena del primate lanzando el hueso al aire , la música de Así habló Zaratustra de Richard Strauss, la llegada de la nave a la estación orbital con la música de vals de Johann Strauss hijo, el conflicto entre la tripulación humana y el ordenador HAL 9000 y el final sorprendente sometido a tantas interpretaciones como espectadores.

- Cita con Rama ( 1972) : Siendo un relato de Ciencia-Ficción sorprende el cuidadoso y exacto rigor científico de toda la obra.

Se acerca un asteroide cilíndrico a la Tierra. Se envía una nave para interceptarlo, que se posa en una de sus bases donde hay una escotilla por la que entran a su interior hueco, desde donde parten tres escaleras "que suben"por la cara interior del cilindro por una especie de planicie dividida en dos por un mar congelado, que se mantienen por una pseudo-gravedad originada por el movimiento de rotación del cilindro. Todo parece un diseño inteligente de seres extraterrestres, con estructuras similares a ciudades, modelos de objetos, robots y quizas seres vivos, dispuestos a ser generados...

Estos dos libros junto a Yo Robot ( 1950) de Isaac Asimov y Crónicas Marcianas ( 1950) de Ray Bradbury son los libros de cabecera de los científicos fieles seguidores de la Tercera Ley de Clarke, y que de vez en cuando conviene releer.

Solución al problema de Galileo

Solución al problema planteado el 20 de febrero de 2008 (Ir al enunciado)

Tomamos una hoja rectangular tal que la longitud de la base mida a unidades y la longitud de la altura mida b unidades y construyamos dos cilindros:

Primero: Cilindro de longitud de la circunferencia de la base a y de altura b.

Tenemos que el volumen del cilindro viene dado por la siguiente igualdad, siendo r el radio de la base tal que su circunferencia mide a.


Segundo: Cilindro de longitud de la circunferencia de la base b y de altura a.

Su volumen viene dado por la igualdad siguiente con R el radio de la base tal que la longitud de su circunferencia es b.


Sólo tenemos que sustituir el valor del radio en cada una de las igualdades y obtenemos:

¿ Son iguales dichos volúmenes?

Si fuesen iguales entonces los numeradores serían iguales, ya que tienen el mismo denominador, es decir, a · a · b = b · b · a que equivale a que a tiene que ser igual a b.

Si a es distinto de b entonces los volúmenes son distintos.

Si tenemos una hoja DinA4 cuyas medidas son 210mm de ancho y 297mm de largo y una calculadora halla según estas fórmulas el volumen de los dos cilindros.

Solución al problema de los exploradores y caníbales

Siguiendo las siguientes instrucciones tenemos resuelto el problema planteado en la entrada de 14 de febrero de 2008. (Ir al enunciado del problema)
Problema: tres exploradores y tres caníbales tienen que pasar un río, disoponen de una barca, que puede como máximo con dos personas y en ningún momento y en ninguna orilla puede haber más caníbales que exploradores.

1.- Cruzan, en la barca, un explorador y un caníbal, y vuelve el explorador.
2.- Cruzan dos caníbales y vuelve uno de ellos.
3.- Cruzan dos exploradores y regresan un explorador y un caníbal.
4.-Cruzan un explorador y un caníbal y regresan un explorador y un caníbal
5.- Cruzan los dos exploradores y regresa el caníbal
6.- Cruzan dos caníbales y regresa uno de ellos.
7.- Recoge al caníbal que está en la orilla y pasan el río.

OTRA VERSIÓN DEL PROBLEMA: Si los tres exploradores saben dirigir la barca y sólo uno de los canibales sabe, y fuese necesario que en todo viaje debe ir uno que sepa dirigir el bote ¿Sabrías hacerlo?

Escribe la siguiente fila

Esta sucesión fue propuesta por César Fernández , alumno de 1º-B de la ESO, y su hermano Víctor antiguo alumno del IES.

¿ Podrías encontrar la siguiente fila?

1.

1,1.

2,1.

1,2,1,1.

1,1,1,2,2,1.

3,1,2,2,1,1.

1,3,1,1,2,2,2,1.

1,1,1,3,2,1,3,2,1,1.

Náufragos y plátanos ( para alumnos de 1º ESO)

Al naufragar su barco, dos marineros y su mono llegan a una isla desierta.
Como no tienen nada que comer, recogen plátanos y se van a dormir.

a) Por la noche un marinero se despierta, da dos plátanos al mono y se come la mitad de los que quedan.

b) Más tarde, se despierta el otro marinero da, también, dos plátanos al mono , con los que quedan hace tres partes iguales y se come dos de ellas.

c) Por la mañana, ven los plátanos que quedan. Los dividen en tres partes iguales y cada uno toma una parte.

En ningún momento se ha tenido que partir ningún plátano.
¿ Cuál es el mínimo número de plátanos que habrían recogido los náufragos?
(Solución publicada el 6 de mayo) (Ir a la Solución)

Torres de Hanoi y Ajedrez: dos leyendas con el mismo número

LEYENDA DE LAS TORRES DE HANOI:

Cuenta una leyenda que en la ciudad de Benarés hay un templo, donde se sitúa el centro del mundo, en el cual, el dios hindú Brahma, en el momento de la Creación puso, verticalmente tres varillas de diamante, colocando en una de ellas 64 anillos de oro puro: el de mayor diámetro en la parte inferior, y los demás por orden descendente de tamaño uno encima del otro, así el anillo que estuviese arriba era el de menor diámetro..

Los sacerdotes del templo debían, trabajando noche y día sin descanso, trasladar todos los anillos de una varilla a otra utilizando la tercera como auxiliar y observando la dos siguientes reglas:

a) Cada vez se mueve un sólo anillo.

b) No colocar un anillo de mayor diámetro sobre otro de menor.

La leyenda dice que cuando los 64 anillos pasen de una varilla a otra observando estas dos reglas llegaría , con un gran estruendo, el final del mundo.

¿ Cuánto tardarían los sacerdotes en cambiar los anillo?¿ cuántos movimientos deben hacer para conseguirlo?

El número de movimientos es el resultado de multiplicar 2 por sí mismo 64 veces y restamos 1 es decir da el número siguiente: deben hacer 18.446.744.073.709.551.615 movimientos.

Si hiciesen cada movimiento en 1 segundo ¿ cuántos años tardaría en llegar el fin del mundo?

(Más adelante en otro artículo, veremos como se calcula este número de movimientos y contaremos la verdadera historia de las torres de Hanoi) Ir a la solución y explicación

LEYENDA DEL AJEDREZ:

Se cuenta que el rey hindú Sheram, al conocer el juego del ajedrez, inventado por un sabio de su corte , llamado Sete , quedó tan maravillado de lo ingenioso del juego y de las variedad de posiciones que en él son posibles, que quiso recompensar a Sete:

- Soy lo bastante rico para cumplir tu deseo más elevado-dijo el rey- pídeme lo que quieras.

- Grande es tu magnanimidad, soberano,- respondió Sete- concédeme un corto plazo para meditar tu deseo.

Al día siguiente Sete se presentó al rey y dejó maravillado al monarca con la siguiente petición:

- Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, por la segunda casilla el doble: 2 granos, por la tercera el doble de la 2ª: 4 granos, por la cuarta : 16 granos, por la quinta 32 granos...

-Sea como dices, recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas, conforme a tu desedo, en cada casilla el doble que en la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad-dijo Sheram.

Sete sonrió, abandonó la sala y esperó a la puerta del palacio.

Por la tarde el rey preguntó si ya le habían dado el trigo al inventor.

- Los matemáticos de la corte lo están calculando- le respondieron

y así un día y otro....hasta que se dieron cuenta que no había esa cantidad de trigo en todos los graneros del reino, yy aunque la tierra toda entera se sembrara de trigo no sería suficiente para satisfacer la recompensa.

¿ Qué cifra de granos de trigo debería recibir nuestro inventor?

¡ASOMBRÉMONOS! 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo ¡LA MISMA QUE LOS MOVIMIENTOS QUE TIENEN QUE HACER LOS MONJES!

( más adelante, también colocaremos en el blog, como se realiza el cálculo para obtener el número de granos de trigo) .

Multiplicación árabe

Se atribuye a los árabes la siguiente manera de multiplicar.

Que la transmitieron a europa.

También nos hicieron llegar el sistema posicional decimal

proveniente de la  India.

¿Cómo multiplicar 482 x 36?

1.- Construimos la siguiente tabla, de 2 filas y tres columna, en la parte superior coloco el multiplicando, 482, cada número en una columna y en el lateral derecho el, multiplicador, 36, cada número en una fila.



2.- Cada casilla la relleno con el resultado de multiplicar el número situado en esa fila por el número situado en esa columna, quedaría del modo: (colocamos siempre en cada casilla dos dígitos, en caso de que sólo tuviese uno, por ejemplo  3 x 2 = 6 , en la casilla se coloca con un 0 a su izquierda, es decir, colocaríamos, 06 , como se ve en la tabla)





3.- Ahora trazo las diagonales de cada casilla del modo indicado en esta figura:

Teniendo cuidado de que en cada casilla, la diagonal pase por el medio de los dos dígitos. ( debe quedar uno a cada lado de la diagonal), del modo:

 Ahora sólo nos queda sumar las líneas diagonales 

a) En la primera diagonal sólo está el 2

b) En la segunda tenemos 6 + 1 + 8 = 15, coloco el 5 y "me llevo una" a la línea diagonal siguiente.

c) Sumamos: 1 (que me llevo) + 0 + 4 + 4 + 4 = 13, coloco el 3 y  "me llevo una" a la línea diagonal siguiente.

d) la siguiente columna será 1 (que me llevo) + 2 + 2 + 2 = 7

e) y en la última sólo que da un uno

Miramos el resultado y obtenemos el 17.352 

Y si i multiplicamos  482 x 36 = 17.352

¿Ingenioso?

Solución al problema de Alcuino de York

(Solución al problema publicado el 4 de febrero) (Ir al enunciado)
Para resolver este problema utilizaremos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Llamaremos x al número de hombres, y al de mujeres y z al número de niños.

Entonces establecemos el siguiente sistema: La primera ecuación dice que el número de hombres más el de mujeres y más el de niños es de 100 habitantes y el segundo dice que las 100 medidas se reparten del modo. 3 a cada hombre, 2 a cada mujer y media a cada niño:

La solución de dicho sistema dependería de un parámetro ( lo vemos en 2º de bacillerato) y sería:

Puesto que las soluciones deben ser números naturales, hemos de tener en cuenta:

1.- Que los numeradores sean mayores que 0.
a) 3z - 200 > 0 ; es decir, 3z > 200 , o lo que es lo mismo z > 66
b) 400 - 5z debe ser mayor que 0 , es decir 400> 5z, o lo que es lo mismo z <80

Luego el número de niños (z) debe estar comprendido entre 66 y 80

2.- Que los cocientes sean números naturales.

Que cumplan esas dos condiciones sólo hay estas seis posibilidades.de las seis propuestas sólo es posible la solución IV , pues, cumple la condición de que los niños estén distribuidos en familias de igual número de hijos con padre y madre ( no hay bastardos, huérfanos ni abandonados) .

sería las 8 mujeres están casadas con 8 hombres y cada familia tiene nueve hijos .

luego la edad del niño es de 9 años.

SAPERE AUDE

El siguiente artículo ha sido publicado en la Revista Escolar y Cultural ÍTACA ( en su nº 9 de febrero de 2008 ) que edita el IES Profesor Máximo Trueba de Boadilla del Monte, Madrid.

En el primer trimestre de este curso se han publicado dos nuevos números, el 6 y el 7. Con la publicación del boletín Matemático y su blog auxiliar “SACIT ÁMETAM”, queremos contribuir a proporcionar herramientas que favorezcan el pensamiento y el saber. En este sentido lo podemos considerar una versión actualizada del “ Sapere aude” , divulgado por Inmanuel Kant (1724-1804) y atribuido a Horacio ( 65 a.C.- 8 a.C.). Expresión que, en su contexto original, se podría traducir por “Ten el valor de usar tu habilidad para pensar”.

La idea de este boletín surgió en nuestro instituto para intentar conseguir que las matemáticas sean sentidas por nuestros alumnos y lectores :

a) Como algo cercano y necesario para el desarrollo del pensamiento y del espíritu crítico.
b) Como una disciplina mental a la que poder recurrir a la hora de pensar o decidir.
c) Como una ayuda esencial a la hora de analizar, y razonar distintas situaciones cotidianas y
d) Como parte integrante de la cultura, de la ciencia y de los avances tecnológicos de nuestra sociedad.

Aunque, siempre se ha cuidado más el aspecto instrumental de las matemáticas, es decir, el conocimiento de destrezas y cálculos, no debemos olvidar su aspecto formativo, o de educación de la mente, y tener siempre presente que “La función principal de las matemáticas no es organizar cifras en fórmulas y hacer cálculos complicados, sino una forma de pensar y de hacer preguntas” como nos dice Eduardo Punset en su libro El alma está en el cerebro ( 2006).

Con estos boletines pretendemos poner nuestro granito de arena para contribuir a la alfabetización matemática a la que se refiere el informe PISA : “la capacidad individual para identificar y entender el papel que las matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en aquellos momentos en que se presenten necesidades en la vida de cada individuo, como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo” ( OCDE, 2003).

Queremos dar las gracias a todos nuestros lectores por su interés, por la aceptación y el entusiasmo con que han leído los diferentes artículos y por las sugerencias que han aportado hasta ahora.

Con el deseo de mejorar la difusión y fomentar la participación de alumnos, de profesores, de padres, de amigos..., en este boletín, hemos creado un BLOG complementario de él y su dirección es la siguiente : http://revistasacitametam.blogspot.com/ . Aquí podéis encontrar desarrollada cada notica , acceder a comentarios, soluciones, fotografías, participar de forma más activa y directa. Esperamos que os guste.

El boletín, así como el Blog, están elaborados y coordinados por Remigio Gómez Bernal y Rosa Hernández Gila, profesores de matemáticas del centro.

Si estáis interesados en algún número, no dudéis en poneos en contacto con nosotros, o bien descargarlo del BLOG o de la página WEB http://ficus.pntic.mec.es/phes0006

Aquí vemos la colección de los siete priemeros boletines editados:

Matemáticas y Elecciones Generales 2008

En los dos siguientes artículos intentaremos aclarar dos cuestiones de la Ley Orgánica 5/1985 de 19 de junio del Régimen Electoral General, que de alguna manera se relacionan con las matemáticas.

A.- ¿ Cuántos diputados se eligen por circunscripción? ¿ Cómo se asigna el número de diputados por cada provincia?

B.- Dentro de una circunscripción, una vez hecho el recuento de votos, ¿cuántos diputados se asignan a cada partido? ¿ Qué método se utiliza para hacer dicha asignación?

( Todo ello viene recogido en los artículos 162 y 163 de la Ley Orgánica citada anteriormente).

TRES OBSERVACIONES:
1.- Primero tener claro que cada provincia constituye una circunscripción, además Ceuta y Melilla, cada una de ellas, también constituyen una circunscripción electoral, escribiremos a partir de ahora indistintamente circunscripción o provincia.
2.- Los datos que figuran en estos artículos están obtenidos de la página web del Ministerio del Interior (elecciones 2004) y del INE ( Instituto Nacional de Estadística)
3.- Vamos a elegir Tarragona como ejemplo por dos razones:
a) Tiene asignados 6 diputados, ni muchos ni pocos, lo que nos permite hacer una tabla de 6 columnas y con una medida óptima para que se vea muy bien ( pues, más columnas quedarían más estrechas y se vería peor)
b) Se le asignan diputados por cuatro partidos y se comprende mejor la forma de asignación del apartado B, ( si hubiese sólo diputados por dos partidos, creemos, se entendería peor).

(Sólo para los que accedan a esta entrada desde el buscador de Google:
Para ver las respuestas a las preguntas A ¿cuántos diputados se eligen por circunscripción?y B ¿cómo se disrtribuyen los diputados entre los partidos? . Entradas publicadas el día 23 de febrero de nuestro blog:

A.- ¿ Cuántos diputados se asignan por circunscripción ( provincia)?

Según el Art. 162 de la Ley Orgánica 5/1985 de 19 de junio.

1.- El congreso está formado por 350 diputados.

2.- A cada provincia le corresponden dos diputados fijos, y a Ceuta y Melilla uno a cada una. (entonces al haber 50 provincias, ya quedan asignados 102 diputados).

3.- Quedan por asignar 248 diputados, del modo siguiente:

3.1.-El total de la población española de derecho se divide entre 248, el número que da se llama CUOTA DE REPARTO.

3.2.- Se divide la población de derecho de cada provincia entre la CUOTA DE REPARTO, la parte entera de ese cociente es el número de diputados que se la asigna más a esa provincia.

3.3.- En este reparto quedan varios diputado por asignar. ( pues al dividir la población de cada circunscripción entre 248 y desechar la parte decimal de cada cociente, la suma de los cocientes tiene que ser menor que 248).

3.4.- Estos diputados se asignan a las provincias que en los cocientes anteriores hayan obtenido un decimal mayor.

Veamos un ejemplo real:

En el año 2005 la población de derecho española era de 44.108.530 habitantes

3.1.- Hallamos la CUOTA DE REPARTO 44.108.530 : 248 = 177.856,9758

3.2. Como la población de derecho en 2005 de Tarragona es de 704.907 habitantes.

Entonces si dividimos por la CUOTA DE REPARTO da un cociente de 704.907 : 177.856,9758 = 3,9633 cuya parte entera es 3

Luego a esta provincia se le asignan 3 diputados más a los dos fijos. TOTAL: 5

3.3- La parte decimal de esta provincia es 0,9633

3.4.- De todas las provincias obtenemos su parte decimal y la ordenamos de mayor a menor.

Los diputados que quedan se asignan a las provincias en este orden el primer diputado a la provincia con mayor parte decimal , el segundo a la que tenga su parte decimal en 2º orden y así... hasta que se asignen los 248.

Tarragona dispone de 6 diputados ( puesto que al colocar en orden las partes decimales , su 0,9633 es de las mayores y le corresponde uno de los diputados últimos que se reparten.)

B.- ¿Cómo se distribuyen, en una circunscripción, los diputados entre los partidos?.

Según el Artículo 163 de la Ley Orgánica 5/1985 de 19 de junio.
La atribución de los escaños en función de los resultados del escrutinio se realizan conforme a las siguientes reglas: ( llamada Ley D´Hont)

1.- No se tienen en cuenta aquellas candidaturas que no hayan obtenido, al menos, un 3% de los votos válidos emitidos en la circunscripción.

2.- Una vez eliminadas esas candidaturas, las restantes se ordenan de mayor a menor según los votos válidos obtenidos.

3.- Formamos tantas columnas como escaños tenga esa provincia y las numeramos: 1, 2, 3..

4.- El valor que se escribe en cada columna es el cociente que se obtiene al dividir el número de votos de cada partido entre el número de la columna. ( cada casilla es el cociente entre el nº de votos de ese partido, a la izquierda, entre el nº de la columna arriba).

5.- Los escaños se distribuyen en orden a los cocientes mayores del cuadro. ( primer escaño al cociente mayor, segundo escaño al siguiente cociente....).

6.- Cuando haya dos casillas con el mismo número al que corresponde escaño, se atribuirá al partido que mayor nº total de votos haya obtenido, en esa circunscripción. Si también fuese igual, el primer empate se resuelve por sorteo y los siguientes alternativamente.

En Ceuta y Melilla, será proclamado electo el candidato que mayor número de votos haya obtenido.

Veamos un ejemplo:

En la provincia de Tarragona, se eligen 6 diputados

1.- El resultado del escrutinio en las Elecciones Generales de 2004 fue:

Entonces los dos últimos partidos, EV-AE y PCPC que no han llegado al 3% se eliminan. Quedando sólo los cinco primeros.

2, 3 y 4.- Ordenamos de mayor a menor los resultados obtenidos en la primera columna, creamos las columnas numeradas del 1 al 6 ( Hay 6 escaños en juego) y en cada casilla se encuentra el cociente entre el número de votos recibido por determinado partido y el número de la columna :

Observamos :

a) que el 41.253 de la casilla verde es el cociente de dividir 82.506 entre 2

b) la casilla en azul 3.652 es el cociente de dividir 14.606 entre 4.


5.- Vamos cogiendo los mayores cocientes el mayor es 136.054, diputado para PSC, el segundo 82.506, diputado para CIU, tercero 76.041, diputado para ERC, cuarto 68.027, segundo diputado a PSC, quinto 65.037, diputado para el PP y sexto y ultimo 45.351, tercer diputado para PSC.

6.- y Así hemos asignado los seis diputados a los diferentes partidos en la circunscripción de Tarrragona.