Fibonacci y Tartaglia ( o Pascal)

Curiosa relación entre el triángulo de Pascal o de Tartaglia con la sucesión de Fibonacci.

Sucesión de Fibonacci y triángulo de Pascal o Tartaglia. Curiosa relación.

(Vista en la página 472 el libro Alex en el País de los Números de Alex Bellos. Grijalbo 2011).
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Esta entrada participa en la edición 3,1415926535  del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia)

Ψ : EL NÚMERO DE PLÁSTICO.

El número de plástico (Ψ) surge en pleno siglo XX, descubierto y utilizado por el arquitecto holandés Dom Hans van der Laan.

Vamos a ver cómo surge y su relación con el número de oro o número áureo (Φ).

1.- Número de oro (Φ ):
Este número estudiado con gran profusión desde la Grecia clásica tiene un número asociado, el de plástico, que generaliza la belleza y armonía, que posee el número de oro, al espacio.


Sabemos que el número de oro, entre otras tiene las dos siguientes propiedades:







¿Existirán más números que las cumplan?
La respuesta es sí , los números mórficos , así se llamó a los posibles números que cumplan esas dos igualdades.

Un número real p > 1 es llamado número mórfico si existen dos números naturales m y n tal que cumplan las siguientes condiciones.






2.- Sólo existen DOS números mórficos : EL DE ORO Y EL DE PLÁSTICO.

El número de oro es un número mórfico ¿Existirán más número mórficos?

La respuesta fue dada por Jan Aarts, Robbert Fokkink y Godfried Kruijtzer de la Delft University of Technology de Holanda, que demostraron que sólo existen dos números con tales propiedades, en su publicación Número Mórficos (2001).

Es decir, el ya citado número de oro (con m =2 y n =1) y otro número llamado el número plástico, ( para m = 3 y n = 4) que fue descubierto, en 1928, por el arquitecto holandés Dom Hans Van Der Laan ( 1904-1991).

Se podría definir este nuevo número como.Si resolvemos esta ecuación, de tercer grado, por la fórmula de Cardano obtenemos que el número de plástico es:
3.- Números mórficos como límite de sucesiones : Sucesión de Fibonacci y sucesión de Padovan.

3.1.- Sucesión de Fibonacci.
Sabemos que el número de oro se obtiene como el límite de la sucesión cuyos términos son los cocientes de dos términos consecutivos, un término entre su anterior, de la sucesión de Fibonacci.

La sucesión a(n) de Fibonacci se genera, siendo n un número natural, de la forma:

a) a(1) = a(2) = 1
b) a(n) = a(n-2) + a(n-1)

Es decir la sucesión de Fibonaci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .....

El número de oro se obtiene como:3.2.- Sucesión de Padovan.
El número plástico también se obtiene como el límite de los cocientes entre de dos términos consecutivos, un término y su anterior, de otra sucesión , la de Padovan.

La sucesión a(n) de Padovan se obtiene de la forma, siendo n un número natural:

a) a(1) = a(2) = a(3) = 1
b) a(n+1) = a(n-2) + a(n-1)

La sucesión de Padovan será:
a(n) = 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65,...

El límite de la sucesión formada por los cocientes de un término y su anterior de esta sucesión da el número de plástico:La sucesión de Padovan recibe el nombre del arquitecto y matemático inglés Richard Padovan nacido en 1935 que traduce al inglés , en 1983, el tratado de arquitectura Architectonic space, escrito por Hans van der Laan

4.- Propiedades geométricas de ambos números.

El número de oro proporcina belleza y armonía en el plano (Divina Proporción), el número de plástico, en el espacio, del modo siguiente:

4.1.- El número de oro tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos rectángulo de oro de lados 1 y Φ y los coloco como en la figura de la izquierda, los puntos P, Q y R están alineados.

4.2.- El número de plástico tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos paralelepípedos (cajas) de plástico, de lados 1, Ψ y Ψ2 colocados de la forma de la figura de la derecha, los puntos P, Q y R están alineados.
Estas propiedades son la base de la belleza y armonía que emana de estos números uno en el plano ( el de oro) y otro en el espacio (el de plástico).

La Proporción Plástica del espacio fue estudiada por el arquitecto holandés Dom Hans van der Laan


Número de plástico y la obra de Van der Laan

Padovan atribuye el descubrimiento del número de plástico al arquitecto holandés Dom Hans van der Laan ( parece ser que el estudiante francés de arquitectura Gérard Cordonnier, también descubre simultáneamente este número al que bautizó como número radiante) .

Dom Hans van der Laan, (1904-1991) , estudió arquitectura en Delft (Holanda).
En 1927 se hizo monje benedictino en la abadía de Oosterhout, donde proyectó en 1938, una ampliación de dicha abadía.

Sus estudios sobre proporciones en las iglesias del Románico le llevan a encontrar en muchas de ellas una relación con la sucesión de Padovan y desarrolla un sistema de proporciones que tienen como base el número de plástico y que aplicará en sus construcciones.

En la construcción de la iglesia de la abadía de Saint Benedictusberg (acabada en 1968) en la ciudad de Vaals (Holanda) van der Laan pone en práctica todos sus estudios sobre la utilización del número de plástico en la arquitectura.

En esta iglesia, empleó las proporciones del número plástico como guía para crear el espacio que andaba buscando y “construir un orden artificial, lógico semejante al orden natural, compatible con él, más aún, que lo refuerce y complete”.

Realizó pocas obras y casi todas religiosas (tres conventos, un monasterio, una capilla y una casa privada)
En 1977 publicó su único trabajo en vida, El espacio arquitectónico, donde expone sus teorías sobre arquitectura.

“El arquitecto, nadie lo negará, es un hombre continuamente ocupado de medidas y números” escribía van der Laan y la primera medida vendría dada por la mente que busca ese número inicial, un número que sea capaz de suscitar belleza, orden, armonía. Capaz de reflejar exactamente lo que buscamos en cada momento. Un “número propiamente arquitectónico”: El número plástico, que nos indica la proporción geométrica ideal en la que se debe fundamentar todos los objetos espaciales.

Van der Laaan no sólo propone que este número sea una norma para determinar las medidas para que un edificio pueda ser armónico, sino que sirva de base para proponer nuevos estudios sobre las leyes de la arquitectura.

Afirma que sólo dándole prioridad al “número arquitectónico” y reflexionando sobre él, se podrá resolver de forma correcta el problema de la forma y el espacio en la arquitectura contemporánea.

Este número sería el número de plástico.

Su máxima en la construcción fue procurar “Que la armonía entre la pared que separa y el espacio separado dependen de proporciones mutuas , que hablan a la inteligencia mediante el lenguaje objetivo del número de plástico” .
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Esta entrada participa en la edición 3.1. del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión este mes es Scientia potentia est

Hallados dos mil billones de decimales de PI

(Artículo publicado en el diario Público, hoy 16 de septiembre).

Investigadores en Yahoo desarrollan un algoritmo con el que han conseguido un nuevo récord en el eterno cálculo del enigmático número.

Nicholas Sze, un investigador de la compañía Yahoo, ha calculado el dígito dos mil billones del número pi.
Para ello, ha utilizado la tecnología Hadoop de computación en la nube de Yahoo, consiguiendo doblar el récord obtenido por un cálculo anterior.
El proceso se prolongó a lo largo de 23 días y se desarrolló en mil ordenadores. Este esfuerzo equivale a un solo equipo trabajando durante 500 años.
La forma de trabajar en este complejo cálculo se basa en un algoritmo denominado MapReduce, desarrollado originalmente por Google, que reparte grandes problemas en pequeños sub-problemas, combinando después los resultados y resolver desafíos matemáticos que de otro modo serían irresolubles.


Se realiza "Troceando pi" :

La búsqueda de versiones más largas del eterno número pi es un pasatiempo largamente desarrollado por matemáticos.
Pero este enfoque es muy diferente al del cálculo que relizó Fabrice Bellard que alcanzó a despejar el dígito número 2,7 billones en enero pasado.

En lugar de calcular el número completo, la fórmula de Hadoop trocea el cálculo en pequeñas ecuaciones, devolviendo el número en una sola pieza. "Nuestra fórmula puede calcular pequeños trozos de pi", explicó Nicholas Sze a la BBC inglesa.

Llegar a ese dígito que roza el infinito no parece tener una aplicación práctica inmediata. Sin embargo, conseguir que equipos informáticos realicen estos cálculos puede ser útil como demostración de lo que nuevos algoritmos podrían conseguir en otros campos, como la criptografía, la minería de datos o la física.

El jueves 4 de octubre de 2007 se publicó en este blog los primeros 800 decimales de PI que se encuentran en el Palais de la Découverte de París

Récord de cifras decimales de PI

El ingeniero de software francés Fabrice Bellard anunció en su web el 31 de diciembre de 2009 que había conseguido un método, 20 veces más eficaz que cualquier otro, para encontrar 2,7 billones de cifras decimales del número pi superando el record previamente establecido por Daisuke Takahashi de la Universidad de Tsukuba establecido en agosto de 2009.
Lo sorprendente y que hace importante este logro es que ha utilizado un PC estándar, de los que tenemos en casa. con un procesador Intel Core i7 a 3GHz y no una supercomputadora como la utilizada en el anterior cálculo por Takahashi.
El ordenador trabajó durante 131 días y necesitó 1 Tb para almacenar tal número de cifras.

Ya en el instituto, Bellard había ideado sus primeros programas para conseguir decimales de pi.
La búsqueda de algoritmos para calcular más cifras decimales del número pi representaba la combinación perfecta de su afición a los ordenadores y de una fascinación por los números irracionales, así que F. Bellard se puso a deducir fórmulas más efectivas que las existentes.
En 1997 ya descubrió una fórmula —variante de la fórmula Bailey-Borwein-Plouffe— para calcular dígitos de Pi en representación binaria, una fórmula hoy por supuesto conocida como fórmula de Bellard y que duplicó el número de decimales de pi

Bellard dice que pronto publicará el programa que utilizó para romper el récord en sus versiones (64-bit) para Linux y Windows .

El 4 de octubre de 2007 publicamos en este blog un artículo sobre el número de cifras de PI y su representación en el Palais de la Découverte de Paris

Descubriendo el número π ( Boletín nº 6 )

En París, en el Palais de la Découverte , en la " Sala de π " hay una cúpula de π decámetros de longitud ( 5 metros de radio ) donde figura el número π con 707 decimales.
William Shanks ( 1812-1882) matemático inglés dedicó 20 años de su vida en calcular, por métodos manuales, decimales de π. En 1873 consiguió llegar al decimal 707 . Se le consideró como un héroe en aquel tiempo y su proeza digna de ser colocada en la cúpula de este museo. Pero, en 1944, D.F. Ferguson descubrió que de los decimales hallados por Shanks , sólo los 527 primeros eran exactos y a partir de ese eran erróneos. Los encargados del Museo de la Découverte tuvieron, entonces, que retirar los últimos 180 decimales y recolocarlos de nuevo.
En 1947 Ferguson ya con una calculadora mecánica obtuvo 808 decimales de π. En 2002, Takahashi y Kanada, utilizando ordenador Hitachi SR8000/MP hallaron 1.240.000.000.000 cifras decimales de π.

Podéis hacer un experimento muy curioso y encontrar muchos decimales de π, es un problema de probabilidad geométrica planteado y resuelto en 1777 por el matemático y naturalista francés Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon. Hazlo y mándanoslo por e-mail lo publicaremos en nuestro blog sacitametam.

“LA AGUJA DE BUFFON”.

Dejamos caer una aguja sobre una hoja rayada y anotamos las veces ( C ) que la aguja corta alguna de las rayas.

Después de lanzar la aguja un número (L) elevado de veces, Buffon comprobó que su experimento estaba íntimamente relacionado con π.

Para obtenerlo, se multiplica esa cantidad (L) por dos y el resultado se divide entre el número de veces que la aguja corta (C) a alguna de las rayas. Cuanto mayor sea el número de veces que se arroje la aguja sobre la hoja, mayor es la aproximación a π.

¿No te parece interesante?.

Nota: La longitud de la aguja debe ser igual a la distancia entre las rayas.

( En el supuesto que la longitud de la aguja fuese menor que la distancia entre las rayas esa fórmula se vería afectada de un factor de corrección que depende de las dos longitudes)

Dedicado a la profesora Carmen López-Manzanares por su París de ensueño

Fuente de "Las Tres Cabezas" ¿Divina Proporción?

Alumnos de 1º y de 3º de la ESO del IES profesor Máximo Trueba de Boadilla del Monte, han descubierto entre las medidas de la fuente de Las Tres Cabezas la "Divina Proporción" máxima expresión de la belleza en la Grecia clásica, armonía divina en la Italia del Renacimiento, canon estético de grandes artistas, diseñadores, arquitectos, músicos..... e incluso de la propia naturaleza, que adopta estas proporciones.
Se encuentra situada esta fuente enfrente del Palacio de D. Luis, en Boadilla del Monte. Se sabe que servía de depósito de agua para todo el recinto ( palacio y jardines) y conectaba directamente con sus cocinas.
La construcción de esta fuente se atribuye al arquitecto madrileño Ventura Rodríguez , al que se le encargó, en 1763, la realización de la obra del Palacio.

RESEÑA HISTÓRICA DEL NÚMERO DE ORO:

La sección áurea era, para Platón, la más hermosa relación entre números, la más reveladora de las proporciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.
Se obtenía al dividir un segmento cualquiera en dos partes “a” y “b” de manera que la razón entre el segmento y la parte mayor “a” sea igual a la razón entre “a” y “b” . Si a + b = x y a = 1 esta razón , es el resultado de la ecuación cuadrada x2 – x – 1 = 0 , cuya solución es x = 1,6180339.....que es el llamado número de oro o Fi
También se puede obtener como la razón del radio de una circunferencia y el lado del decágono regular inscrito en ella.
( En 1900, el matemático Mark Barr le puso el nombre de (Fi) en honor de Fidias ).
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Un rectángulo áureo es aquel cuyos lados mantienen esta proporción, es decir, el cociente entre el lado mayor y el menor da el número = 1,61803....fue considerado como el rectángulo perfecto y de gran armonía.
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En Grecia los edificios, monumentos y las esculturas se construyeron con esa proporción.
Fidias lo utilizó en la fachada del Partenón y en la estatua de Zeus en Olimpia , una de las siete maravillas de la Antigüedad.

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En el Renacimiento, la sección áurea se reedescubrió con Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Durero, Miguel Ángel,....que la utilizaron en sus pinturas, grabados y esculturas. A partir de este momento, palacios, iglesias y edificios se erigieron fieles a esta relación

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El nombre de Divina Proporción proviene de una disertación de Lucca Paccioli, titulada De Divina Proportione, que se publica en 1509, y cuyas ilustraciones se deben a Da Vinci. En este libro se analiza la estética de esta proporción.
Un Stradivarius construido en 1713 se considera el modelo de violín por antonomasia ¡ Asombrémonos! La relación entre su longitud total y la longitud de la caja es el número de oro

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Hoy en día, la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más curioso es en las medidas de una tarjeta de crédito o del DNI . Si dividimos las dos longitudes de un DNI o de una tarjeta de crédito nos da

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Otro ejemplo ,en la arquitectura moderna, es el edificio de la ONU en Nueva York , construido con rectángulos áureos. Y en la naturaleza se dan múltiples casos, como, conchas de Nautilus y otros moluscos que crecen según esta proporción áurea.

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En la mayoría de los campos de fútbol de España, la relación entre el largo y el ancho es alrededor del 1,52 . Así, en Barcelona (1,54), Sevilla ( 1,50), At. Madrid (1,50), Valencia (1,54), At. Bilbao (1,51), Deportivo (1,54) , Real Sociedad (1,50)...., sin embargo, el Santiago Bernabéu mide 106 x 66 y su relación es 1,606 tan sólo a 12 milésimas del número de oro: 1,618
¿ Será porque el Real Madrid juega en un rectángulo de oro por lo que ha sido elegido el mejor equipo mundial del siglo XX?

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Y, por último, en Boadilla del Monte en la fuente de “ Las Tres Cabezas”, nuestra localidad , tenemos un buen ejemplo de la perfección estética del número de oro.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD:

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a) Los alumnos se organizan en grupos de 5, cada grupo dispone de un flexómetro, de una foto o croquis de la fuente, de una máquina de fotos, de papel y lápiz.

b) Se efectúan las mediciones: Dos alumnos utilizan el flexómetro para tomar las longitudes horizontales del monumento ( medidas directas). Otros dos alumnos se dedican a medir en vertical distintas alturas, para ello deben conocer la altura de un sillar y después contar el número de sillares que hay en los distintos rectángulos que mediremos( medidas indirectas).
Y el quinto alumno anota los datos que se van obteniendo.

c) Se fotografía la actividad : Los alumnos harán fotografías a la fuente y al desarrollo de la actividad.

d) Con las medidas se hacen los cálculos en el aula: Una vez en clase se determina qué posibles rectángulos pueden ser áureos. Con las diferentes medidas se hallan sus razones par comprobar si son áureos o no. Por otra parte, sabiendo que la razón de las medidas de un rectángulo áureo es se buscan otros posibles rectángulos que lo cumplan.
Todo ello quedará reflejado en una ficha
Con la ayuda de las fotografías se hallará su escala y se podrá encontrar medidas que no se han tomado y se necesiten.

e) Una vez realizada la actividad el grupo elaborará un trabajo con los resultados obtenidos.

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CONCLUSIÓN:

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Una vez realizados los cálculos en clase podemos concluir que :

La DIVINA PROPORCIÓN ( EL NÚMERO DE ORO ) se encuentra en la fuente de las tres cabezas en los rectángulos siguientes:

Por lo que la Actividad, ha resultado un éxito, puesto que, el error cometido se puede considerar despreciable, observamos que en el último rectángulo el error es tan sólo de una milésima ( Recordamos que Fi = 1,618....)

y con esto finaliza nuestro descubrimiento.

Esta actividad fue llevada a cabo por los alumnos de 1º ESO-C; 1º ESO-D; 3º ESO-E y 3º ESO-ED y coordinada por los profesores: Rosa Hernández Gila; Pedro Hernández Sánchez y Remigio Gómez Bernal , los días 27 de marzo y 10 de abril de 2007