Arte contemporáneo y Matemáticas

¿Qué tienen en común los directores de cine David Lynch y Takhesi Kitano, la cantante Patti Smith, los fotógrafos Hiroshi Sugimoti y Raymond Depardon, la artista plástica Beatriz Milhazes y las Matemáticas?

El 21 de octubre La Fundación Cartier de París, inauguró la exposición Mathématiques un dépaysement soudain que se podrá disfrutar hasta el 18 de marzo de 2012.

Durante tres años la colaboración entre artistas de la talla de David Lynch, Patti Smith, Raymond Depardon, Takeshi Kitano o Hiroshi Sugimoto, y científicos y matemáticos como Misha Gromov, Don Zagier, Michael Atiyah o Cédric Villani han hecho realidad esta exposición.

Se pretende, "convertir el pensamiento abstracto de las matemáticas en una experiencia sensible e intelectual apta para todos" según palabras del director de la Fundación Hervé Chandès.

"Su objetivo es convertir las matemáticas en una especie de experimento sensorial, que los artistas imaginen su obras inspiradas en la lógica científica, y encontrar maneras nuevas de ilustrar lo abstracto" explica uno de los comisarios de la exposición, Thomas Delamarre.

Se busca provocar en el visitante esa "desconexión repentina" (dépaysement soudain) que da título a la exposición expresión con la que el matemático Alexandre Grothendieck (nacido en Berlín 1928, medalla Fields en 1966)) define esta disciplina.

La idea de que esté instalada en la Fundación Cartier y no en un Museo de las Ciencias es porque no se quiere explicar conceptos o teorías matemáticas, sino transmitir el gusto por el pensamiento matemático a través de un lenguaje estético. Queremos demostrar que las matemáticas pueden ser elegantes y divertidas como asegura Delamarre.

Pese a lo inédita y especializada que pueda parecer, la muestra se dirige al gran público, no es necesario saber matemáticas. Los artistas elegidos para participar son ampliamente conocidos, abiertos y curiosos y han aceptado este reto de buscar respuestas estéticas a las matemáticas.

Participantes en la exposición:

1.- Entre ellos figura el director de cine David Lynch (nacido en Montana, 1946), Lynch ha imaginado una estructura en forma de cero, que conduce al visitante hacia la denominada Biblioteca de los Misterios. En su interior, Lynch repasa, a través de vídeos y sonidos sugerentes, la historia de las matemáticas. Los grandes matemáticos pasan por el filtro lynchiano, que convierte sus teorías y hallazgos en inquietantes proyecciones de caleidoscopio.

En la sala contigua, Lynch junto a Takeshi Kitano, cineasta japonés nacido en 1947, y Beatriz Milhazes han ideado la escenografía de la Sala de los Cuatro Misterios, en la que se exponen los últimos avances de la investigación matemática a través de otro vídeo filmado por Lynch en el CERN de Ginebra.



2.- La cantante y compositora estadounidense Patti Smith, ( nacida en Chicago, 1946) se suma al proyecto cantando textos del gran matemático Misha Gromov, ( matemático ruso nacido en 1943, recibió el premio Abel en 2009).

"Siempre he adorado la perfección de la geometría, aunque mi relación con ella es de orden estético. Esta exposición celebra ese tipo de belleza intrínseca y nos recuerda que la matemática es la reina de las ciencias", asegura Smith.

3.- Por su parte, el artista conceptual japonés Hiroshi Sugimoto, (fotógrafo japonés nacido en 1948) el más familiarizado de los presentes con el universo matemático, contribuye a este exposición de las ciencias exactas con una escultura de tres metros de altura que traduce la abstracción matemática.

4.- El fotógrafo y documentalista francés Raymond Depardon, (nacido en 1942) realiza para la muestra un documental en blanco y negro, como una tiza sobre la pizarra, donde se entrevista a varios matemáticos y se comprueba la pasión por esta ciencia y la plasticidad de sus diagramas y teoremas. Se concluye de manera directa que las matemáticas son una experiencia de gran valor estético .

5.- la artista brasileña Beatriz Milhazes, nacida en 1960, inspirándose en las tablillas de Sangaku que los japoneses en el siglo XVIII colocaban en sus templos con ilustraciones de figuras geométricas , ha compuesto un collage en el que las ecuaciones que gobiernan fenómenos como la irisación, el vuelo de las aves o la morfogénesis hacen entreveer la matemática que hay detrás. "incluso el fuego se rige por los números".



En esta exposición se consigue ver el gran poder estético y sensorial de las matemáticas en manos de grandes artistas, se visualiza los grandes conceptos y teorías para crear belleza.

Una buena razón para visitar París. este invierno.

( de un artículo de Público de Alex Vicente París publicado el 21/10/2011))

Triángulo de Reuleaux

        El triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante es decir, la distancia entre cualquier punto de una de las curvas y el vértice opuesto es siempre la misma y además, tiene la propiedad de que puede rodar entre dos rectas paralelas tocando siempre un punto de una y otro punto.

         Esta curva fue desarrollada como una "forma de mecanismo útil" por  Franz Reuleaux (1829 – 1905) ingeniero alemán al que se considera el  padre de la cinemática.

Franz Reuleaux (1929-1905)

                                                       

       Construcción de un triángulo de Reuleaux:

        Se obtiene partiendo de un triángulo equilátero de lado L . Trazando, con centro en cada vértice, arcos de circunferencia de radio L entre los dos vértices opuestos.

    

        También se puede obtener como la intersección de tres circunferencias.
    Perímetro y Superficie de un triángulo de Reuleaux.

        El perímetro de dicho "triángulo" es la suma de los tres arcos de circunferencia de radio L, siendo L el lado del triángulo equilátero 

                                                         Perímetro  = Pi * L

        

        Es el mismo perímetro que el de todas las curvas de anchura constante L, 

    Coincide, pues, con el perímetro de una circunferencia de diámetro L (curva de anchura constante L).

       Coincide con el producto de PI por la distancia entre las paralelas, respecto a las que tiene longitud constante (Teorema de Barbier).

        La superficie de este "triángulo" de diámetro L es la menor de entre todas las figuras de un ancho constante dado: L , siendo el círculo, de diámetro L la figura de mayor superficie de todas ellas. (Teorema de Blaschke-Lebesgue).

        El área de dicho triángulo y el perímetro de dicha figura viene dado por las igualdades:

    Curiosidades del Triángulo de Reuleaux:

        1.- Alcantarillas con tapas que no caigan en el agujero.

        Debido a que todos las distancias de un vértice al arco opuesto son iguales , el triángulo Reuleaux, responde a la pregunta "Además de un círculo ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través del agujero?".

        En San Francisco (California) podemos encontrar este tipo de tapas de alcantarillas del Departamento de Aguas de San Francisco (SFWD).

    2.- Figuras de ancho constante utilizadas como rodillos.

        Existen figuras distintas del círculo con la propiedad de que en cualquier dirección que se tomen, su ancho es el mismo y por tanto, usadas como secciones de rodillos, funcionan tan bien como los rodillos circulares.

        La figura más sencilla después del círculo con esta propiedad es el triángulo de Reuleaux. El que sea de ancho constante, implica que si inscribimos el triángulo entre dos paralelas, siempre las tocará, giremos el triángulo como lo giremos.

        Si además de esas dos paralelas, pongo otras dos perpendiculares (formando un cuadrado en la intersección), el triángulo deberá SIEMPRE tocar las cuatro lineas, los cuatro lados del cuadrado, se le gire como se le gire:

        Aunque, no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotación, pues, el centro describe un pequeño círculo.


    3.- Brocas para hacer agujeros cuadrados:

            Puede resultar extraño, pero este triángulo permite construir brocas para hacer agujeros prácticamente cuadrados. El área que describe esta broca al girar cubre un 98,77 % del área de un cuadrado, con las esquinas ligeramente redondeadas, y permitiendo la realización de tan peculiar agujero. Esta broca fue inventada en 1914 por Harry Watt.




        Pero nos falta un detalle, que la taladradora tenga el eje descentrado, que describa un pequeño círculo en cada rotación, para que al girar la broca perfore un sección cuadrada,

        (Vemos en el siguiente video una animación de cómo funcionaría una "broca de Reuleaux" para hacer un agujero cuadrado).

4.- Motor Wankel

        El motor Wankel es un tipo de motor de combustión interna, que fue inventado por Félix Wankel en 1924 y que en vez de pistones como los motores convencionales utiliza un rotor, en forma casi de triangulo de Reuleaux. ( los vértices están un poquito curvados).

        

Aunque con algunos inconvenientes, se fabricaron motos Norton y Suzuki RE-5 con este tipo de motor y de manera ocasional se fabricaron, también, coches como el Ami M-35 de Citroën, entre 1961 y 1979, y el C-111 de Mercedes Benz también en los años 60 y 70 .

 

 
        Mazda es la marca que más modelos de coches a fabricado con este tipo de motores. Como curiosidad, en 1991, Mazda consiguió vencer en las 24 horas de Le Mans con el modelo 787B con un motor con cuatro rotores wankel.

         Hace pocos años, en 2003, Mazda relanzó el motor wankel con su modelo RX-8 con dos rotores, en la foto aparece el modelo fabricado en 2010.

5.- Arquitectura

        Esta figura por su elegancia y por la sencillez de su trazado (intersección de tres circunferencias) ha sido un motivo muy utilizado en arquitectura sobre todo en el periodo del Arte Gótico, vamos a destacar:

        En El Monasterio de Nuestra Señora de la Oliva , en Carcastillo, (Navarra) (foto izqda.) y en la Catedral de Ciudad Rodrigo (Salamanca) (Foto derecha) vemos dos ejemplos de este triángulo en la decoración de sus claustros.

        En el claustro de la Abadía cisterciense de Hauterive, fundada en 1138, en Posieux (Suiza) podemos también observar tres triángulos de Reuleaux inscritos en una circunferencia. Observemos la cantidad de geometría que hay en los distintos arcos de este claustro.

        En Madrid la Torre Sacyr , el tercer rascacielos más alto de España, con 52 plantas y una altura de 236 metros, acabada de construir en 2008 tiene planta de Triángulo de Reuleaux.

        Entre objetos con forma de Triángulo de Reuleaux están las pastillas Smint y lápices con esta forma por suponerla más ergonómica.


Incluso varias monedas, de distintos valores, se han acuñado en las Islas Bermudas tienen esta forma:

y otros muchos más que puedes ir descubriendo.

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Este artículo participa en la Edición 2.7. del Carnaval de Matemáticas de octubre de 2011, en esta edición el blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia

Paradoja: El cuerno de Gabriel o La Trompeta de Torricelli.

El Cuerno de Gabriel, también, llamado Trompeta de Torricelli, es una figura geométrica que se caracteriza por tener una superficie infinita que encierra un volumen finito.


Esta figura, fue ideada por el matemático y físico Evangelista Torricelli,( 1608-1647) que demostró que la superficie generada por la hipérbola “y = 1/x”, al girar sobre el eje x , con x tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.



Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso para el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito que hizo intervenir almismísimo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

¿Puede una superficie infinita encerrar un volumen finito?
Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.
Si a tiende a infinito la superficie es infinita


Se dieron, en aquel tiempo, varias explicaciones a esta paradoja.
Una de esas soluciones es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Pero, esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura que contenga sea infinita.
También se barajaba, que una trompeta de estas características no se podría construir, que si alguien invetase una pintura con átomos o moléculas sin grosor necesitaríamos una cantidad infinita de tiempo para pintarla y llegar al fondo e infinita cantidad de pintura que necesitaría un infinito espacio para almacenarla......
¿Qué opinas tú?

Teorema de Viviani: elegante y sencillo

El Teorema de Viviani dice que la suma de las distancias, de un punto P situado en el interior de un triángulo equilátero, a los tres lados, con independencia de la situación donde esté el punto es igual a la altura del triángulo.

Este teorema debe su nombre al matemático italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) nacido en en Florencia. Galileo Galilei quedó tan impresionado por el talento de Viviani que lo contrató como colaborador con sólo 17 años, trabajaron juntos, en su villa de Arcetri, donde se había retirado al ser condenado por la Iglesia, hasta su muerte en 1642.

Tras la muerte de Galileo, Viviani recopiló y publicó su obra en 1655 y además escribió una biografía de Galileo que fue publicada póstumamente en 1717.

En el museo de Historia de Florencia se encuentra la pintura de Tito Lessi que muestra a Galileo Galilei junto a su asistente Vincenzo Viviani.

En 1690 publicó la versión italiana de los Elementos de Euclides y tradujo trabajos de Arquímedes y Apolonio.
También hizo estudios de ingeniería y resistencia de materiales. Junto con Borelli calculó la velocidad del sonido en el aire, que dio como resultado 350m/s. Esta aproximación era mucho mejor que la que se tenía hasta entonces que era de 478m/s y se aproxima a la actual de 331.29m/s.

También, Una curva lleva su nombre La curva de Viviani que está definida como la intersección de un cilindro y una esfera cuyo radio es igual al diámetro del cilindro, con la condición que el cilindro pase por el centro de la esfera.

El Teorema de Viviani es un teorema interesante por la cantidad de demostraciones que tiene y por su utilidad pedagógica a la hora de enseñar geometría, hay varios problemas de ingenio sobre este teorema: ¿En una isla con forma de triángulo equilátero ¿dónde colocar una cabaña de modo que la suma de las distancias a los tres playas sea mínima?....Es asombroso que da igual en qué punto esté. Todos los puntos del triángulo cumplen esa propiedad.

Veamos dos demostraciones: Demostración1, Mostración2

Este artículo participa en la Edición 2.6. del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasion se encuentra albergado en el blog anfitrión La vaca esférica.

Una demostración sencilla del Teorema de Viviani

Una demostración sencilla sería:
1..- Dado el triángulo equilátero ABC de lado a y un punto P en su “interior”.

2.- Construimos los triángulos ABP, ACP, y BCP

3.- El área del triángulo ABC será a•h/2 ( con h la altura del triángulo equilátero ABC)

3.- El área de ABP será a•n/2; la del ACP a •m/2 y la del BCP a •l/2

4.- Igualando a•h/2 = a•n/2 + a•m/2+a•l/2 = a•(l+m+n)/2

de donde se deduce que h = l + m + n siendo h la altura del triángulo ABC.

Esbozo de una "mostración" del teorema de Viviani

Vamos a esbozar geométricamente el Teorema de Viviani .
Como se verá no es una demostración rigurosa, ni siquiera demuestra sino "muestra" este teorema pero pensamos que puede dar bastante juego en alguna clase de la ESO para manipular y trabajar con triángulos equiláteros.


1.- Construimos un triángulo equilátero ABC y un punto P en su interior y trazamos las perpendiculares desde ese punto a los lados y la altura del ABC. (Fig. 1 )

2.- Construimos triángulos equiláteros con un vértice en P en los que esas perpendiculares, son las alturas. ( rayados en verde)

3.- En este ejemplo trasladamos el triángulo, rayado, más pequeño hacia el vértice C. ( también se podría trasladar el triángulo grande al vértice C).

4.- Observamos que la suma de las alturas de los tres triángulos rayados es igual a la altura del triángulo ABC.

Manipulación sencilla donde se nos "muestra" el Teorema de Viviani

Este teorema tiene un sinfín de demostraciones que son muy ilustrativas y que resultan un buen ejercicio de geometría para los alumnos.

La magia del 6.174. La constante y el número de Kaprekar

Leyendo este verano El club McLaurin de Félix Remirez Salinas, un relato matemático, finalista del concurso literario “Relatos Cortos RSME-ANAYA 2009” que está publicado en el libro La conjetura de Borges (2011), recopilación de relatos matemáticos finalistas de dicho concurso aparece el número 6.174 como la constante de Kaprekar.

Este número, que se llama así por el matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar, (1905–1986) que la descubrió en 1949 , tiene una interesante y casi mágica propiedad a saber:

1.- Tomamos un número de cuatro dígitos distintos. ( también sale si hay 2 ó 3 cifras repetidas, sólo con los cuatro repetidos no sale)

2.- Se ordenan de mayor a menor esos dígitos y obtenemos el mayor número que se obtiene de esos dígitos
3.- Ordenamos de menor a mayor obteniendo el menor número posible que se puede formar con esos dígitos.
4.- Los restamos
5.- Si el resto no da 6.174 volvemos a repetir los pasos anteriores, hallamos el mayor y menor número que se pueden formar con esos dígitos y restamos.
6.- y así sucesivamente entonces SIEMPRE se llaga al 6.174.

Ejemplo:
1.- Sea el 6.354
2.- Se forman el 6.543 y el 3.456 que restamos y da 3.0873.

3.- Con 3.087 se forma 8.730 y 0.378 que restados da 8.3524

4.- Con 8.352 se forma 8.532 y 2.358 y restados da 6.174

Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras y en un máximo de 7 pasos se llega al número 6.174. Curioso, ¿verdad?.

Si para los números de 4 cifras existe una constante de Kaprekar, ¿Existirá para los de tres, y de cinco…?

Para los de tres sí existe es el 495. Para los de 5 no existe.

Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otro número de dígitos no se llega a ninguno sino a ciclos,( con 5 cifras y 7) o por qué para complicar la cosa a veces se llega a varios números posibles ( con 8 y 9 cifras) y también a varios números y ciclos( para 6 cifras y 10) . ¿Habrá algún número con más dígitos que converja en un solo número parecido al 6174? No se sabe. Es uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, y bien podría ser simplemente algo puramente circunstancial: una gran coincidencia.El nombre de Kaprekar además de estar asociado a su constante está asociado a los números de Kaprekar.

Un número de Kaprekar es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original.

Ejemplos de números de Kaprekar

Ejemplo1: El 9, pues, 9 al cuadrado es 81 que se descompone en 1 + 8 = 9
Ejemplo2: El 297 su cuadrado es 88209 y vemos que 88 + 209 = 297
Ejemplo3: El 703 pues 703 al cuadrado es 494209 que se descompone en 494 + 209 = 703

En base 10 los primeros números Kaprekar son : 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, …
En base 2 todos los números perfectos son números de Kaprekar.
En cualquier base existen infinitos números de Kaprekar, en particular, dada una base b, todos los números que resultan de restar la unidad a b elevado a n , con n un número entero son números de Kaprekar.
Así en base 10 :
100 -1 = 99, también 1000-1 = 999; también 1000 -1=9.999;...

Sobre Espirales

ESPIRAL LOGARÍTMICA O ESPIRAL MARAVILLOSA

Es la espiral más común en la naturaleza. Esta forma geométrica se puede encontrar en las conchas de los moluscos, en las galaxias, en los patrones meteorológicos, en los patrones de vuelo de aves e insectos y en los patrones de construcción de las telarañas.

Fue investigada por Jakob Bernoulli, que la llamo Spira Mirabilis (Espiral Maravillosa). Impresionado por sus propiedades, pidió que fuera grabada en su tumba (Basilea 1782) con la máxima “eadem mutata resurgo”, aunque por error se grabó una espiral de Arquímedes.

La espiral logarítmica se distingue de la de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica.

Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. La Vía Láctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.

Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.

ESPIRAL HIPERBÓLICA O ESPIRAL RECÍPROCA.

Es también llamada Espiral Reciproca y es considerada la espiral inversa a la de Arquímedes. Es uno de los tipos de espiral más comunes en la naturaleza. Se halla generalmente en las conchas de los moluscos (en especial de la familia Gasterópoda) y en los centros de las flores.

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES O ESPIRAL ARITMÉTICA.

La espiral de Arquímedes fue descrita por Arquímedes en su libro De las Espirales en el siglo III antes de Cristo., se llama también espiral aritmética.

Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que a su vez gira alrededor de un punto de origen fijo con una velocidad angular constante.
Esta curva se distingue por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes.

Al hablar de espirales, la primer forma que se nos viene a la mente es este tipo de espiral. El matemático Arquimedes utilizo esta sencilla forma para crear la hélice y así poder inventar el "Tornillo de Arquimedes". mecanismo usado hoy en día para transportar líquidos a diferentes niveles verticales.

Las espirales representan la fuerza de vida. Muy típica de las espirales celtas es la espiral de tres brazos o "trisquel".

ESPIRAL DE CORNÚ O CLOTOIDE (véase boletín nº 15, junio 2009 ).

La espiral de Cornú o clotoide, en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.

Por ello, en el punto origen de la curva, el radio es infinito y se usa en la construcción de carriles de aceleración y deceleración en las autovías, autopistas, vías ferroviarias y montañas rusas.

Los loops (vueltas) son arcos de clotoide, ya que su forma alargada y simétrica evita la influencia de la fuerza centrípeta en los vehículos al tomar las curvas.

ESPIRAL DE FERMAT. ESPIRALPARABÓLICA

Espiral Parabólica es un tipo de espiral poco común en el mundo natural, la espiral de Fermat se halla más que todo en los cálculos y las ecuaciones para determinar coordenadas.

Llamada así en honor al científico y matemático Pierre de Fermat, la espiral de Fermat es considerada una versión más avanzada de la Espiral de Arquimedes. También es conocida como la Espiral Parabólica.

ESPIRALES EN EL ARTE: LA ESPIRAL DE DURERO

En 1525, Alberto Durero (1471-1528) famoso grabador y pintor del Renacimiento alemán, publica una obra titulada:” Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”.

En ella enseña varios métodos para construir diversas figuras geométricas. Entre esas figuras, destaca la construcción con regla y compás de algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero. Esta espiral es muy famosa en el arte ya que tras ella se encuentra el número de oro .Se construye a partir de los rectángulos áureos, que son aquellos en que la razón de sus lados es fi, ɸ, el número de oro.

CONSTRUYE TÚ PROPIA ESPIRAL DE DURERO

No es ni una espiral de Arquímedes ni una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás.

Sin embargo se aproxima más a la logarítmica.

Si a un rectángulo áureo le quitamos un cuadrado de lado, el lado menor del rectángulo, el rectángulo que queda es semejante al primero, luego, también, áureo.

Construimos una sucesión de rectángulos áureos y cuadrados encajados y unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, con centro otro vértice del mismo cuadrado, uniendo estos arcos obtenemos la Espiral de Durero.

SUCESIÓN DE FIBONACCI : La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales: 1,1,2,3,5,8,13,…….¿Sabrías continuarla?.Al construir rectángulos cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo y puedes dibujar la espiral de Durero.