Paradoja: El cuerno de Gabriel o La Trompeta de Torricelli.

El Cuerno de Gabriel, también, llamado Trompeta de Torricelli, es una figura geométrica que se caracteriza por tener una superficie infinita que encierra un volumen finito.


Esta figura, fue ideada por el matemático y físico Evangelista Torricelli,( 1608-1647) que demostró que la superficie generada por la hipérbola “y = 1/x”, al girar sobre el eje x , con x tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.



Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso para el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito que hizo intervenir almismísimo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

¿Puede una superficie infinita encerrar un volumen finito?
Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.
Si a tiende a infinito la superficie es infinita


Se dieron, en aquel tiempo, varias explicaciones a esta paradoja.
Una de esas soluciones es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Pero, esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura que contenga sea infinita.
También se barajaba, que una trompeta de estas características no se podría construir, que si alguien invetase una pintura con átomos o moléculas sin grosor necesitaríamos una cantidad infinita de tiempo para pintarla y llegar al fondo e infinita cantidad de pintura que necesitaría un infinito espacio para almacenarla......
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