martes, 13 de septiembre de 2011

La magia del 6.174. La constante y el número de Kaprekar

Leyendo este verano El club McLaurin de Félix Remirez Salinas, un relato matemático, finalista del concurso literario “Relatos Cortos RSME-ANAYA 2009” que está publicado en el libro La conjetura de Borges (2011), recopilación de relatos matemáticos finalistas de dicho concurso aparece el número 6.174 como la constante de Kaprekar.

Este número, que se llama así por el matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar, (1905–1986) que la descubrió en 1949 , tiene una interesante y casi mágica propiedad a saber:

1.- Tomamos un número de cuatro dígitos distintos. ( también sale si hay 2 ó 3 cifras repetidas, sólo con los cuatro repetidos no sale)
2.- Se ordenan de mayor a menor esos dígitos y obtenemos el mayor número que se obtiene de esos dígitos
3.-
Ordenamos de menor a mayor obteniendo el menor número posible que se puede formar con esos dígitos.
4.-
Los restamos
5.-
Si el resto no da 6.174 volvemos a repetir los pasos anteriores, hallamos el mayor y menor número que se pueden formar con esos dígitos y restamos.
6.-
y así sucesivamente entonces SIEMPRE se llaga al 6.174.

Ejemplo:
1.- Sea el 6.354
2.- Se forman el 6.543 y el 3.456 que restamos y da 3.0873.
3.- Con 3.087 se forma 8.730 y 0.378 que restados da 8.3524
4.- Con 8.352 se forma 8.532 y 2.358 y restados da 6.174

Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras y en un máximo de 7 pasos se llega al número 6.174. Curioso, ¿verdad?.

Si para los números de 4 cifras existe una constante de Kaprekar, ¿Existirá para los de tres, y de cinco…?

Para los de tres sí existe es el 495. Para los de 5 no existe.

Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otro número de dígitos no se llega a ninguno sino a ciclos,( con 5 cifras y 7) o por qué para complicar la cosa a veces se llega a varios números posibles ( con 8 y 9 cifras) y también a varios números y ciclos( para 6 cifras y 10) . ¿Habrá algún número con más dígitos que converja en un solo número parecido al 6174? No se sabe. Es uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, y bien podría ser simplemente algo puramente circunstancial: una gran coincidencia.El nombre de Kaprekar además de estar asociado a su constante está asociado a los números de Kaprekar.

Un número de Kaprekar
es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original.

Ejemplos de números de Kaprekar

Ejemplo1: El 9, pues, 9 al cuadrado es 81 que se descompone en 1 + 8 = 9
Ejemplo2
: El 297 su cuadrado es 88209 y vemos que 88 + 209 = 297
Ejemplo3: El 703 pues 703 al cuadrado es 494209 que se descompone en 494 + 209 = 703

En base 10 los primeros números Kaprekar son : 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, …
En base 2 todos los números perfectos son números de Kaprekar.
En cualquier base existen infinitos números de Kaprekar, en particular, dada una base b, todos los números que resultan de restar la unidad a b elevado a n , con n un número entero son números de Kaprekar.
Así en base 10 :
100 -1 = 99, también 1000-1 = 999; también 1000 -1=9.999;...