Método egipcio de "Regula falsi" para resolver ecuaciones

El Papiro de Rhind o también llamado el Papiro de Ahmes, es un documento de unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho, que contiene una recopilación de 87 problemas de matemáticas entre los que hay fracciones, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, una aproximación del número pi, regla de tres,..... representa una fuente de información valiosísima sobre las matemáticas de aquella época,y aunque hay algunos errores de cálculo, los métodos de resolución son de gran valor, como el que expondremos aquí.

Fue escrito por un escriba llamado Ahmes alrededor del año 1.650 a.C. recogiendo escritos anteriores.

Se encontró en el siglo XIX, fue comprado por el anticuario escocés Henry Rhind en 1858 y se encuentra depositado desde 1865 en el Museo Británico en Londres.

MÉTODO DE "REGULA FALSI":

Lo que nos interesa, en este artículo, de ese papiro es el procedimiento que tenían, los egipcios, para resolver sencillas ecuaciones algebraicas del tipo

x + ax = b y también del tipo x + ax + bx = c,

Muchos siglos antes de  que Al-Kwaritzmi ( 780-850 ), escribiera  el primer tratado de  Álgebra y  estudiase metódicamente la resolución de ecuaciones hasta de segundo grado.

Este procedimiento de resolución se encuentra en los problemas números 24 y el 30 de dicho papiro.

El problema 24 dice "Calcula el valor del montón si el montón y un séptimo del montón es igual a 19" .

El problema nº 30 tiene un enunciado mucho más complejo.

El método que utilizaban los egipcios fue llamado de "regula falsi" o de "falsa posición" y consistía en lo siguiente:

1.- Daban como solución un número al azar y desarrollaban todos los pasos del enunciado con ese número. ( Equivale, en la actualidad,  a sustituirlo en la ecuación)

2.- El resultado que obtenían lo comparaban con el resultado que figuraba en el enunciado del problema.

3.- Ajustaban la solución errónea que obtenían con la que daba el enunciado que era la correcta, mediante una proporción.

4.- Y obtenían la solución correcta:

Resolvamos dos ejemplos, con la notación actual, utilizando este método.

Ejemplo1 : Halla un número tal que si le sumamos su quíntuplo da 36. ( En 1º de la ESO, ya se plantea la ecuación: sería resolver x + 5x = 36).

Veamos como aplicaban este procedimiento:

1.- Daban un número al azar como solución , sea x = 2 esa "solución falsa", al sustituirlo en la ecuación vemos que la suma de 2 con su quíntuplo ( 2 · 5 = 10) es 12 "resultado falso".

2.- El resultado que debería dar es 36. (Como 36 se obtiene multiplicando el resultado falso y ahora como 12 es la tercera parte del dato correcto, 36, entonces el 2 debe ser la tercera parte de la solución. por 3 ).

3.- Luego la solución verdadera se obtendrá multiplicando la "solución falsa" por 3 y da 6.

Por tanto, 6 es la solución de la ecuación inicial.

( Este tercer paso es sencillamente resolver la igualdad 12/36 = 2/x ).

Ejemplo 2: Si a un número le sumo su tercera parte y su doble nos da 40. ¿Cuál es ese número? ( Sería resolver x + x/3 + 2x = 40).

1.- Damos una solución "al azar" sea el 3 (solución falsa).

2.- Sustituimos ese 3 en la ecuación: a 3 le sumo su tercera parte, 1, y le sumo su doble, 6, nos da 3 + 1 + 6 = 10 ( resultado falso).

3.- Pero debería dar 40 ( resultado correcto ) que es 4 veces más que el falso.

4.- Luego "la solución correcta" debe ser 4 veces más que "la solución falsa".

5.- Es decir 3 · 4 = 12 que es la solución correcta.

Ingenioso método y unos 2.500 años antes de que se "descubriera el Álgebra"

Como se ve con una sencilla proporción entre el resultado falso y el correcto, y la solución falsa y la correcta (que no conocemos)  obtendremos la solución. 

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Angela Merkel y las Matemáticas

Angela Merkel, con 17 años, participó en la X Olimpiada Matemática celebrada en Teterow en 1971.

El domingo 13 de febrero, en el diario ABC, vemos un artículo titulado Kasi, la "jefa" en matemáticas, donde relaciona a Merkel con las matemáticas.

"Angela Merkel era la primera de su clase en matemáticas, sin esfuerzo aparente, dominaba los números y tenía preferencia por las cuentas claras" dice Hans Ulrich Beskow, antiguo profesor de matemáticas de la actual canciller alemana.

Merkel se doctoró en Física Cuántica en la Universidad de Leipzig en 1986. Había nacido en Hamburgo en 1954 pero, se trasladó a vivir con pocos meses a la Repúplica Democrática Alemana (RDA), despues de su doctorado, fue investigadora en la Academia de Ciencias de la RDA, y entró en política en 1989, después de la caída del muro de Berlín y desde noviembre de 2005 es Canciller de Alemania

En la siguiente foto aparece, con 17 años, en la X Olimpiada Matemática celebrada en 1971 en Teterow.

"Junto a tus compañeros, alcanza un alto rendimiento para honrar a la RDA" pone el cartel.

Angela Merkel es la del círculo.

Sofía Kovalevskaya: 120º aniversario de su muerte

La matemática Sofía Kovalévskaya nació en Moscú en 1850 y murió el 10 de febrero de 1891, hace 120 años. Fue la primera mujer que se doctoró en Matemáticas y consiguió una plaza de profesora universitaria en Europa (Suecia, 1881).

A los trece años empezó según escribió en sus memorias "Comencé a sentir una atracción tan intensa por las matemáticas, que empecé a descuidar mis otros estudios". Como no entendía las igualdades trigonométricas las dedujo.

En 1865, la familia de Sofia se trasladó a San Petersburgo para que ella y su hermano menor pudieran seguir estudiando. Estudió geometría analítica y cálculo infinitesimal con el profesor Strannoliubski. Que quedó asombrado por la rapidez con la que comprendía complejos conceptos matemáticos
Hasta entonces a las mujeres se les impedía el acceso a la universidad, por lo que para seguir estudiando se casó con Vladimir Kovalevski y pudieron viajar a Heildelberg (Alemania) en 1869, donde tampoco la dejaron acceder a la universidad más que como oyente.
Pronto atrajo la atención de los profesores, que la recomendaron para estudiar en la Universidad de Berlín con Karl Weierstrass, considerado el padre del Análisis Matemático y el mejor matemático de la época. Allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las universidades, pero Weierstrass accedió a trabajar con ella y darle clases en privado entre 1871 y 1874.
En 1874 Weierstrass consideró que los trabajos de Sofia eran suficientes para obtener un doctorado.

Como en Berlín era imposible, lo solicitó en la Universidad de Göttingen, para que se le concediera el doctorado sin examen oral, sólo con los trabajos entregados.
Después de una enorme cantidad de gestiones, la Universidad aceptó y Sofia presentó tres tesis: dos sobre temas de matemáticas , ecuaciones en derivadas parciales y funciones abelianas reducidas a integrales elípticas y una tercera de astronomía sobre la estabilidad de los anillos de Saturno.

Su primer trabajo fue aceptado como tesis doctoral y se le concedió el grado de doctora “cum laude" en 1874. Primera doctora en Matemáticas.

Aunque Weielstrass trató de conseguirle trabajo, ninguna universidad quiso contratar los servicios de una mujer como docente.
Gracias a Mittag-Leffer, alumno de Weierstrass, Sofía pudo dar clases en la Universidad de Estocolmo al conseguir un nombramiento provisional por un año. El 30 de enero de 1884 da su primera clase y el curso siguiente fue nombrada oficialmente profesora por un periodo de cinco años. En mayo de 1889 fue nombrada profesora vitalicia en Estocolmo.
Durante este tiempo Sofia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos.

1.- Sus investigaciones se centran en el Análisis Matemático. Su nombre ha pasado a la historia por el Teorema de Cauchy-Kovaleskaya que formaba parte de una de sus tesis para obtener el doctorado fue publicado en Crelle´s Journal. Es un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales de orden k con condiciones iniciales para funciones analíticas.

2.- Fue reconocida en toda Europa por el estudio de los casos en los que las funciones abelianas pueden reducirse a integrales elípticas que fue publicado en el Acta Mathematica. Las funciones abelianas eran uno de los temas de investigación más importantes del siglo XIX,

3.- Su trabajo sobre los anillos de Saturno, publicado en la revista de Astronomía Astronomische Nachrichten en 1885. representa su aportación a la matemática aplicada.

4.- Su mayor éxito matemático fue su investigación “sobre la rotación de un sólido alrededor de un punto fijo” en el que resolvió las ecuaciones de Euler y por el que obtuvo el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París en 1888, fue la primera mujer que lo obtuvo y más tardeobtuvo el premio de la Academia de Ciencias de Suecia.

Sofia Kovalévskaya muere a los cuarenta y un años, de una enfermedad (gripe).

Según cuenta ella misma en su autobiografía:
"No entendía el significado de los conceptos, pero actuaban sobre mi imaginación, inspirándome un respeto por las matemáticas como una ciencia excitante y misteriosa que abría las puertas a sus iniciados a un mundo de maravillas, inaccesible al resto de los mortales".
Se han emitidos sellos y monedas en recuerdo a esta gran matemática.

Mini-Mates del boletín nº 23

Estas son las Mini-mates que aparecen en el boletín nº 23 .

1.- PARADOJA DEL INFINITO

Tenemos el conjunto de números Naturales y lo
dividimos en dos mitades. Por un lado, los números
Pares y por otro, los números Impares.
Se comprueba que hay el mismo número de elementos
en la caja de los Pares que en la caja de los números
Naturales. ¿Cómo es posible?


2.- Encuentra el número
2.1.-¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras?

2.2.- Averigua tres números enteros cuya suma es igual a su producto.


2.3.-¿En qué cifra termina la siguiente potencia de 7?




3.- Una de primos:
El año 2011 es un número primo que curiosamente es la suma de tres números primos consecutivos, ¿cuáles son?

¡¡ Ha salido el boletín nº 23 !!

Acaba de salir el boletín matemático Sacit Ámetam nº 23 de febrero de 2011.
En el podemos encontrar:
1.- ¿Dónde nació D. Quijote? Un estudio matemático en el que se concluye que el pueblo con más probabilidad de ser cuna del Ingenioso Hidalgo es Villanueva de los Infantes en Ciudad Real.

2.- El Papiro de Ahmes ( o de Rhind) es un documento escrito fundamental para conocer las matemáticas en el Antiguo Egipto.

3.- Inaugurada una exposición matemática en Cosmocaixa, Alcobendas, de título Imaginary. Una mirada matemática, a la vez, la misma exposición itinerante recorrerá varias ciudades españolas.

4.- Varias mini-mates para agudizar la mente.

Puedes ver todos los boletines en PDF pulsando en el siguiente enlace y te los puedes descargar.
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Cita del boletín nº 23

La cita que figura en la portada del boletín nº 23 de febrero de 2011 es la siguiente

La ciencia de la caballería "Es una ciencia-replicó D. Quijote- que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa que el que la profesa....ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas...".

D. Quijote de la Mancha


Esta cita figura en el libro de El Quijote en el Capítulo XVIII de la 2ª parte, está en la página 776 de la edicion del Instituto Cervantes dirigida por D. Francisco Rico y editada en 1998.

Exposición matemática en Madrid: Imaginary. Una mirada matemática

El 21 de enero , con motivo de la celebración del centenario de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), se ha inaugurado en CosmoCaixa, Alcobendas, la exposición Imaginary. Una mirada matemática, que pretende seducir al visitante, por la belleza que esconden las ecuaciones matemáticas , sus simetrías y sus singularidades.

Esta exposición ha sido creada por el Instituto de Investigación de Matemáticas de Oberwolfach (MFO) de Alemania, y gracias a la participación y colaboración con la RSME, podremos visitarla en Madrid hasta el 6 de junio.
Además existe otra exposición itinerante , con el mismo título, que recorrerá 13 ciudades españolas empezando el 27 de enero en Salamanca y acabando el 17 de mayo de 2012 en Barcelona. En cada una de las distintas ciudades permanecerá por término medio un mes. ( ve dónde y cuando)
En Madrid estará en las instalaciones de la Real Sociedad Matemática entre los días 19 de octubre y 15 de noviembre

Acercar el fascinante mundo de las matemáticas a los ciudadanos es uno de los objetivos principales de la exposición Imaginary. Una mirada matemática, en la que se combinan el arte, la educación y las matemáticas.

La muestra se compone de doce ilustraciones y esculturas en 3D basadas en fórmulas matemáticas a menudo sencillas, así como proyecciones de superficies matemáticas, además, tiene una parte interactiva en la que los asistentes pueden crear sus propias figuras matemáticas y comprobar lo interesante que puede ser la combinación artística entre álgebra, geometría e imagen. El visitante puede crear fácilmente formas bellas y armoniosas con el uso de la pizarra digital y el programa Surfer. (para poder seguir practicando, Imaginary brinda la posibilidad de descargarse este programa, capaz de hacer realidad cualquier ecuación fruto de la imaginación y conseguir que las matemáticas dejen de ser un hueso).

La representación de estas fórmulas se traduce en formas geométricas, algunas de las cuales ya existen en la naturaleza. No en vano la naturaleza ha producido, de manera espontánea y por acumulación de ensayos, formas bellas y armoniosas. Ensayar con el grado, probar con el signo, cambiar los coeficientes y transformar tu imaginación en ecuaciones son algunas de las posibilidades que ofrece la muestra.

Esta exposición nos invita a descubrir no solo la belleza de estas formas, sino lo que las hace posibles; saber qué tienen en común un cruasán, un limón y una peonza, o entender por qué un árbitro nunca se pondría en el centro del campo ante un posible clamor del público.
Imaginary invita al visitante a dejarse cautivar por la belleza de las figuras, que son el resultado del diálogo entre geometría y álgebra, y a explorar un mundo forjado a base de simetrías y singularidades.

Podemos ver una muestra virtual de esta exposición en el siguiente enlace
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Matemáticas para conocer el valor de un jugador de fútbol

Un equipo de investigadores de la Universida Politécnica de Valéncia, ha utilizado una fórmula matemática para conocer la tasación de jugadores de fútbol.

Dicha tasación, está basada en la aplicación de la Teoría Matemática de Decisión Multicriterio o AHP (Analytic Hierarchy Process).

En ella se tienen en cuenta la posición que ocupa en el campo , sus estadísticas deportivas ( número de goles, pases de gol, minutos jugados, asistencias, tarjetas, porcentaje de partidos jugados, tiros a puerta, faltas recibidas….), sus datos personales ( edad, disciplina, capacidad de liderazgo, integración en el quipo, …) , y , por último, sus aspectos contractuales ( fecha de finalización del contrato, resistencia del club a su venta,…).

Este tipo de estudio es de gran ayuda a la hora de elegir el jugador idóneo para jugar en una determinada demarcación dependiendo de las necesidades de un club y de la disponibilidad económica.

Este estudio se ha aplicado al caso concreto del jugador del Atlethic de Bilbao y de la Selección Española Fernando Llorente, y ha estimado su valoración en 33 millones de euros ( Enero de 2011) . En este caso concreto se han tenido en cuenta además, los traspasos de otros tres futbolistas, Villa ( del Valencia CF al Barcelona CF), Balotelli, (del Inter de Milán al Manchester City) y Robinho ( del Santos, donde jugaba cedido por el Manchester City, al AC Milán) realizados en la presente campaña como referente de la actualidad del mercado de futbolistas.

El equipo que ha llevado a cabo esta investigación de la Universidad Politécnica de Valencia está formado por Francisco Guijarro, Jerónimo Aznar y Vicente Estruch quienes comenzaron este tipo de estudios trabajando sobre la valoración de bienes tangibles (bienes agrarios y urbanos) hará unos diez años. Más tarde utilizaron la Teoría de Decisión Multicriterio ( AHP) en la valoración de obras de arte y activos ambientales. Ahora parte de este estudio se enfoca a la valoración de deportistas de élite.

Vemos que esta teoría es la misma que la empleada en el artículo para la determinación del lugar de nacimiento de D. Quijote por métodos matemáticos.

¿Dónde nació D. Quijote? Matemáticas "En un lugar de la Mancha..."

        En Villanueva de los Infantes , en la fachada de la iglesia de las Dominicas de la Encarnación, nos encontramos con cuatro placas - fechadas en agosto de 2006 - en las que se expresa el agradecimiento a un equipo de investigación de la Universidad Complutense de Madrid, dirigido por D. Francisco Parra Luna y D. Manuel Fernández Nieto, por el estudio “ El lugar de la Mancha es… El Quijote como un sistema de distancia-tiempo ” en el que se concluye que el pueblo con más probabilidad de ser “Un lugar de la Mancha…” es Villanueva de los Infantes, después de haber tenido en cuenta distintos aspectos sociológicos, literarios, topológicos. 

Dicho estudio se realizó en 2005, con motivo de la conmemoración del IV Centenario de la publicación de El Quijote.

        En la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España , Volumen 102, nº 1, páginas 251-263, publicada en 2008, encontramos el artículo titulado: ¿De dónde era probablemente D. Quijote? Un enfoque estadístico.  (Pulsa en el enlace  para verlo, Ctrl + click, en ventana nueva)

        En dicho artículo, los matemáticos , Fco. Javier Girón González-Torre (Univ. de Málaga) y M. Jesús Rios Insua (Univ. Complutense), nombrada en una de las placas de la iglesia de La Encarnación, aportan tres enfoques matemáticos distintos, para determinar el “lugar que no quiso poner Cide Hamete, por dejar que todas las villas y lugares de la Mancha contendiesen entre sí por ahijársele y tenérsele por suyo”.

    Se parte de :

        1.- La situación del lugar en el Campo de Montiel ( Prólogo; Cap. I; Cap. VII; Cap. LII de la 1ª Parte y en el Cap.VII de la segunda).

        2.- Las distancias recorridas en las distintas salidas de D. Quijote a El Toboso, Puerto Lápice, Sierras Morena y Punto Tarfe ( Munera).

        3.- La velocidad de las cabalgaduras, entre 30 y 35 km. por jornada (Caps. XI, XXVII, 1ª P).

        Por los datos que se aportan en la obra se sabe que tardó dos días en llegar Sierra Morena (Cap. XXIX, primera parte) ; una noche y dos días a El Toboso ( Cap. XXXVII primera parte); dos días y algunas horas a Puerto Lápice ( Caps. XII a XXIV, primera parte); y, entre un día y medio y dos días a Punto Tarfe – Munera - ( Cap. LXXII, segunda parte).

        En el artículo se analizan dos enfoques previos para resolver el problema: 

Por una parte, el enfoque geométrico, y por otra, el de la Teoría de Decisión Multicriterio, y además se añade un tercer enfoque, el estadístico, donde se proponen tres posibles modelos para determinar el "lugar de la Mancha... 

¿Cómo se realiza? Se usan técnicas de selección de modelos y se elige el mejor y, a partir de ahí, se calculan las probabilidades a posteriori de los pueblos candidatos.

Veamos brevemente cada una de ellas

        1.- La solución geométrica del problema consiste en trazar circunferencias con centro en cada uno de los cuatro destinos y radios proporcionales a la velocidad de las cabalgaduras, y después, hallar la intersección de las cuatro circunferencias.

        Se observa que, para una velocidad de 30 km. por jornada las cuatro circunferencias se cortan en un punto muy próximo a Carrizosa. 

Para velocidades mayores a 30 km. por jornada, las cuatro circunferencias no se intersecan en un único punto, hay tres que se cortan en un punto y la cuarta, centrada en Sierra Morena, se aleja de ese punto. Ya que el camino hacia Sierra Morena debe de ser más tortuoso que los otros tres por la llanura manchega.

        Si se aumenta la velocidad hasta llegar a 35-36 km por jornada el punto de intersección se desplaza en una línea hacia Villanueva de los Infantes.

        Con este método se determina un eje Norte-Sur que incluye como posibles candidatos a los pueblos de Alhambra, Alcubillas, Fuenllana, Villanueva de los Infantes y Cózar, y por tanto, desecha todos los demás.

        2.- Un segundo enfoque es el basado en la Teoría de Decisión Multicriterio, complementario del geométrico, que consiste en asignar a cada pueblo candidato P y a cada posible velocidad de las cabalgaduras "v", un vector de discrepancias d = (d1,d2,d3,d4) de cuatro coordenadas, que son las distancias de P a cada una de las cuatro circunferencias consideradas en el caso geométrico.

        Ahora hay que comparar y ordenar todos estos vectores, siendo la solución aquel pueblo P , que para una cierta velocidad "v" minimice todas las coordenadas, es decir, que el vector de discrepancias para ese pueblo sea el vector nulo , d= (0,0,0,0).    

        Después de ciertos cálculos y de definir una función Z que asocia a cada pueblo y velocidad un número positivo para poder comparar los distintos pueblos se llega a que para una velocidad de 34 km por jornada Villanueva de los Infantes hace mínima esa función Z.

        3.-Por último el enfoque estadístico: En este enfoque se va a considerar como datos básicos: la duración de las jornadas y distancias de los pueblos a los destinos que serán importantes para estimar el parámetro estadístico y la duración de las jornadas y coordenadas de los pueblos respecto a un origen de coordenadas.

        Se elige como origen de coordenadas a Venta de Cárdenas, por ser el lugar más al Sur y al Oeste del Campo de Montiel) esto será necesario para calcular las probabilidades a posteriori de cada uno de los pueblos candidatos a ese lugar buscado.

 
        Además de los datos de distancia , velocidad y tiempo ya conocidos , intervienen un parámetro 0 que representa la distancia euclídea desde un punto genérico cualquiera del Campo de Montiel a uno de los cuatro puntos de destino, un factor de inflación de la distancia de un pueblo genérico a un destino, y un factor de variabilidad.

        Con todos estos datos se establecen las hipótesis que dan lugar a tres modelos estadísticos posibles , seleccionada la mejor, aplicado la técnica bayesiana descrita en Girón, Moreno y Martínez (2005), sigue una distribución con una Moda y Media Armónica.

        Finalmente, a partir de esta distribución se calculan las probabilidadaes a posteriori de cada uno de los pueblos candidatos y es de nuevo Villanueva de los Infantes el pueblo más probable, seguido muy de cerca por Fuenllana.

        Para un análisis más preciso y riguroso, consultad el artículo en la revista anteriormente citada, al que podemos acceder en el siguiente enlace. ¿De dónde era D. Quijote?

Las cuatro placas en el convento de La Encarnación, dominicas.

( A Juan y Pilar, infanteña de juventud).

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Matemáticas egipicias: Papiro de Ahmes o de Rhind

    El Papiro de Ahmes, fue hallado en 1858 en Tebas, es un documento escrito en un papiro, en un buen estado de conservación, y se encuentra en la actualidad en el Museo Británico en Londres.

Está en escritura hierática y sus contenidos son de carácter matemático. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Tiene unos seis metros de longitud por 33 cm de anchura.

        También se le conoce como Papiro Rhind , al ser adquirido en Luxor por el arqueólogo escocés Henry Rhind ( 1833-1863).
Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en 1650 a. C., se cree que es una recopilación de escritos anteriores, además de aportaciones originales del propio escriba.

    Comienza con la frase: "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios".

    Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que podría ser un documento con claras intenciones pedagógicas, o un cuaderno de notas de un alumno.

    Para nosotros representa una guía de las matemáticas del Antiguo Egipto, pues es el mejor texto escrito en el que se revelan los conocimientos matemáticos.

      En el papiro aparecen algunos errores, importantes en algunos casos, que pueden deberse al hecho de haber sido copiados de textos anteriores. Aunque en la resolución de los problemas aparecen métodos de cálculo basados en prueba y error, sin formulación y muchas veces tomados de las propias experiencias de los escribas, representa una fuente de información valiosísima.

- Contenido:

    Contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritmética básicas, fracciones, cálculo de áreas y volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica, que han hecho de él un referente obligado para la comprensión de las ciencias matemáticas en el Antiguo Egipto.

    Los egipcios escribían los números fraccionarios como suma de fracciones unitarias (las de la forma 1/n con n natural) por eso, antes de proponer el primer problema Ahmes, para facilitar los cálculos de los problemas, expuso dos tablas:

1.-Una de descomposición de n/10 para n = 1,...,9, en suma de fracciones de numerador la unidad.

2.- y otra en la que se expresan todas las fracciones de numerador dos y denominador impar entre 5 y 101 también como suma de fracciones unitarias.

- Relación de problemas:

Hasta el problema 23 se resuelven por medio de fracciones unitarias.

Del problema 24 al 29 son ecuaciones de primer grado que se resuelven por el método de “regula falsi”.

Del 30 al 34 se resuelven por ecuaciones lineales un poco más complicadas.

A partir del problema 48 trata de geometría, áreas de triángulos, trapecios, círculos…desde el 56 al 60 problemas de pirámides con una trigonometría incipiente.

A partir del 60 proporcionalidad directa e inversa, repartos proporcionales, progresiones…

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¡¡ Ha salido el boletín nº 22 !!

Ya tenemos el boletín número 22 correspondiente al mes de diciembre de 2010. En él encontrarás: a) ¿Cuántos años faltan para que se acabe el mundo? a1) Leyenda de las Torres de Hanoi. a2) Explicación detallada del número de años para el fin del mundo. b) El Instituto Clay da un millón de dólares por la resolución de Los Siete problemas del Milenio . Se resuelve el primero y G. Perelman renuncia al millón de dólares. c) Varias mini-mates propuestas por alumnos del centro d) ¿Cómo Eratóstenes halla la longitud del radio de la Tierra? En la portada un mapa de Eratóstenes con la tierra conocida hasta ese momento. es la primera vez que se utilizan líneas para la latitud y longitud Deseamos que paséis un rato agradable Si quieres descargar otros boletines vete a la página de Boletines Sacit Ámetam donde encontrarás todos.

Cita en el boletín nº 22

La cita que figura en ela portada del boletín nº 22 de diciembre de 2010 es:

" Ninguna investigación humana puede ser denominada ciencia si no pasda a través de pruebas matemáticas".

Leonardo da Vinci ( 1452-1519)