viernes, 8 de febrero de 2008

Eratóstenes: La importancia del procedimiento

Eratóstenes ( 284 a.C. a 192 a.C.) nació en Cirene y murió en Alejandría a los 92 años, fue el primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta, en una época en la que muy poca gente pensaba que el mundo no era plano como una mesa, estudió en Atenas en la escuela de Platón y fue director de la Biblioteca de Alejandría.

Pero, ¿cómo lo hizo?. ¿En qué se basó para hacer la medida del radio de la esfera terrestre?

Lo importante no fue si consiguió la longitud del radio de la Tierra con mayor o menor precisión, sino que con este procedimiento lo que quedaba claro es que la Tierra era una esfera y no un plano, como se creyó hasta casi el final de la Edad Media.

Y esto se hizo en el siglo III a.C. hace más de 2.200 años.

Veremos el procedimiento general que nos resuelve el hallar el radio de la tierra y a continuación el procedimiento que utilizó Eratóstenes ( como caso particular del general).

Observamos la siguiente figura:

Los ángulos que forman los rayos del sol con las estacas son ß y ß´ y se pueden obtener de la siguiente forma: Conocidos estos dos ángulos, podemos hallar el ángulo central observando la figura siguiente:


Como la suma de los tres ángulos del triángulo que se forma es de 180º podemos hacer:Una vez conocido el arco central si conociésemos la longitud de arco que abarca en la circunferencia tendríamos resuelto hallar la longitud de la circunferencia , por una simple "regla de tres" ( si el ángulo A tiene un arco de longitud conocida, el angulo de 360º tendrá una longitud x ) y como consecuencia de ello hallaríamos la longitud del l radio de la tierra, sin más que dividir la longitud de la circunferencia entre 2·pi .

Luego sólo nos faltaría halla la longitud de ese arco. ( es decir la distancia entre las bases de la estacas ) .

Procedimiento utilizado por Eratóstenes:

Si en un momento determinado los rayos del sol incidieran en una estaca sin producir sombra, uno de esos ángulos ( ß ) sería de 0º , entonces se nos simplificaría los cálculos para obtener la longitud del radio.

Veamos la historia y los cálculos:

1.- En aquel tiempo se conocía que la ciudad de Sienne en Egipto ( actualmente es la ciudad de Assuán) en el solsticio de verano ( 21 de junio ), a mediodía , los objetos no proyectaban sombra porque los rayos del sol caían perpendicularmente ( debido a que Sienne se encuentra prácticamente en la latitud del Trópico de Cáncer N 23º 27´), la tradición dice que en ese día el sol se reflejaba perpendicularmente en las profundidades de un pozo.

2.- Sin embargo en Alejandría, más al norte sobre el mismo meridiano, el sol formaba con la vertical un ángulo . Eratóstenes consiguió dar una medida de ese ángulo utilizando un scaphium o gnomon, la medida de ese ángulo era la cincuentaava parte del ángulo completo de la circunferencia (360º), es decir ese ángulo medía 7º 12´.

3.- Faltaba hallar la distancia entre las dos ciudades que fijó en 5.000 estadios, se dice que calculó la distancia por medio de las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades , lo que recorrían diariamente y los días que tardaban de una ciudad a otra.
( un estadio egipcio equivalía a 300 codos y cada codo a 52,4 cm. por tanto un estadio aproximadamente equivale a 157,20 metros).

4.- Entonces si un ángulo de 7º 12' abarcaba un arco de 5.000 estadios, toda la circunferencia cuyo ángulo medía cincuenta veces más, mediría 250.000 estadios.

5.- Para hallar el radio sólo hay que dividir entre 2·¶ ( en el papiro de Rhind los egipcios aproximaban el valor de pi por el resultado que se obtenía al elevar al cuadrado la fracción 16/9 que es igual a 3,1605 ) , por consiguiente, la longitud del radio sería el resultado de dividir 250.000 entre 2 x 3,1604 = 39.550,8 estadios.

6.- Este resultado, utilizando las medidas actuales ( en km. ), sería de 39.550,8 x 157,20 = 6.217.382,8 metros = 6.217,38 kilómetros, longitud del radio de la Tierra estimado por Eratóstenes.

7.- El radio medio de la tierra es de 6.367 km. ( es la media entre el radio ecuatorial y el radio polar).


Obsevamos que el error es mínimo, teniendo en cuenta la forma de medición, ( el ángulo de los rayos del sol con la perpendicular y la distancia de Assuán a Sienne ) , que utilizó Eratóstenes para hacer sus cálculos.

Hay autores que consideran que el estadio equivalía a 185 metros, entonces el error sería algo mayor.

Primero Posidonio y luego Ptolomeo rehicieron los cálculos de Eratóstenes, dando un radio a la tierra menor aún, consideraban la Tierra más pequeña de lo que es.

Se cree que Cristobal Colón conocía estos cálculos de Ptolomeo y en ellos se basó para justificar la viabilidad del viaje a las Indias y a Cipango por el Oeste, al considerar que las medidas eran menores de lo que en la realidad son, no pensó nunca que se iba a encontrar otro continente entre Occidente y las Indias al navegar siempre hacia poniente.

Conclusión: No te quedes en "las ramas" de si Eratóstenes se equivocó mucho o se equivocó poco a la hora de encontrar la longitud del radio de la Tierra, sino en lo verdaderamente importante que con este procedimiento nadie podía poner en duda que la Tierra es esférica.

En este video de octubre de 2011 podemos ver esta explicación.