lunes, 18 de junio de 2012

Altura que alcanza una cometa


Mi amigo  J. A. Muñoz  se ha reencontrado con lo que siempre soñó,  la utilización de cometas, que él mismo construye, en las que instala cámaras digitales de fotografías, para conseguir excelentes fotos aéreas y en las que introduce observadores de peluche protagonistas de sus experimentos.
Me hace partícipe de la historia de la utilización de  cometas para el estudio de la atmósfera  a  finales del siglo XIX y principios del  XX y de los  métodos que se  utilizaban para  el cálculo de  la altura que alcanzaban dichas cometas, por medio de procesos matemáticos y trigonométricos.

Cometa de Harry C. Sauls
El estudio de la atmosfera con ayuda de cometas consistía en elevar una meteorógrafo, a distintas alturas, que registraba datos y que luego se analizaban.
Para conseguir grandes alturas, se utilizaba  un tren de cometas, con una principal que llevaba el aparato registrador, una de seguridad y varias auxiliares encargadas de soportar el peso del cable de sujeción.

Las ventajas  que tenían  las cometas para el estudio de las capas bajas y medias de la atmósfera, en aquellos tiempos, eran :

  -  Economía de gastos de instalación y experimentación
   - Seguridad en la altura que se verifican las observaciones
   - Perfecta ventilación de los meteorógrafos utilizados.

Cometa ideado por  A.Graham Bell 

El único inconveniente era el que se precisaba  el concurso del viento.
Los primeros estudios con cometas se hicieron en el Observatorio de Blue Hill (Massachusetts) a finales del siglo XIX. El 4 de agosto de 1894, siendo A Lawrence Rotch director de dicho observatorio,  se consigue elevar un meteorógrafo en una cometa a una altura de 430 metros. A partir de ese momento se empiezan a perfeccionar  las cometas y los instrumentos meteorológicos y ya en 1900 se consigue elevar un meteorógrafo a 7.000 metros.
Pronto se extiende a Europa este modo de  estudio de la atmósfera y se realizan los primeros levantamientos de cometas en Francia, por Leon Teisserenc de Bort (1855-1913)  en el Observatorio de Trappes,  en  Alemania por Richard Assman (1845-1918) en los Observatorios de Tegel, Hamburgo y Lindenberg  y en   Inglaterra.

El  26 de julio de 1900 en el observatorio metereológico de Tegel, en Berlín, se  alcanzó una altura de 4.300 metros con una longitud de cable de 7.325 metros con un tren de cometas.
El 1 de agosto de 1919  se consiguió elevar un tren de ocho cometas en  Lindenberg  alcanzando 9.740 metros de altitud, con 15 km. de cable. Record que se mantiene hasta la actualidad.

Observación desde barcos
Samuel Franklin Cody (1861-1913) americano al servicio del ejército inglés inventó el sistema "man-lifting-sistem" para elevar por medio de cometas a un observador provisto de un telescopio, un teléfono, una máquina de fotos y un arma de fuego para observación artillera. Este método fue utilizado también desde barcos para avistar otros navíos y protección de convoyes.
Durante la I Guerra Mundial se utilizan las cometas con fines militares para observación del campo enemigo.
En la década de los años 30 se dejaron de utilizar las cometas dando paso a los mejorados  Globos-Sonda y a los primeros aviones para el estudio meteorológico.


MÉTODOS PARA HALLAR LA ALTURA ALCANZADA POR UNA COMETA:

    I.- Por la fórmula de nivelación barométrica
    II.-  Fórmula de Saconney
    III.-  Por triangulación

I.- Por Nivelación Barométrica
Es una fórmula que proporciona la diferencia de altura  entre dos puntos conocidas en esos puntos la temperatura y la presión en el mismo instante. Se precisa un meteorógrafo en tierra análogo al de la cometa para conocer en cada instante presión y temperatura en tierra y en la cometa.






II.- Fórmula de Saconney:
Observador militar
El capitán del ejército francés Jacques Theodore  Saconney (1874-1935) experimentó con cometas para uso militar, como método para la observación del campo enemigo e inicio de la fotografía  aérea durante  la I Guerra Mundial.

Este innovador científico y matemático estableció  una fórmula para hallar la altura de una cometa basándose en  la forma que adquiría el cable  al  elevarse  que  es semejante a un  arco de  circunferencia comose explica en la figura
 Dcha fórmula es:
Se obtiene del modo:

Entonces




Y por último la
III.- Método de  triangulación


Este método se utiliza cuando la cometa sea visible desde tierra.
1.- Se fijan dos observatorios  O  y O´ desde los que se ve la cometa y cuya distancia conocemos.
2.- Se hallan los ángulos de elevación desde cada observatorio a la cometa,  α  y α´
3.- Se hallan los  ángulos, sobre el suelo, formado por  la línea que une  OO´ con las líneas desde cada observatorio a P , el pie de la perpendicular de la cometa,  β  y β´ respectivamente.



 
Conocidos estos cuatro ángulos y la distancia entre los dos observatorios OO´ y utilizando trigonometría básica de 4º de la ESO.


1.- Se halla OP y O´P  lados  del triángulo OPO´ 
2.- Conocido OP se halla PC  en el triángulo OPC por la tangente.
3.- Análogamente conocida O´P se halla CP  en el triángulo O´CP y deberán coincidir.

Este método es el más exacto pero presenta el inconveniente de visualizar la cometa siempre desde los dos observatorios.

(A Juan Antonio Muñoz  biólogo,  informático y sobre todo excelente persona y a  Luís Peña, químico, que me ayudó a entender y deducir la fórmula de nivelación barométrica) 

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Este artículo participa en la edición 3,14159 del Carnaval de Matemáticas alojado en el blog anfitrión de Scientia





miércoles, 23 de mayo de 2012

Templos a la geometría

En Roma y aledaños, podemos encontrar numerosos templos a la geometría.
Sta. María in Trastevere
 En la época medieval, a finales del siglo XII una familia romana de artesanos del mármol , Los Cosmati,  comenzaron a elaborar unos de los suelos más característicos de aquella época  en las iglesias de Roma  y  ciudades cercanas,  los llamados suelos  cosmatescos.
Suelos cosmatescos
El estilo cosmatesco va evolucionando, partiendo de influencias del arte bizantino (mosaicos), del islamista (geometría)  y del gusto clásico de aquella época. Durante cuatro generaciones de arquitectos, escultores y artistas de la familia Cosmati, desde Lorenzo (1140-1210) a Giovanni  (1231-1303), se cuentan  siete,  llenaron los templos del área de Roma, de bella geometría.

Sus pavimentos, con  formas y  diseños de carácter  geométrico,  se forman a base de teselas, normalmente de mármol y otras piedras, raramente vidrio,  de formas y tamaños diferentes y de variados colores que van desde el rojo oscuro de pórfido, al verde de serpentina, dejando el blanco del mármol de Carrara para el fondo. Muchas de estas teselas eran extraídas de las ruinas romanas.

Suelo de la Capilla Sixtina
El motivo principal suele ser círculos en los que se inscriben figuras geométricas de distintas formas: triángulos, paralelogramos, polígonos, círculos…y que se entrelazan entre sí por  características  bandas, formando un conjunto de extraordinaria belleza y armonía.
 
Se pasa, de forma gradual,  de las figuras redondas a las rectangulares, por medio de mosaicos semi-irregulares.

El estilo cosmatesco  fue muy imitado por otros artistas a lo largo de los siglos y en diversos lugares.  El cuadro de Los Embajadores  de Hans Holbein, el Joven, es un ejemplo.
También en la abadía de Westminster se encuentran pavimentos cosmatescos.

El interés matemático de estos mosaicos es, como cabe imaginar, indudable.

Los Embajadores de Hans Holbein
Pavimentos de este tipo se encuentran entre otras muchas en  las basílicas de  San Pedro Extramuros, Santa María de Aracoeli , San Lorenzo Extramuros, Santa María Mayor,  en Santa María in  Cosmedin , y en Santa María in Tratevere, estos últimos rehechos  y restaurados por el arquitecto Virginio Vespignani  (1808-1882) en el siglo  XIX, parece ser que respetando los dibujos y motivos originales.


 Entre las figuras aparecen triángulos de Sierpinski en rojo con pórfido y verde de  serpentina , incluso aunque no fuese un motivo original sino procedente de su restauración,  estos triángulos fuero  anteriores al nacimiento de Waclacw Sierpinski (1882-1969).
Pavimentos cosmatescos con el Triángulo de Sierpinski. En el primero aparecen en la orla exterior, en el segundo en las puntas de la estrella y en el tercero en el centro.
( El tercero, con el Sierpinski en el centro,  se encuentra en Santa María in Trastevere).

Cuando visitemos las basílicas de Roma, no miremos sólo de frente y hacia arriba, miremos también hacia abajo.

(A mis amigos de Arte: Toño Bonet, Rafa Berenguer y Joaquín Agudo)

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Esta entrada participa en la edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, siendo, en esta ocasión el blog anfitrión Gaussianos.

jueves, 26 de abril de 2012

Dimensión de Sierpinski: entre 1 y 2


El viernes 20 de abril, en la conferencia "Las geometrias en la naturaleza" dentro del ciclo Matemáticas en la Residencia impartida por Christiane Rousseau catedrática de matemáticas de la Universidad de Montreal y vicepresidenta de la IMU en la Residencia de Estudiantes,en Madrid, nos enteramos de que existe una concha con el triángulo de Sierpinski y que la dimensión de éste triángulo está entre 1 y 2 y es precisamente 1,58496....

Aunque no recordamos el nombre de la concha, hemos encontrado una foto. (Nos envían comentario, que puede ser el  gasterópodo Conidae "Conus Amadis")

En cuanto a la dimensión de un fractal vamos a dar una idea de lo que se expuso:

La medición de formas fractales obliga a nuevos conceptos distintos a los conceptos geométricos clásicos.

La dimensión de un fractal se basa en la propiedad que tienen de autosimilaridad, es decir, su forma está hecha de copias a distinta escala de la misma figura, cada vez más pequeñas.Si queremos medir con una unidad una objeto fractal, siempre habrá objetos más pequeños que escaparán a la precisión de esa unidad, y se irá repitiendo siempre este proceso.

La idea es tomar un objeto y  ver con cuántos objetos, de una escala menor, la mitad,  lo podemos recubrir.

Entonces, la dimensión de un objeto fractal (X) está relacionado con el número , N  de objetos de longitud L que son necesarios para cubrir el objeto X (Hausdorff-Besicovitch).

Es una generalización de la dimensión euclídea, veamos como entender esta dimensión


1.- Empezamos con un segmento de longitud 1:

Si tenemos un un segmento de longitud 1, lo podemos cubrir con dos segmentos de longitud 1/2, con cuatro de longitud 1/4, con ocho de longitud 1/8... ( son similares a escala la mitad)





2.- Seguimos con un cuadrado de lado 1.

El cuadrado de lado 1 lo podemos cubrir con 4 cuadrados de lado 1/2,  con 16 cuadradpos  lado 1/4, con con 64 cuadrados de lado 1/8  ...(son figuras similares de escala la mitad)



3.- Y ahora con un cubo de lado 1.

Por último,  si tenemos un cubo de lado 1 lo podemos cubrir con 8 cubos de lado 1/2 ,con 64 cubos de longitud 1/4,.....( figuras similares de escala la mitad)






 Comprobamos que la dimensión de una recta es 1 la de un cuadrado es 2 y la de un cubo 3.

Entonces se define la dimensión fractal, como  el exponente D de esas igualdades, siendo N el número de objetos elementales de longitud  L que recubren al objeto X.

 Es decir,


Que podríamos definir como la dimensión de autosimilaridad de un objeto fractal.

4.- Ahora vamos a hallar la dimensión del triángulo de Sierpinski.


Tenemos un triángulo de Sierpinski de L = 1

Es recubierto por tres copias reducidas de triángulos Sierpinski de lado 1/2 y por 9 copias de triángulos de lado 1/4 y así sucesivamente ( copias autosimilares de longitud la mitad)





Utilizando la definición tenemos que


Que es la dimensión del Triángulo de Sierpinski.

5.- Dimensión del copo de Koch:
¿Seríamos capaces de hallar la dimensión del Copo de Koch ?




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Esta entrada participa de la edición 3,141 del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión tiene como blog anfitrión DesEquiLibros. Lectura y Cultura

domingo, 15 de abril de 2012

Mención Liebster a Sacit Ámetam

Este blog ha recbido la mención Liebster a propuesta del Blog Matemáticas a nuestro lado de Eva M. Perdiguero.

La idea de estas menciones es llamar la atención sobre esos blog interesantes que no tienen, a veces, mucha repercusión y que pasan desapercibidos entre el gran público debido a la gran proliferación de blog que surgen diariamente.

Y la forma de hacerlo es muy curiosa ya que quienes reciben una mención deben realizar una tarea que copiamos a continuación.


"Los Premios Liebster" (en alemán "favorito") son una interesante iniciativa destinada a promocionar pequeños blogs, en cuanto al número de visitas y seguidores se refiere, a través de una cadena de premios simbólicos que los propios bloggers otorgan.

Es decir, cada blogger que recibe el premio en reconocimiento a su blog, debe, a su vez, otorgar un nombramiento igual a otros 5 blogs de su elección.

Sólo debe cumplir unas simples normas:

1.- Copiar y pegar el premio en el blog enlazándolo con el blogger que te lo ha otorgado.
2.- Premiar a tus 5 blogs favoritos con la condición de que tengan menos de 200 seguidores y dejarles un comentario en sus entradas para notificarles que han ganado el premio.

3.- Confiar en que continúen la cadena premiando a su vez a sus 5 blogs preferidos.

Para todos los que vamos participando siempre lo más complicado es tener que seleccionar sólo cinco lugares ya que seguro que dejamos excelentes lugares fuera.

Entre los blogs que manejo están:

sábado, 24 de marzo de 2012

Abraham Zacut, matemático salmantino.

Abraham Zacut, matemático y astrónomo de origen sefardí, nació en Salamanca en 1452 y murió en Damasco en 1515.
Estudió matemáticas y astronomía en Salamanca, además tuvo conocimientos también ciencias jurídicas e historia. Fue Catedrático de Astronomía y Matemáticas en su Universidad, según distintos autores, después de 1481, también se cree que enseñó en Zaragoza y Cartagena.

En Salamanca escribe, su obra más importante Almanach Perpetuum celestium motuum , cuyo título original era Ha- Hibbur ha-gadol (El Gran Tratado o Compilación Máxima), en la que incluye las tablas astronómicas que alcanzaron una gran resonancia y fueron utilizadas en toda Europa entre los siglo XV y XVI, sus efemérides están calculadas para el meridiano de Salamanca.
(En el libro de Arturo Pérez-Reverte, La Carta esférica (2000), la clave de la historia está en que el meridiano-referencia de las cartas náuticas es el Meridiano de Salamanca).

El Gran Tratado se escribió en hebreo, y fue escrita a instancia de su protector el obispo de Salamanca, D. Gonzalo de Vivero a quien se la dedica.
La terminó en 1478 y fue traducida al castellano en 1480 por el catedrático de Astronomía, en aquel momento, de la Universidad de Salamanca D. Juan de Salaya.
Más tarde escribió en 1486 una obra de astrología médica titulada Tratado de las influenctas del cielo, en aquella época astrología y astronomía se estudiaban juntas.

En 1492, a causa del decreto de expulsión de los judíos de España , Zacut tuvo que buscar refugio en el reino de D. Juan II de Portugal, donde, al llegar tuvo gran influencia sobre el rey debido a sus estudios aplicados a la navegación, fue nombrado, por el rey, Historiador y Matemático Real, cargo que mantuvo durante el reinado de su sucesor Manuel I.

En 1496 se publica en Leiria, el libro Biur Luhot (Almanaque Perpetuo) con las tablas astronómicas y se tradujo al portugués, por su discípulo José Vizinho, su magna obra Ha-Hibbur ha-gadol , con la que logró una influencia decisiva, en la historia de la navegación portuguesa y española de aquella época, sobre todo como fuente de las primeras tablas náuticas o «regimentos», utilizadas en la época de los descubrimientos y grandes viajes por mar.

También perfeccionó el astrolabio y lo convirtió en un instrumento de precisión, muy utilizado por los grandes navegantes de aquella época.

Sus tablas, utilizadas para calcular efemérides, eran más precisas que las tablas alfonsíes vigentes hasta ese momento y fueron utilizadas, entre otros, por Cristóbal Colón, Vasco de Gama, Martin Behaim, Pedro Alvares Cabral , Fernando de Magallanes,… en sus viajes a América, a la India por el cabo de Buena Esperanza, a dar la vuelta al mundo,…..


Las persecuciones y violencia contra los judíos en Portugal en 1496, en el reinado de Manuel I, le forzaron a irse, a pesar de las buenas relaciones que mantenía con el rey, primero a Túnez donde escribió el Libro de las genealogías (Sefer ha-yuhasim) en 1505, que se traduce como una obra biográfica acerca de los sabios judíos que existieron desde la Misná hasta la época del mismo Zacut, luego se trasladó a Turquía y murió en Damasco en 1515.

Es considerado como el último matemático hebreo-español.

La Biblioteca de la Universidad de Salamanca, muy cerca de la Facultad de Matemáticas y de la Facultad de Físicas, lleva el nombre de este insigne salmantino.

.Esta es nuestra participación en la Edición 3.14. del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en esta ocasión, es el blog Hablando de ciencia

sábado, 3 de marzo de 2012

¡¡ Ha salido el boletín nº 27 !!

Ha salido el boletín número 27, correspondiente al mes de marzo de 2012.

En él encontrarás una breve historia de los Sangakus, tablillas donde se exponían problemas, sobre todo geométricos, en los templos, ya como ofrenda a los dioses, ya como reto a los que allí acudían.

La pretensión de los matemáticos japoneses, con estas tablillas, era conseguir, mediante la contemplación de estas tablillas, que se llegara a una percepción estética que nos hiciese sentir la existencia de una armonía y que nos llevase a poner en funcionamiento la razón para intentar explicar dicha
armonía.

Podéis acceder a él y a todos los boletines anteriores en la página de Boletines Sacit Ámetam, donde los podéis descargar en PDF.

También veréis varios ejemplos de Sangakus en el boletín, con sus soluciones, y así animaros a encontrarlas

Hasta 13 Sangakus encontrarás en distintas entradas del blog:

Cinco primeros Sangakus ( del 1 al 5 ), Otros cinco Sangakus (del 6 al 10) y Tres últimos Sangakus (11, 12 y 13 ). Tres importantes teoremas.

Cita en el boletín nº 27


La cita que figura en la portada del boletín nº 27 de marzo de 2012 es del escritor argentino Jorge Luis Borges (1899-1986) y dice:

"Las matemáticas, al igual que la música, pueden prescindir del Universo"

martes, 21 de febrero de 2012

Ψ : EL NÚMERO DE PLÁSTICO.

El número de plástico (Ψ) surge en pleno siglo XX, descubierto y utilizado por el arquitecto holandés Dom Hans van der Laan.

Vamos a ver cómo surge y su relación con el número de oro o número áureo (Φ).

1.- Número de oro (Φ ):
Este número estudiado con gran profusión desde la Grecia clásica tiene un número asociado, el de plástico, que generaliza la belleza y armonía, que posee el número de oro, al espacio.


Sabemos que el número de oro, entre otras tiene las dos siguientes propiedades:







¿Existirán más números que las cumplan?
La respuesta es sí , los números mórficos , así se llamó a los posibles números que cumplan esas dos igualdades.

Un número real p > 1 es llamado número mórfico si existen dos números naturales m y n tal que cumplan las siguientes condiciones.






2.- Sólo existen DOS números mórficos : EL DE ORO Y EL DE PLÁSTICO.

El número de oro es un número mórfico ¿Existirán más número mórficos?

La respuesta fue dada por Jan Aarts, Robbert Fokkink y Godfried Kruijtzer de la Delft University of Technology de Holanda, que demostraron que sólo existen dos números con tales propiedades, en su publicación mero Mórficos (2001).

Es decir, el ya citado número de oro (con m =2 y n =1) y otro número llamado el número plástico, ( para m = 3 y n = 4) que fue descubierto, en 1928, por el arquitecto holandés Dom Hans Van Der Laan ( 1904-1991).

Se podría definir este nuevo número como.Si resolvemos esta ecuación, de tercer grado, por la fórmula de Cardano obtenemos que el número de plástico es:
3.- Números mórficos como límite de sucesiones : Sucesión de Fibonacci y sucesión de Padovan.

3.1.- Sucesión de Fibonacci.
Sabemos que el número de oro se obtiene como el límite de la sucesión cuyos términos son los cocientes de dos términos consecutivos, un término entre su anterior, de la sucesión de Fibonacci.

La sucesión a(n) de Fibonacci se genera, siendo n un número natural, de la forma:

a) a(1) = a(2) = 1
b) a(n) = a(n-2) + a(n-1)

Es decir la sucesión de Fibonaci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .....

El número de oro se obtiene como:3.2.- Sucesión de Padovan.
El número plástico también se obtiene como el límite de los cocientes entre de dos términos consecutivos, un término y su anterior, de otra sucesión , la de Padovan.

La sucesión a(n) de Padovan se obtiene de la forma, siendo n un número natural:

a) a(1) = a(2) = a(3) = 1
b) a(n+1) = a(n-2) + a(n-1)

La sucesión de Padovan será:
a(n) = 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65,...

El límite de la sucesión formada por los cocientes de un término y su anterior de esta sucesión da el número de plástico:La sucesión de Padovan recibe el nombre del arquitecto y matemático inglés Richard Padovan nacido en 1935 que traduce al inglés , en 1983, el tratado de arquitectura Architectonic space, escrito por Hans van der Laan

4.- Propiedades geométricas de ambos números.

El número de oro proporcina belleza y armonía en el plano (Divina Proporción), el número de plástico, en el espacio, del modo siguiente:

4.1.- El número de oro tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos rectángulo de oro de lados 1 y Φ y los coloco como en la figura de la izquierda, los puntos P, Q y R están alineados.

4.2.- El número de plástico tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos paralelepípedos (cajas) de plástico, de lados 1, Ψ y Ψ2 colocados de la forma de la figura de la derecha, los puntos P, Q y R están alineados.
Estas propiedades son la base de la belleza y armonía que emana de estos números uno en el plano ( el de oro) y otro en el espacio (el de plástico).

La Proporción Plástica del espacio fue estudiada por el arquitecto holandés Dom Hans van der Laan


Número de plástico y la obra de Van der Laan

Padovan atribuye el descubrimiento del número de plástico al arquitecto holandés Dom Hans van der Laan ( parece ser que el estudiante francés de arquitectura Gérard Cordonnier, también descubre simultáneamente este número al que bautizó como número radiante) .

Dom Hans van der Laan, (1904-1991) , estudió arquitectura en Delft (Holanda).
En 1927 se hizo monje benedictino en la abadía de Oosterhout, donde proyectó en 1938, una ampliación de dicha abadía.

Sus estudios sobre proporciones en las iglesias del Románico le llevan a encontrar en muchas de ellas una relación con la sucesión de Padovan y desarrolla un sistema de proporciones que tienen como base el número de plástico y que aplicará en sus construcciones.

En la construcción de la iglesia de la abadía de Saint Benedictusberg (acabada en 1968) en la ciudad de Vaals (Holanda) van der Laan pone en práctica todos sus estudios sobre la utilización del número de plástico en la arquitectura.

En esta iglesia, empleó las proporciones del número plástico como guía para crear el espacio que andaba buscando y “construir un orden artificial, lógico semejante al orden natural, compatible con él, más aún, que lo refuerce y complete”.

Realizó pocas obras y casi todas religiosas (tres conventos, un monasterio, una capilla y una casa privada)
En 1977 publicó su único trabajo en vida, El espacio arquitectónico, donde expone sus teorías sobre arquitectura.

“El arquitecto, nadie lo negará, es un hombre continuamente ocupado de medidas y números” escribía van der Laan y la primera medida vendría dada por la mente que busca ese número inicial, un número que sea capaz de suscitar belleza, orden, armonía. Capaz de reflejar exactamente lo que buscamos en cada momento. Un “número propiamente arquitectónico”: El número plástico, que nos indica la proporción geométrica ideal en la que se debe fundamentar todos los objetos espaciales.

Van der Laaan no sólo propone que este número sea una norma para determinar las medidas para que un edificio pueda ser armónico, sino que sirva de base para proponer nuevos estudios sobre las leyes de la arquitectura.

Afirma que sólo dándole prioridad al “número arquitectónico” y reflexionando sobre él, se podrá resolver de forma correcta el problema de la forma y el espacio en la arquitectura contemporánea.

Este número sería el número de plástico.

Su máxima en la construcción fue procurar “Que la armonía entre la pared que separa y el espacio separado dependen de proporciones mutuas , que hablan a la inteligencia mediante el lenguaje objetivo del número de plástico” .
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Esta entrada participa en la edición 3.1. del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión este mes es Scientia potentia est