martes, 24 de enero de 2012

Tres interesantes sangakus (del 11 al 13)

Sangaku nº 11 . “Primer Teorema Japonés”.
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Llamado también “Primer Teorema de Mikami-Kobayashi” y dice:

"Si en una circunferencia de radio r inscribimos un polígono convexo de n lados y desde un vértice cualquiera trazamos todas las diagonales que parten de ese punto. La suma de los radios de todas las circunferencias inscritas en los triángulos formados es independiente de la triangulación elegida, es decir, del vértice que elijamos para realizar la triangulación”.

Veamos el enunciado en una figura:

1.- Construimos un hexágono inscrito en un círculo.
2.- Hacemos una triangulación desde A ( figura de la izquierda) y otra desde F (figura de la derecha)
3.- Inscribimos en cada triángulo obtenido un círculo

Entonces por este teorema la suma de los radios de los cuatro círculos de la figura de la derecha coincide con la suma de los radios de los cuatro círculos de la izquierda.


La pista para su demostración es utilización del Teorema de Carnot en cada uno de los triángulos inscrito en el polígono.

Teorema de Carnot: En un triángulo cualquiera trazo la circunferencia inscrita y la circunscrita, entonces la suma de las distancias del circuncentro a los tres lados es igual a la suma de los radios de las dos circunferencias.


Sangaku nº 12
"Segundo teorema de Mikami-Kobayashi”

También llamado Segundo Teorema Japonés, este teorema nos dice
que al unir los incentros de los triángulos formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se forma un rectángulo.

Mirando la figura:

1.- Inscribo un cuadrilátero ABCD en una circunferencia, obtengo cuatro triángulos: ADC, DCB, CBA y BAD
2.- Hallo los incentros de cada uno de estos triángulos, que equivale a hallar los centros de las circunferencias inscritas en cada uno de los triángulos.
3.- Uniendo dechos centros abcd obtengo un rectángulo


La idea básica de la demostración es probar que los ángulos del cuadrilátero formado por los incentros son rectos y por lo tanto es un rectángulo.


Sangaku nº 13
Collar de esferas o Collar de Soddy

Este problema de la prefectura de Kanagawa de 1822 colgado en el santuario de Kōzagun por Yazawa Hiroatsu, se anticipa en más de cien años al trabajo del químico Frederick Soddy (1877-1956) premio Nobel de Química en 1921 .

Dos esferas A y B ( roja y naranja) tangentes entre sí están inscritas en una gran esfera C.

El problema es determinar el número de esferas que forman el collar, o sea, esferas de distintos tamaños tangentes a las dos que están a su lado y a las tres esferas dadas A B y C.

Además se pide encontrar los radios de las esferas que forman el collar en función de los radios de A, B y C.

La solución viene dada por el teorema del Sexteto de Soddy (1937) que nos dice que habrá sólo 6 esferas.