martes, 24 de enero de 2012

Sangaku: matemática japonesa

El nombre de Sangaku o San Gaku , se refiere a unas tablillas de madera en las que se grababan problemas matemáticos, principalmente geométricos, y que creadas durante el periodo Edo (1603-1867) en Japón.

Durante este periodo Japón se encontraba aislado del mundo occidental, periodo en el que no mantuvo ninguna relación ni con el pensamiento ni con las ideas científicas ni matemáticas desarrolladas en occidente.

Los Sangaku eran unas tablillas de madera que contenían problemas, principalmente de geometría, con figuras de vivos colores, que es lo que llama más la atención y que colgaban en los santuarios sintoístas y templos budistas como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y visitantes para encontrar su solución.

La pretensión de los matemáticos japoneses era que con la contemplación de estas tablillas se llegara a una percepción estética que nos hace sentir la existencia de una armonía y que nos lleva a poner en funcionamiento la razón para intentar explicar dicha armonía.

Muchas de estas tablillas se perdieron. En la actualidad se conservan algunas más de 800. La tablilla Sangaku más antigua que se conserva es de 1686 en Tochigi.


Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas Sangaku, en 1789, y una segunda parte en 1806.

En 1989 el matemático japonés H. Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.

La mayoría de los sangaku trata de la geometría euclidiana y específicamente sobre triángulos, cuadrados, círculos, elipses, esferas, figuras inscritas en otras figuras. También , podemos encontrar, cálculo de volúmenes de distintos cuerpos geométricos, para lo que se requiere el cálculo integral.

Encontramos, también, sangakus que tratan sobre ecuaciones diofánticas, además de problemas algebraicos y aritméticos.

Gran parte de los problemas entrarían en la categoría de matemáticas recreativas o educativa pero algunos son versiones japonesas de teoremas como

1.- El Teorema de Malfatti ( inscribir tres círculos en un triángulo de modo que todos los círculos sean tangentes entre sí y también tangentes, cada uno, a dos lados del triángulo),

2.- El Teorema de Casey (nos da unla condición necesaria y suficiente para que cuatro circunferencias sean tangentes a una quinta circunferencia, generaliza el teorema de Ptolomeo).

3.- El Teorema de los círculos tangentes de Descartes, también llamado "fórmula de Descartes" ( en la que halla le relación entre los radios de cuatro círculos , todos tangentes entre sí. ) y

4.- El Teorema de Soddy ( tres circunferencias tangentes entre sí, sólo tienen dos circunferencias, tangentes a las tres, que luego generalizó a esferas).


Ejemplos de Sangakus:

Hemos elegido 13 sangakus, para hacernos una idea de qué tipo de problemas se encontraban en esas tablillas. También hemos puesto la solución, para animaros a intentar resolverlos.

Algunos de los 10 primeros sangakus se podrían intentar resolver en una clase de secundaria, los tres últimos tienen la categoría de teoremas.

- Cinco Sagakus ( 1 a 5 ).

- Más sangakus (6 al 10 ).

- Tres últimos sangakus (11,12 y 13).

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Esta entrada participa en la edición 2.X. del Carnaval de Matemáticas. Esta edición tiene como blog anfitrión al blog Resistencia Numantina.

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