jueves, 26 de abril de 2012

Dimensión de Sierpinski: entre 1 y 2


El viernes 20 de abril, en la conferencia "Las geometrias en la naturaleza" dentro del ciclo Matemáticas en la Residencia impartida por Christiane Rousseau catedrática de matemáticas de la Universidad de Montreal y vicepresidenta de la IMU en la Residencia de Estudiantes,en Madrid, nos enteramos de que existe una concha con el triángulo de Sierpinski y que la dimensión de éste triángulo está entre 1 y 2 y es precisamente 1,58496....

Aunque no recordamos el nombre de la concha, hemos encontrado una foto. (Nos envían comentario, que puede ser el  gasterópodo Conidae "Conus Amadis")

En cuanto a la dimensión de un fractal vamos a dar una idea de lo que se expuso:

La medición de formas fractales obliga a nuevos conceptos distintos a los conceptos geométricos clásicos.

La dimensión de un fractal se basa en la propiedad que tienen de autosimilaridad, es decir, su forma está hecha de copias a distinta escala de la misma figura, cada vez más pequeñas.Si queremos medir con una unidad una objeto fractal, siempre habrá objetos más pequeños que escaparán a la precisión de esa unidad, y se irá repitiendo siempre este proceso.

La idea es tomar un objeto y  ver con cuántos objetos, de una escala menor, la mitad,  lo podemos recubrir.

Entonces, la dimensión de un objeto fractal (X) está relacionado con el número , N  de objetos de longitud L que son necesarios para cubrir el objeto X (Hausdorff-Besicovitch).

Es una generalización de la dimensión euclídea, veamos como entender esta dimensión


1.- Empezamos con un segmento de longitud 1:

Si tenemos un un segmento de longitud 1, lo podemos cubrir con dos segmentos de longitud 1/2, con cuatro de longitud 1/4, con ocho de longitud 1/8... ( son similares a escala la mitad)





2.- Seguimos con un cuadrado de lado 1.

El cuadrado de lado 1 lo podemos cubrir con 4 cuadrados de lado 1/2,  con 16 cuadradpos  lado 1/4, con con 64 cuadrados de lado 1/8  ...(son figuras similares de escala la mitad)



3.- Y ahora con un cubo de lado 1.

Por último,  si tenemos un cubo de lado 1 lo podemos cubrir con 8 cubos de lado 1/2 ,con 64 cubos de longitud 1/4,.....( figuras similares de escala la mitad)






 Comprobamos que la dimensión de una recta es 1 la de un cuadrado es 2 y la de un cubo 3.

Entonces se define la dimensión fractal, como  el exponente D de esas igualdades, siendo N el número de objetos elementales de longitud  L que recubren al objeto X.

 Es decir,


Que podríamos definir como la dimensión de autosimilaridad de un objeto fractal.

4.- Ahora vamos a hallar la dimensión del triángulo de Sierpinski.


Tenemos un triángulo de Sierpinski de L = 1

Es recubierto por tres copias reducidas de triángulos Sierpinski de lado 1/2 y por 9 copias de triángulos de lado 1/4 y así sucesivamente ( copias autosimilares de longitud la mitad)





Utilizando la definición tenemos que


Que es la dimensión del Triángulo de Sierpinski.

5.- Dimensión del copo de Koch:
¿Seríamos capaces de hallar la dimensión del Copo de Koch ?




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Esta entrada participa de la edición 3,141 del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión tiene como blog anfitrión DesEquiLibros. Lectura y Cultura

7 comentarios:

eulerianos dijo...

Creo que hay un error en una de las tablitas, por lo demás, enhorabuena :)

Clara Jiménez Gestal dijo...

Interesante post. Creo que en las tablas del cuadrado y el cubo hay un error en la columna del término general, el número de cuadrados o de cubos no puede ser 1/2^n, tiene que ser un entero.

SACIT ÁMETAM: dijo...

Gracias por detectar la errata, ya está solucionado. Sacit Ámetam

Anónimo dijo...

Parece ser que esta concha es un gasterópodo de nombre CONIDAE "CONUS AMADIS"

Mago Moebius dijo...

Una entrada muy bien explicada. Saludos

Mago Moebius dijo...

Una entrada concisa y bien explicada. Saludos

Anónimo dijo...

thanks, very good =)