martes, 22 de junio de 2010

10 Mini-Mates para el verano.

Veamos 10 problemillas propuestos por nuestros alumnos para resolver durante el verano:
(Ir a la solución 01/09/2010)
1.- ¿Cuándo atrapará el perro a la liebre?

Una liebre está 150 pasos, por delante, de un perro que comienza a perseguirla. Si el perro recorre 10 pasos cada vez que la liebre da seis pasos, ¿en cuántos pasos cogerá el perro a la liebre?
2.- Una repartición equitativa

Dos pastores tienen 3 y 5 panes respectivamente. Llegó un caminante hambriento y le propuso comer sus panes a partes iguales. Los dos pastores aceptaron y se comieron los 8 panes entre los tres. Al terminar, el caminante agradecido les entregó 8 monedas. ¿Cómo han de repartirse las 8 monedas entre los dos pastores?


3.- Midiendo el tiempo

En un reloj de pared dan las 4 en punto. ¿Cuánto tiempo exactamente deberá transcurrir para que la manecilla grande, de los minutos, alcance a la manecilla pequeña, de las horas?

4.- Velocidad del Nilo

Un barco recorre la distancia entre dos ciudades costeras del Nilo en dos días. En el viaje de regreso tarda tres días. Determina el tiempo que tardará una balsa de juncos, que flota en el río, a la deriva, en llegar de una ciudad a otra.




5.- Pirámide de números

Rellenar esta pirámide de números sabiendo que cada casilla es la suma de las dos que tiene debajo.


6.- ¿Cuánto mide un lunario?

H.G. Wells(1866-1946) en su obra Los primeros hombres en la Luna, escrita en 1901, nos hizo una pequeña introducción a las matemáticas selenitas. Allí nos explica que los habitantes de la Luna utilizan una medida de longitud que llaman "lunario".
Esta medida fue adoptada por los selenitas porque comprobaron que la superficie de la Luna medida en lunarios cuadrados coincide con el volumen de la Luna medido en lunarios cúbicos.
Sabiendo que el diámetro de la Luna es de 3.475 Km ¿podías decir cuánto mide un lunario en kilómetros?

7.- ¿Cuántos habitantes hay?

En un pequeño pueblo se sabe que habitan entre 500 y 600 familias. Sabemos que:
1.- La tercera parte de las familias se dedica a la agricultura.
2.- La cuarta parte a la ganadería.
3.- La quinta parte al comercio.
4.- y la novena parte está en paro.
Sabiendo estos datos ¿podrías decir cuántas familias hay en este pueblo?




8.- ¿Cuánto mide el radio de este círculo?

Dado este círculo y en él las medidas que figuran el trazo rojo, 8 cm., y el tramo azul, 3 cm. Halla la longitud del radio.


9.- Halla longitud de los segmentos


Dado el triángulo ABC dibujamos 7 segmentos paralelos a AB, que dividen en 8 partes iguales a BC.
Si AB mide 30 cm. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los siete segmentos (en rojo)?



10.- ¿Cuántos alumnos fueron a la cena?

En un restaurante de Boadilla se celebrabó la cena de la despedida de los alumnos de 2º de bachillerato de este curso 2009/2010..
Una vez sentados todos, se repartieron los entrantes: Ibéricos, croquetas y ensalada de ventresca, de la siguiente forma:
Un plato de ibéricos cada 4 comensales, un plato de croquetas cada tres comensales y un plato de ventresca cada dos comensales.
En total se sirvieron 65 platos de entrantes. ¿Cuántos comensales había en la cena?

FELIZ VERANO A TODOS Y HASTA EL CURSO QUE VIENE

martes, 1 de junio de 2010

Cita en el Boletín nº 20

Cita publicada en el Boletín nº 20 de junio de 2010.

" Un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más huéspedes, incluso si está lleno." ( Paradoja del infinito)

David Hilbert (1862-1943) En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Paris, presentó un conjunto de 23 problemas sin resolver que establecieron el curso de la investigación matemática del siglo XX.

Banda de Möebius

LA BANDA DE MÖEBIUS o cinta de Möebius, es una superficie con una sola cara y un solo borde, que tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable.

August Möebius (1790-1868), fue un famoso matemático y astrónomo alemán que dio nombre a esta figura geométrica interminable.
Esta cinta resulta muy sugerente para los artistas, la vemos representada en múltiples obras.

-Así el artista suizo Max Bill (1908-1994). tiene una en piedra "Unendliche Schleife" en el Centro Pompidou en París y otra en metal "Cinta sin fin"
M.C. Escher (1898-1972), trata la cinta de Möebius en varias de sus obras vemos dos de ellas “Hormigas caminando sobre una banda de Moebius” y Moebius I, esta última figura muestra a tres peces que se muerden la cola unos a otros, dando dos veces la vuelta hasta llegar al punto de partida

El símbolo del reciclaje, que consiste en tres flechas que se persiguen sobre las aristas de un triángulo, no es más que una banda de Möebius.
Fue creado por Gary Anderson en 1970, y representa el proceso de transformación del material de desecho en recursos útiles.

¿EL SÍMBOLO DEL INFINITO ES UNA BANDA DE MÖEBIUS?
John Wallis es el primero en usar el símbolo para representar al infinito, en 1655. Los orígenes del símbolo de infinito son inciertos. Su forma se asemeja a la curva lemniscata de Bernuilli (del latín lemniscus, es decir cinta), se ha sugerido que representa un lazo cerrado. Se ha querido ver también una Banda de Möbius en su forma, pero, dicho símbolo se usó mucho tiempo antes de que August Möbius descubriera la banda.


A la izquierda la serpiente Ouroboros (Antiguo Egipto) también se cree posible que la forma del infinito provenga de símbolos alquímicos o religiosos. A la derecha la gráfica de la lemniscata de Bernouilli.

MÚSICA Y MÖEBIUS.
Un siglo antes de que sus paisanos, los matemáticos August Ferdinand Möebius y Johann Benedict Listing, descubrieran la cinta de Möebius en 1858. Johan Sebastian Bach compone una pieza que encierra ciertos misterios y sigue siendo considerada toda una joya de la arquitectura musical.
Es la ‘Ofrenda musical‘ (1747) y, en concreto, el denominado ‘Canon del cangrejo‘, una pieza increíble de apenas unos compases, que acaba donde empieza y puede ser interpretada en ambas direcciones y, además, superponerse, creando un acompañamiento y un conjunto armónico-melódico sin fin.
Escúchala en este vídeo.




CANCIÓN INGLESA DEDICADA A MÖEBIUS

Nicolas Slonimsky (1894-1995), fue profesor y compositor. Posee una pieza llamada Moebius Strip Tease, al contrario de Bach, sabe perfectamente que está haciendo una banda de Möebius en su composición. Es una pieza para dos cantantes, parte de ella es el siguiente fragmento que puedes traducir:


Ach! Professor Möebius, glörious Möebius
Ach, we love your topological,
And, ach, so logical strip!
One-sided inside and two-sided outside!
Ach! euphörius, glörius Möbius Strip-Tease!

La cinta de Möebius no tiene fin. Tiene apariencia de tres dimensiones, pero se forma a partir de una sola superficie continua de dos. Caminando por una banda de Möebius de LEGO de Andrew Lipson


ARQUITECTURA Y MÖEBIUS.
Los conceptos que se manejan son el de infinitud y paradoja que rodean a la banda de Möbius.
Se han construido puentes, edificios, cubiertas, estadios…
Ejemplos son :


1.- Madrid en Cinta, era el nombre del proyecto para Madrid Sede Olímpica 2016. Sus arquitectos lo describían así:
“Se asomará sobre el cielo de Madrid un nuevo campo de Hockey sobre hierba configurado por una cinta de Möebius que emerge y desaparece entre el arbolado. Una cinta sin fin”.

2.- Puente de Möbius, en Bristol diseñado por Julian Hakes.







3.- El proyecto de dos edificios uno en Berlín del arquitecto Peter Eisnman llamado "Max Reinhardt Haus"(1992, no construido) y otro de Rem Koolhass en Beijing (Pekín) (2008).


LITERATURA Y MÖEBIUS.
Muchos son los autores que han utilizado la banda de Möbius en sus relatos: El muro de oscuridad de Arthur C. Clarke, El disco de Jorge Luis Borges, Un metropolitano llamado Moebius de Armin Joseph Deutsch… El artista e ilustrador Calpurnio hace caminar en una de sus viñetas al Bueno de Cuttlas por una banda de Möbius (imagen izqda.)

TECNOLOGÍA Y MÖEBIUS.
Son numerosas las patentes, en distintos campos, basadas en las propiedades de la cinta. Nos encontramos desde películas de Möebius, hasta cintas que graban el sonido por ambas caras , cintas magnetofónicas que pueden grabar el doble de tiempo , correas pulidoras, que incrementan la superficie de pulido, etc...

QUÍMICA: La molécula de Möbius no se encuentra en la naturaleza, pero se ha sintetizado en el laboratorio. Teóricamente, estas estructuras podrían ser útiles en el estudio de efectos topológicos de la mecánica cuántica.


MAGIA existen numerosos trucos con la banda de Möebius, que se deducen de sus especiales propiedades paradójicas. Estos trucos se denominan Afghan Band.


DISEÑO: Numerosos logotipos (Caixanova, Pura Lana Virgen,..), juegos en parques para niños, toboganes, muebles, mesas, estanterías, bancos (Vito Acconci , Japón 2001) escaleras (Montreal diseño de N.Stephens), originales zapatos, montañas rusas, etc… , guardan todos ellos la belleza y el misterio de la cinta sin fin.

Busca a tu alrededor o en internet y encontrarás Cintas de Möebius sorprendentes.

Taller de Möebius

¿CÓMO SE CONSTRUYE LA CINTA DE MÖEBIUS?

Coge una cinta de papel y pega los extremos dando media vuelta (180 grados) a uno de ellos.
Comprueba y observa las siguientes propiedades

1.-TIENE SÓLO UNA CARA: Pinta una raya, con un lápiz, en la superficie de una cinta de Möebius, comenzando por la cara “exterior”, al final la raya cubre toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara.
·
2.-TIENE SÓLO UN BORDE : Sigue el borde con un dedo o coloréalo, observa que se recorre todo el borde de la cinta, por tanto, sólo tiene un borde.

3.-ESTA SUPERFICIE NO ES ORIENTABLE: Una persona que se desliza tumbada sobre ella, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Recorta un muñeco de papel de perfil y pruébalo.

EXPERIMENTOS CON LA CINTA DE MÖEBIUS

* EXPERIMEN
TO 1:
Toma una cinta de Möebius y córtala por la mitad de la banda, a lo largo, obtendremos otra cinta de Möebius la mitad de ancha, el doble de longitud pero girada dos veces..
Si a ésta banda se la vuelve a cortar por la mitad, a lo largo, se obtienen otras dos bandas iguales pero esta vez entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.

*EXPERIMENTO 2:


Si cortamos la cinta de Möebius a lo largo, esta vez por un tercio de la anchura de la banda obtenemos dos bandas de Möebius entrelazadas una de doble longitud que la otra y con una anchura de un tercio la banda original .


*CORAZONES ENTRELAZADOS:
Construye dos bandas de Möbius . Pégalas de manera que quede una perpendicular a la otra. Corta cada una de las banda de Möbius por la mitad (de este modo el cuadrado central por el que están pegadas se cortará en cuatro)… y obtenemos dos corazones entrelazados.

¡¡¡ Ha salido el boletín nº 20 !!!

Acaba de salir el Boletín Sacit Ámetam nº 20 correspondiente al mes de junio de 2010.


- Veremos sus aplicaciones al Arte, a la Tecnología, a la Arquitectura, al Diseño, a la Literatura, a la Música, a las Ciencias, a los juegos...,

- Construiremos dicha banda en un Taller de Möebius y veremos algunas de las curiosas y sorprendentes propiedades de esta cinta.


Con este boletín , el número 20, finalizamos este curso, el cuarto, en que se están publicando los boletines.
Puedes descargar este boletín y los anteriores en la página de Boletines Sacit Ámetam

¡¡Buenas vacaciones a todos!!