miércoles, 1 de septiembre de 2010

Solución mini-mates del verano

He aquí solución de las mini mates planteadas el 22 de junio para resolver durante el verano

1.- ¿Cuándo atrapará el perro a la liebre?

Respuesta: cuando el perro dé 375 pasos.

Cada vez que el galgo da 10 pasos la liebre da 6, luego cada 10 pasos del perro la distancia se acorta 4 pasos.

Si da 10 pasos estarán a 146 pasos (150 - 4)

Si da 20 pasos (2·10) la distancia se acorta 8 pasos, estarán a 142 pasos (150 - 8=150 – 2·4)

Entonces si da n·10 pasos estarán a 150 - n·4 pasos

Cuando se junten 150 - n·4 = 0, quiere decir que n=37,5

Luego el perro alcanzará a la liebre cuando dé 375 pasos

2.- Una partición equitativa

Respuesta: Una moneda al primer pastor y siete al segundo. ¿Por qué?

Si un pastor pone 3 panes y el otro 5, son 8 panes a repartir entre las tres personas.

A cada una le corresponderá 8/3 de los panes.

El primer pastor pone tres panes y se come 8/3 luego 3 – 8/3 = 1/3 deja un tercio de sus panes al caminante, mientras que el 2º pastor pone 5 panes y se come 8/3, deja 5 – 8/3 = 7/3 de sus panes al caminante.

Luego el caminante se come 1/3 del primer pastor y 7/3 del segundo

Luego de las 8 monedas correspondería 1 al primer pastor y 7 al segundo

3.- Midiendo el tiempo

Respuesta: a las 4 horas 21 minutos y 49,09 segundos

El minutero avanza 360º cada hora y la aguja horaria 30º cada hora.

A las cuatro en punto el ángulo que forman las dos agujas es de 120º. Cuando se superpongan las dos agujas el tiempo transcurrido es el mismo para ambas y si la aguja horaria ha recorrido xº entonces el minutero habrá recorrido 120º + xº.

Entonces x/30 = (120+x)/360 resolviendo da x = 10,909090..grados ha recorrido la aguja horaria desde las 4 hasta que sea alcanzada por el minutero

Que traducido a unidades de tiempo da 1,81 minutos o 1 minuto 49,09 seg

Luego se juntan a las 4 horas 21 minutos 49,09 segundos.

4.- Velocidad del Nilo

Respuesta: Tardará 12 días.

Sea la velocidad del barco es vb y la del río es vr entonces se tiene que (vb + vr )· 2 =( vb – vr ) · 3 de ahí obtenemos que vb = 5vr es decir la velocidad del barco es 5 veces la velocidad del río.

por otro lado, veamos la distancia que hay entre las dos ciudades

S = (vb+vr)·2 = 6vr·2 = 12vr, es decir el espacio recorrido es 12 veces la velocidad del río

Luego una balsa de juncos que se deja arrastrar por la corriente tardarán 12 días en llegar de una ciudad a otra.

5.- Pirámides de números

La solución es:

6.- ¿ Cuanto mide un lunario?

Respuesta: 1 lunario equivale a 576,16 km.


la superficie de la esfera es: http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=S%3D4%20%5Cpi%20r%5E2%20

el volumen de la esfera es http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=V%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%20%7D%20%5Cpi%20r%5E3%20

igualando el volumen y la superficie http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=4%5Cpi%20r%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E3%20 y despejando r nos queda r = 3.

Entonces para que el área en lunarios cuadrados sea igual al volumen en lunarios cúbicos el radio debe ser 3 lunarios, luego 6 lunarios , el diámetro equivalen 3.475 km.

Por tanto 1 lunario =579,16 km.

7.- ¿ Cuántos habitantes hay?

Respuesta: 540 habitantes

El número de habitantes de ese pueblo debe ser múltiplo de 3, 4, 5 y 9. Luego múltiplo de 180 que es su mínimo común múltiplo, por tanto será 540 habitantes, al ser el único múltiplo de 180 entre 500 y 600.


8.- ¿Cuánto mide el radio de este círculo?

Respuesta: mide 8 cm.

El radio será 8 cm. puesto que es la otra diagonal del rectángulo.




9.- Halla la longitud de los segmentos

Respuesta: 105 cm.

Si colocamos el mismo triángulo tal como vemos en la figura, aparece un paralelogramo y observamos que las líneas interiores son todas de la misma longitud .

Por tanto, la medida de todas las líneas será 7 · 30 = 210 cm. ya que el lado AB = 30 cm.

Entonces, la longitud que busco será la mitad de 210.

Respuesta 105 cm.

10.- ¿Cuántos alumnos fueron a la cena?

Respuesta: 6o alumnos

Hay un plato de ibéricos cada 4 uno de croquetas cada 3 y 1 de ventresca cada dos.

Cada 12 alumnos hay 3 de ibérico, 4 de croquetas y 6 de ventresca total 13 platos si hay 65 platos, 65:13 = 5 grupos de 12 alumnos

En total 12 · 5 = 60 alumnos