Método egipcio de "Regula falsi" para resolver ecuaciones

El Papiro de Rhind o también llamado el Papiro de Ahmes, es un documento de unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho, que contiene una recopilación de 87 problemas de matemáticas entre los que hay fracciones, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, una aproximación del número pi, regla de tres,..... representa una fuente de información valiosísima sobre las matemáticas de aquella época,y aunque hay algunos errores de cálculo, los métodos de resolución son de gran valor, como el que expondremos aquí.

Fue escrito por un escriba llamado Ahmes alrededor del año 1.650 a.C. recogiendo escritos anteriores.

Se encontró en el siglo XIX, fue comprado por el anticuario escocés Henry Rhind en 1858 y se encuentra depositado desde 1865 en el Museo Británico en Londres.

MÉTODO DE "REGULA FALSI":

Lo que nos interesa, en este artículo, de ese papiro es el procedimiento que tenían, los egipcios, para resolver sencillas ecuaciones algebraicas del tipo

x + ax = b y también del tipo x + ax + bx = c,

Muchos siglos antes de  que Al-Kwaritzmi ( 780-850 ), escribiera  el primer tratado de  Álgebra y  estudiase metódicamente la resolución de ecuaciones hasta de segundo grado.

Este procedimiento de resolución se encuentra en los problemas números 24 y el 30 de dicho papiro.

El problema 24 dice "Calcula el valor del montón si el montón y un séptimo del montón es igual a 19" .

El problema nº 30 tiene un enunciado mucho más complejo.

El método que utilizaban los egipcios fue llamado de "regula falsi" o de "falsa posición" y consistía en lo siguiente:

1.- Daban como solución un número al azar y desarrollaban todos los pasos del enunciado con ese número. ( Equivale, en la actualidad,  a sustituirlo en la ecuación)

2.- El resultado que obtenían lo comparaban con el resultado que figuraba en el enunciado del problema.

3.- Ajustaban la solución errónea que obtenían con la que daba el enunciado que era la correcta, mediante una proporción.

4.- Y obtenían la solución correcta:

Resolvamos dos ejemplos, con la notación actual, utilizando este método.

Ejemplo1 : Halla un número tal que si le sumamos su quíntuplo da 36. ( En 1º de la ESO, ya se plantea la ecuación: sería resolver x + 5x = 36).

Veamos como aplicaban este procedimiento:

1.- Daban un número al azar como solución , sea x = 2 esa "solución falsa", al sustituirlo en la ecuación vemos que la suma de 2 con su quíntuplo ( 2 · 5 = 10) es 12 "resultado falso".

2.- El resultado que debería dar es 36. (Como 36 se obtiene multiplicando el resultado falso y ahora como 12 es la tercera parte del dato correcto, 36, entonces el 2 debe ser la tercera parte de la solución. por 3 ).

3.- Luego la solución verdadera se obtendrá multiplicando la "solución falsa" por 3 y da 6.

Por tanto, 6 es la solución de la ecuación inicial.

( Este tercer paso es sencillamente resolver la igualdad 12/36 = 2/x ).

Ejemplo 2: Si a un número le sumo su tercera parte y su doble nos da 40. ¿Cuál es ese número? ( Sería resolver x + x/3 + 2x = 40).

1.- Damos una solución "al azar" sea el 3 (solución falsa).

2.- Sustituimos ese 3 en la ecuación: a 3 le sumo su tercera parte, 1, y le sumo su doble, 6, nos da 3 + 1 + 6 = 10 ( resultado falso).

3.- Pero debería dar 40 ( resultado correcto ) que es 4 veces más que el falso.

4.- Luego "la solución correcta" debe ser 4 veces más que "la solución falsa".

5.- Es decir 3 · 4 = 12 que es la solución correcta.

Ingenioso método y unos 2.500 años antes de que se "descubriera el Álgebra"

Como se ve con una sencilla proporción entre el resultado falso y el correcto, y la solución falsa y la correcta (que no conocemos)  obtendremos la solución. 

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Angela Merkel y las Matemáticas

Angela Merkel, con 17 años, participó en la X Olimpiada Matemática celebrada en Teterow en 1971.

El domingo 13 de febrero, en el diario ABC, vemos un artículo titulado Kasi, la "jefa" en matemáticas, donde relaciona a Merkel con las matemáticas.

"Angela Merkel era la primera de su clase en matemáticas, sin esfuerzo aparente, dominaba los números y tenía preferencia por las cuentas claras" dice Hans Ulrich Beskow, antiguo profesor de matemáticas de la actual canciller alemana.

Merkel se doctoró en Física Cuántica en la Universidad de Leipzig en 1986. Había nacido en Hamburgo en 1954 pero, se trasladó a vivir con pocos meses a la Repúplica Democrática Alemana (RDA), despues de su doctorado, fue investigadora en la Academia de Ciencias de la RDA, y entró en política en 1989, después de la caída del muro de Berlín y desde noviembre de 2005 es Canciller de Alemania

En la siguiente foto aparece, con 17 años, en la X Olimpiada Matemática celebrada en 1971 en Teterow.

"Junto a tus compañeros, alcanza un alto rendimiento para honrar a la RDA" pone el cartel.

Angela Merkel es la del círculo.

Sofía Kovalevskaya: 120º aniversario de su muerte

La matemática Sofía Kovalévskaya nació en Moscú en 1850 y murió el 10 de febrero de 1891, hace 120 años. Fue la primera mujer que se doctoró en Matemáticas y consiguió una plaza de profesora universitaria en Europa (Suecia, 1881).

A los trece años empezó según escribió en sus memorias "Comencé a sentir una atracción tan intensa por las matemáticas, que empecé a descuidar mis otros estudios". Como no entendía las igualdades trigonométricas las dedujo.

En 1865, la familia de Sofia se trasladó a San Petersburgo para que ella y su hermano menor pudieran seguir estudiando. Estudió geometría analítica y cálculo infinitesimal con el profesor Strannoliubski. Que quedó asombrado por la rapidez con la que comprendía complejos conceptos matemáticos
Hasta entonces a las mujeres se les impedía el acceso a la universidad, por lo que para seguir estudiando se casó con Vladimir Kovalevski y pudieron viajar a Heildelberg (Alemania) en 1869, donde tampoco la dejaron acceder a la universidad más que como oyente.
Pronto atrajo la atención de los profesores, que la recomendaron para estudiar en la Universidad de Berlín con Karl Weierstrass, considerado el padre del Análisis Matemático y el mejor matemático de la época. Allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las universidades, pero Weierstrass accedió a trabajar con ella y darle clases en privado entre 1871 y 1874.
En 1874 Weierstrass consideró que los trabajos de Sofia eran suficientes para obtener un doctorado.

Como en Berlín era imposible, lo solicitó en la Universidad de Göttingen, para que se le concediera el doctorado sin examen oral, sólo con los trabajos entregados.
Después de una enorme cantidad de gestiones, la Universidad aceptó y Sofia presentó tres tesis: dos sobre temas de matemáticas , ecuaciones en derivadas parciales y funciones abelianas reducidas a integrales elípticas y una tercera de astronomía sobre la estabilidad de los anillos de Saturno.

Su primer trabajo fue aceptado como tesis doctoral y se le concedió el grado de doctora “cum laude" en 1874. Primera doctora en Matemáticas.

Aunque Weielstrass trató de conseguirle trabajo, ninguna universidad quiso contratar los servicios de una mujer como docente.
Gracias a Mittag-Leffer, alumno de Weierstrass, Sofía pudo dar clases en la Universidad de Estocolmo al conseguir un nombramiento provisional por un año. El 30 de enero de 1884 da su primera clase y el curso siguiente fue nombrada oficialmente profesora por un periodo de cinco años. En mayo de 1889 fue nombrada profesora vitalicia en Estocolmo.
Durante este tiempo Sofia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos.

1.- Sus investigaciones se centran en el Análisis Matemático. Su nombre ha pasado a la historia por el Teorema de Cauchy-Kovaleskaya que formaba parte de una de sus tesis para obtener el doctorado fue publicado en Crelle´s Journal. Es un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales de orden k con condiciones iniciales para funciones analíticas.

2.- Fue reconocida en toda Europa por el estudio de los casos en los que las funciones abelianas pueden reducirse a integrales elípticas que fue publicado en el Acta Mathematica. Las funciones abelianas eran uno de los temas de investigación más importantes del siglo XIX,

3.- Su trabajo sobre los anillos de Saturno, publicado en la revista de Astronomía Astronomische Nachrichten en 1885. representa su aportación a la matemática aplicada.

4.- Su mayor éxito matemático fue su investigación “sobre la rotación de un sólido alrededor de un punto fijo” en el que resolvió las ecuaciones de Euler y por el que obtuvo el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París en 1888, fue la primera mujer que lo obtuvo y más tardeobtuvo el premio de la Academia de Ciencias de Suecia.

Sofia Kovalévskaya muere a los cuarenta y un años, de una enfermedad (gripe).

Según cuenta ella misma en su autobiografía:
"No entendía el significado de los conceptos, pero actuaban sobre mi imaginación, inspirándome un respeto por las matemáticas como una ciencia excitante y misteriosa que abría las puertas a sus iniciados a un mundo de maravillas, inaccesible al resto de los mortales".
Se han emitidos sellos y monedas en recuerdo a esta gran matemática.

Mini-Mates del boletín nº 23

Estas son las Mini-mates que aparecen en el boletín nº 23 .

1.- PARADOJA DEL INFINITO

Tenemos el conjunto de números Naturales y lo
dividimos en dos mitades. Por un lado, los números
Pares y por otro, los números Impares.
Se comprueba que hay el mismo número de elementos
en la caja de los Pares que en la caja de los números
Naturales. ¿Cómo es posible?


2.- Encuentra el número
2.1.-¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras?

2.2.- Averigua tres números enteros cuya suma es igual a su producto.


2.3.-¿En qué cifra termina la siguiente potencia de 7?




3.- Una de primos:
El año 2011 es un número primo que curiosamente es la suma de tres números primos consecutivos, ¿cuáles son?

¡¡ Ha salido el boletín nº 23 !!

Acaba de salir el boletín matemático Sacit Ámetam nº 23 de febrero de 2011.
En el podemos encontrar:
1.- ¿Dónde nació D. Quijote? Un estudio matemático en el que se concluye que el pueblo con más probabilidad de ser cuna del Ingenioso Hidalgo es Villanueva de los Infantes en Ciudad Real.

2.- El Papiro de Ahmes ( o de Rhind) es un documento escrito fundamental para conocer las matemáticas en el Antiguo Egipto.

3.- Inaugurada una exposición matemática en Cosmocaixa, Alcobendas, de título Imaginary. Una mirada matemática, a la vez, la misma exposición itinerante recorrerá varias ciudades españolas.

4.- Varias mini-mates para agudizar la mente.

Puedes ver todos los boletines en PDF pulsando en el siguiente enlace y te los puedes descargar.
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