Paul Klee y las diagonales de un hexágono.

¿Qué puede hacer Paul Klee ( 1879-1940) con las diagonales de un hexágono?

Paul  Klee

Hasta el 30 de junio podemos admirar en  la  Fundación Juan March, en Madrid, una exposición con la obra del gran pintor, maestro y pedagogo de la escuela de arte diseño y arquitectura Bauhaus : Paul Klee.

Nos encontramos con una ilustración,  hecha con lápiz de color y con lápiz de grafito que se encuentra entre "las notas de clase" que hacía  Paul Klee para preparar e  impartir sus enseñanzas  en la Escuela de la Bauhaus de Weimar y luego de Dessau.


Esta  ilustración, denominada Divergencia a partir de la norma es una composición de seis figuras (las de las dos primeras columnas),  realizadas con "trozos de rectas" y que se obtienen unas de otras por giros.

Observándolas bien y para nuestra sorpresa, nos damos cuenta que esos "trozos" de rectas no son mas que "trozos" de las diagonales de un hexágono,  como podemos comprobar en las tres figuras que hemos colocado en la última columna y en las que hemos superpuesto el hexágono y algunas  diagonales.

Increible tratamiento de las diagonales de un hexágono, sólo  a la altura de un gran artista y de un gran genio: Paul Klee.

Teoría de la configuración pictórica: II 1 1 Divergencias a partir de la norma. Paul Klee

Estas notas de clase, unas 3.900 a lo largo de 10 años, fueron recopiladas bajo el título de  Teoría de la configuración pictórica. Tratado que es considerado como el primero  que contiene  los principios fundamentales de lo que hoy llamamos diseño.

--------------------------------------------------

Esta entrada participa de la edición 4,12310 del Carnaval de Matemáticas, que en este mes de junio  tiene como blog anfitrión a Geometría Dinámica.

Historias excéntricas de matemáticos ilustres.

(Artículo escrito por Carmen C. y Sara H., alumnas de 3º C  para la revista del centro ÍTACA del mes de junio).

•    RENÉ DESCARTES (1596-1650) y la mosca  cartesiana.

            Matemático francés  fue el “inventor” de los ejes cartesianos: el eje de ordenadas y el eje de abscisas y pronunció   la célebre frase: “Pienso, luego existo”.

Debido a la fragilidad de su salud, debía permanecer mucho tiempo en cama, allí observó  los movimientos de una mosca por el techo de su habitación, y  pensó si  podría determinar, en  cada instante, la situación  de la mosca. Entonces, se dio cuenta de que si conociese la  distancia, del punto, del techo, donde estaba posada la mosca, a dos paredes  tendría en cada momento su posición exacta. Se levanto de la cama y sobre  un trozo de papel dibujó  dos rectas perpendiculares y comprobó que  cualquier punto de la hoja quedaba determinado, con precisión, por su distancia a los dos ejes,  acababan de nacer las coordenadas cartesianas de un punto y con ellas, la Geometría Analítica.

•    DAVID HILBERT (1862 – 1943), tenía miedo a volar.

Es el  matemático más influyente en el siglo XX,  gracias a los veintitrés problemas abiertos que propuso en 1900 en el  Congreso Internacional de Matemáticos celebrado  en Paris.

Siendo catedrático de la Universidad de Göttingen, tuvo que recibir en su casa  a un nuevo profesor, que al entrar, se quitó sombrero  antes de sentarse a conversar.  Pasado un tiempo, Hilbert, ensimismado en sus pensamientos, decidió que la visita había terminado, se levantó  tomó el sombrero del profesor y, cortésmente, se despidió saliendo de su propia casa.

En otra ocasión, le invitaron a dar una conferencia, sobre el tema que él quisiera, pero debía tomar un avión y él sentía miedo a volar. Tituló la conferencia “La demostración del último teorema de Fermat”. Hizo una exposición brillante que no tenía nada que ver con Fermat. Cuando le preguntaron  por qué había elegido ese título respondió: " ¡Oh! el título era solamente para el caso en que  el avión se estrellara,  así  ustedes,  pensarían que habría demostrado  tan importante teorema”.


•    POINCARÉ (1854-1912) el “ambidextro”.

Matemático francés que hizo importantes contribuciones en todas las ramas de las matemáticas y matemáticas aplicadas, desarrolló junto a Albert Einstein y Hendrik Lorentz la teoría de la relatividad restringida.
Tmbién escribió obras de divulgación científica de gran difusión.

Sus  alumnos, le  llamaban ambidextro, ya que  dibujaba tan mal con una mano como con otra.


 H. Poincaré es el autor de la célebre frase “La geometría es el arte de pensar bien y dibujar mal”.




•    DIRICHLET, muy vago para escribir.

Matemático alemán (1805-1859)  que ocupó la cátedra de  Friedrich  Gauss en la Universidad de Göttingen, y al que  no le gustaba escribir cartas. Se cuenta que cuando tuvo que notificar  el nacimiento de su hijo al padre de su mujer, le envió un telegrama con el texto siguiente:  “1 + 1 = 3”.



•    BERTRAND RUSSEL (1872-1970) ¡ demostró que él, era el Papa !

Fue matemático, lógico y obtuvo el Premio Nobel de Literatura en 1950.

En una conferencia cuando exponía que de un enunciado falso se puede deducir cualquier cosa, le preguntaron :"Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5 entonces usted es el Papa".
 Russel  procedió a demostrarlo del siguiente modo: "Si suponemos que 2 + 2 = 5,  entonces estará de acuerdo que si restamos dos a cada miembro de la igualdad, la igualdad se mantiene, es decir,  2 = 3. Cambiando de miembro los dos términos de la igualdad y restando 1 de cada lado, da  2 = 1.
 Como el Papa y yo somos dos personas y 2 = 1 entonces el Papa y yo somos uno, luego yo soy el Papa".


•    IGOR  TAMM (1895 – 1971), salvó su vida  gracias a las matemáticas.

Matemático y Premio Nobel de Física en 1958. Durante la revolución rusa,  fue confundido con un agitador  y  detenido por unos milicianos, mientras  declaraba  su inocencia, le preguntaron  a qué se dedicaba, al

responder que era matemático, el  jefe de los milicianos le formuló el siguiente problema: “Calcúlame el error cometido al aproximar una función arbitraria por un polinomio de Taylor de n términos”.

I. Tamm, tembloroso, dibujó con su dedo sobre la arena, el desarrollo de la fórmula. Al acabar, el jefe miliciano le echó un vistazo y ordenó que lo soltaran. Tamm contaba esta anécdota ya siendo premio Nobel y lamentando no haber  llegado  a saber quién era aquel jefe con conocimientos matemáticos.

•    JOHN VON NEUMAN (1903-1957) y el problema de la mosca viajera.

Al matemático  John von Neumann  le propusieron una vez el siguiente problema: “Dos trenes separados por una distancia de 200 km se mueven el uno hacia el otro a una velocidad de 50 km/h. Una mosca partiendo del frente de uno de ellos vuela hacia el otro a una velocidad de 75 km/h. La mosca al llegar al segundo tren regresa al primero y así continúa su recorrido de uno a otro hasta que ambos trenes chocan. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la mosca?”

J. von Neuman respondió al instante: 150 km.

- “Qué raro – le respondieron - todos tratan de sumar la serie infinita de los vuelos de la mosca de uno a otro tren y tardan  bastante en dar la solución".
-  "No entiendo por qué es raro, así  es como lo he hecho" respondió Neumann.

La solución es fácil:  Como están a 200 km. y van a la misma velocidad, los trenes se encontrarán después de recorrer 100 km cada uno, en un tiempo de 2 h.
Por tanto la mosca estará volando de uno a otro durante dos horas, por lo que  recorrerá una distancia de 150 km, al ir a 75 km/h.


•    EINSTEIN (1879-1955) Y CHARLOT, una conversación entre genios.

Albert Einstein elogió, en cierta ocasión,  a  Charlie Chaplin, Charlot, con estas palabras: “Lo que siempre he admirado de usted es que su arte es universal; todo el mundo le comprende y le admira”.  
Chaplin le replicó, “Lo suyo es mucho más digno de respeto; todo el mundo le admira y prácticamente nadie le comprende”.



•    NORBERT  WIENER (1894-1964),  incapaz de encontrar su casa.
Es considerado el “padre”  de  la cibernética.  El día en que su familia se mudó a otro pueblo cercano, su esposa le sugirió que  se fuese a  la Universidad, y así ella encargarse de la mudanza y le dio una hoja con la nueva dirección.

Wiener, utilizó  este papel para resolverle, por la otra cara, una duda a un  alumno, y cuando volvió a su casa, por supuesto a la antigua, y verla vacía, pensó que  le habían robado, luego recordó la mudanza, y no encontraba el papel con la dirección.
 Preocupado salió a la calle  y vio que una joven  se acercaba  a la que preguntó:
- Perdone joven, pero es que yo vivía aquí antes y no consigo recordar...
- No te preocupes papá, mamá me ha mandado a recogerte.

Semper Amicis Hora: didáctico reloj de sol en Hita.

Siempre hay tiempo para los amigos, es la  inscripción grabada sobre  el reloj de sol que nos hemos encontrado en  la plaza del Arcipreste en nuestra reciente visita a Hita en Guadalajara.

SEMPER   AMICIS    HORA

Estado actual  28/04/13

 Un reloj de sol en el que se ve con toda claridad las líneas de las horas, de los días y el analema  y que nos van ayudar a explicar el funcionamiento de un reloj de sol.

Este reloj se complementa con una placa en la pared  con datos de su situación geográfica que nos permitirá,  conocer  el día, la hora solar , la hora media y la hora oficial en la que estamos además de  localizar  la estrella polar.






Este reloj se compone de:

1.- Una piedra circular y horizontal que contiene grabadas tres tipos de líneas
a)    Siete líneas curvas (verdes)
b)    Nueve líneas rectas (rojas)
c)    Un analema (azul)



 

2.- Un gnomon en el que figura la osa mayor y menor, con la estrella polar
 

  
3.- Una placa en la pared
Que contiene los datos geográficos del lugar donde está ubicado el reloj y que facilitará el cálculo para hallar la hora media y oficial:  longitud, ecuación del tiempo, analema, hora media, legal y solar,…





Pasemos a explicar el funcionamiento de este reloj.

1.- Líneas grabadas en el reloj.

1.1.- Siete líneas curvas: para  saber el día en que estamos.
En el reloj hay grabadas 7 líneas curvas, consideramos que la más cercana al  gnomon es la primera y la más alejada la séptima.
El 21 de junio, solsticio de verano, el  extremo de la sombra del gnomon recorre en toda su longitud la  primera línea curva, según van pasando las horas.
 El 21 de mayo y 21 de julio  la punta de la sombra recorre la segunda línea. y así  cada línea nos indica el recorrido de la sombra cada 21 de mes.
El 21 de marzo y 21 de septiembre, fechas de los equinoccios, el extremo de la sombra recorre la 4º línea que es  una línea recta.
Por último cuando se recorra la séptima línea nos está indicando  que estamos en el solsticio de invierno, 21 de diciembre que es el día en que el sol está más bajo y por eso la sombra es más alargada  en cada una de las horas.

1.2.- Nueve líneas rectas :  para  saber la hora solar
En el reloj hay grabadas 9 líneas rectas que salen de la base del gnomon y que nos marcan la hora solar, desde la 8:00 de la mañana hasta las 16:00 horas. (En  las 12:00 hora solar el sol está en el meridiano del lugar)
Cuando el  extremo de la sombra del gnomon está en una de esas líneas nos indica la hora solar a la que estamos.

1.3.- Un analema:  para determinar la hora media. 
Es la curva en forma de 8 que nos describe la punta de la sombra del gnomon a las 12:00 cada uno de los días, como vimos ya en este blog, no sigue la línea de la meridiana sino un analema alrededor de ella.

¿cómo se utiliza el analema para determinar la hora media?

No  todos los días tienen la misma duración, ello se debe a  los cambios de velocidad de la tierra alrededor del sol, lo que supone que unos días tengan una duración de unos segundos más o menos que otros.
Definimos el día medio como el que tiene 24 horas y consideramos que todos los días medios  tienen la misma duración
Para paliar este pequeño desfase hay que sumar o restar, a la hora solar marcada por la sombra,  la parte correspondiente de la ecuación del tiempo,  que viene indicada por  la distancia del analema a  la línea que marca las 12 solar, la meridiana, siguiendo las líneas curvas de los días.
Así en los meses de octubre o noviembre, a la derecha del reloj, debemos restar  la distancia del analema a la meridiana, siguiendo la línea curva del  día en que nos encontramos.
Pero si nos encontrásemos  en enero o febrero a la izquierda del reloj deberemos sumar esa misma distancia.
Hay cuatro fechas al año en las que no hay que sumar ni restar nada. Son las fechas que se corresponden con los extremos del  analema , 21 de diciembre y 21 de junio, y el punto donde se cruza.

1.4.- ¿Cómo sabremos la hora oficial?
Este reloj se encuentra a una longitud Oeste de 3º 2´48´´ del meridiano de Grenwich que es el que nos marca la hora oficial en España.
Sabemos que cada 15º es un huso horario, cada 15º  de longitud hay una diferencia de una hora. Entonces a  3º 2´48´´ = 3,04666 grados le corresponderá  un diferencia de 12,19 minutos de tiempo.

Entonces,  para saber la hora oficial  que marca en cada instante este reloj, una vez ajustado con  el analema,  hay que sumar  12,18 minutos que equivale a 12 minutos y 12 segundos.
Porque  a las 12:00 hora solar de Hita, situado a 3,046..º  longitud Oeste,  en el meridiano de Grenwich  ya son las 12 horas, 12 minutos y 12 segundos, hora oficial en España.
También hay que tener en cuenta que la hora oficial en España es en invierno  una hora mayor que la del meridiano de Grenwich y en verano 2 horas mayor.

2.- Un Gnomon.

En este reloj el gnomon es un triángulo rectángulo en el que figura grabado la Osa Mayor y la Osa Menor con la estrella Polar
¿Cómo se determina la estrella polar?

Continuando  la línea inclinada del gnomon, es decir, la hipotenusa (amarilla)  del triángulo rectángulo, llegaríamos hasta  la estrella polar, puesto que esta hipotenusa está construida del modo que sea  paralela al eje de la tierra.
Como dato curioso si este reloj estuviese más cerca del ecuador  la inclinación de esta hipotenusa tendría un  ángulo menor, tendiendo a la horizontal en el Ecuador.
Si  al contrario estuviese cada vez más cerca de  los polos la hipotenusa tendría cada vez un ángulo mayor tendiendo a la vertical,  en el polo norte sería vertical.

La línea de los equinocios  es recta  debido a que en los equinocios  el eje de giro de la tierra, la hipotenusa del gnomon, es  perpendicular a los rayos del sol

3.- Una placa en donde figuran los datos siguientes
Longitud del reloj, analema o ecuación del tiempo para hallar la hora verdadera, la hora media y la hora legal

EJEMPLOS DE HORAS MARCADAS POR EL RELOJ

En la siguiente imagen vemos tres ejemplos de como la sombra del gnomon nos marca fecha y hora sobre la piedra circular.
a) el primer punto está en la 3ª línea curva y en medio de las VIII y IX luego serán las 8:30 solar del 21 de abril o 21 de agosto.
b) El segundo punto está sobre la última línea curva, es decir, estamos a 21 de diciembre, y entre las X y XI.
y así el tercer punto.....

 Otro ejemplo 
 Mirando el extremo de la sombra y las líneas podemos saber el día y la hora solar, a la que se hicieron estas dos fotos.

La primera nos dice que son las 13:50 solar del 19 de agosto o 23 de abril y las segunda se hizo a las 11:30 solar  del 6 septbre o 6 abril

Este reloj y la placa fue colocado en el año 2000 por la Asociación Turístico Cultural Arcipreste de Hita. A la que agradecemos este regalo para los admiradores de los relojes de sol.
También agradecemos la información de la página web http://www.hita.info/ .


---------------------------------------------------------- 

Esta entrada participa de la edición 4.1231 del  Carnaval de Matemáticas, en este mes de mayo el blog anfitrión es Matemáticas interactivas y  manipulativas de Joaquín García Mollá

Mejor post de la edición de abril del Carnaval de Matemáticas

Tito Eliatron nos comunican que el artículo que presentamos a la edición 4.123 de abril de 2013 ha ganado el premio al mejor post por votación de los participantes.
Dicho artículo se titulaba: Meridianas, analemas e hipopedes.
 Por lo que se nos concede el siguiente distintivo como ganador para colocar en el Blog como recuerdo.

Es un estímulo para seguir trabajando y también agradecer a todos los participantes de las distintas ediciones del Carnaval de Matemáticas los artículos presentados que son tan sugerentes y nos dan muchas ideas para la enseñanza y didáctica de las matemáticas.
El premio es de todos.

Placa de la Meridiana en el Real Sitio de San Lorenzo.

Por fin hemos encontrado en la explanada de La Lonja de El Monasterio de El Escorial la placa conmemorativa al  trazado de la meridiana astronómica del Real Sitio de San Lorenzo, realizada en el año 1905 por D. Luis Ceballos Medrano, profesor de geodesia y topografía.
Nadie  de los que preguntamos conocía  la existencia de esta placa, una placa de 20 cm. x 20 cm. dentro de una superficie de unos 21.375 metros cuadrados, que rodea el Monasterio, pero al final apareció.
En ella se señala la dirección del meridiano del lugar, que cruza de forma diagonal  La Lonja enfrente de la entrada principal.

Placa conmemorativa de la trazada de la meridiana astronómica de San Lorenzo en 1905

Para quien quiera saber la localización aproximada de la placa, la siguiente fotografía le dará una buena  referencia, al fondo el Monte Abantos, a la derecha, de la foto, se encuentra la fachada oeste, donde  está la entrada principal.

Situación de la Placa Meridiana en referencia a la entrada principal  

Buscar esta placa es una buena escusa para disfrutar de un día de paseo por San Lorenzo de El Escorial y sus alrededores.

Meridianas, analemas e hipopedes.

1.- Meridianas.

Una  meridiana solar es un  instrumento gnomónico que nos indica, sobre una línea,  el momento  del paso del Sol por el  meridiano del lugar, el mediodía solar, cada uno de los días del año.

Esquema de la meridiana de San Petronio en Bolonia

La  construcción de meridianas ya era conocida  en la época del arquitecto  Marco Vitrubio, siglo I a. C.  que  lo describe en el  libro IX  de su obra De Architectura ,  tratado más antiguo de arquitectura  que ha llegado hasta nuestro tiempo.




Fue a partir de finales del siglo XV cuando, una vez  perfeccionados  los métodos y cálculos, cuando  se construyeron las más grandiosas y elegantes meridianas  que aún podemos admirar en la actualidad.

Para su construcción se realizaba un orificio en la parte superior de un muro, orientado al sur, de altos edificios ( iglesias, palacios,…)  de  manera que, al mediodía solar, el rayo de sol que incide en él se refleja sobre un segmento trazado en el suelo del edificio.

Ese segmento será de mayor longitud cuanto mayor sea la altura donde esté situado el  orificio.

Ese punto luminoso reflejado cada día, a mediodía, sobre la meridiana en el suelo, describe a lo largo de un año  una curva en forma de ocho  llamada analema.

En los solsticios, donde la altura del sol respecto al plano ecuatorial de la tierra es la mayor y  la menor, ese punto luminoso se encuentra en los extremos del segmento. 

El resto de los días, dependiendo de la altura del sol en ese día, el punto luminoso se alejará o acercará del segmento pero siempre describiendo una trayectoria de un ocho (8).

En la siguiente imagen vemos la fachada del Hotel Royal Victoria en  Pisa con una pequeña meridiana  que  hemos ampliado para que se vea el orificio por donde entra el rayo de sol a mediodía y la curva que describe, en forma de analema,  con los meses del año.

 

Analema en la fachada del Hotel Royal Victoria de Pisa

Los analemas , dependiendo de la latitud donde se encuentre la meridiana y dependiendo de la hora en que se tome (aunque  siempre se toma las 12 solar) pueden variar algo en la forma, en anchura o en el punto de intersección pero siempre manteniendo la figura de un ocho.

Las meridianas se utilizaban para realizar cálculos astronómicos, calcular la duración del año solar, saber cuando comenzaban y cuánto duraban las estaciones, conocer el ángulo de declinación,…

Meridianas más importantes:

Entre las meridianas más importantes que podemos admirar y que se consideran  verdaderas obras de arte y de ciencia destacaremos las siguientes:

I.- En 1437 el matemático y astrónomo Ulugh Beg (1393-1449), parece ser, que utilizó una meridiana en Santa Sofía de  Estambul, con una longitud de 50 m. para calcular la duración del año sidéreo, el resultado que obtuvo fue de que un año tiene 365,2570370… días

 

II.- En 1475 Paolo dal  Pozzo Toscanelli (1397-1482) construye una

  meridiana en  Santa  María de Fiore , en Florencia y coloca el  broncino con el orificio por donde entra el sol a unos 90 metros de altura, que es la mayor altura a la que se ha colocado este orificio. 

Meridiana de Sta. Mª de Fiore

En el siguiente enlace, podemos consultar, en este blog,  el artículo escrito sobre  Toscanelli , en el que además podemos visionar dos vídeos con el efecto que produce el sol sobre esta meridiana.

III.- También en Florencia, en la iglesia de  Santa María Novella,  podemos contemplar otra meridiana de 21,35 metros de longitud, construida por Ignazio Danti (1536-1586), matemático que utilizó la iglesia como un laboratorio para las investigaciones astronómicas, en su fachada construyó un reloj solar de múltiples horas y una esfera armilar.

IV.- Más de siglo y medio después de la de Santa Mª de Fiore , el astrónomo Giovanni Doménico Cassini (1625-1712)  construyó, en 1655,  la línea meridiana de la iglesia de San Petronio de Bolonia sobre una anterior de Ignazio Danti destruida al ampliar el templo.

Meridiana de San Petronio (en rojo)

Tiene el orificio a 27 metros de altura y la longitud de la línea  con sus 66,7 metros es de las de  mayor longitud construida.

 La meridiana cubre más de la mitad de la iglesia (como se observa en la imagen de la planta de la iglesia de la derecha en rojo ) y sigue funcionando con  perfectamente  en la actualidad

V.- En 1786 se construyó la meridiana del Duomo de  Milán.

Meridiana del Duomo de Milán.

VI.- En Roma, vamos a citar tres:

Una en  la   Salla della Meridiana en la Torre de los Vientos del  Vaticano , actual observatorio  astronómico (Specula Vaticana)  construida por de Ignazio Danti (1536-1586).

Salla della Meridiana en la Torre de los Vientos (Specula Vaticana)

Y otra en la basílica de  Santa Mª degli  Angeli  e dei  Martiri,  de 20 metros, realizada en 1702 por  Francesco Bianchini (1662-1729) considerada como una de las más bellas.

Meridiana de Santa María degli Angeli e dei Martiri

Una tercera meridiana podemos encontrarla  en la Plaza de San Pedro en el Vaticano, fue construida en 1817, siendo papa Pio VII .  El obelisco en el centro de la plaza hace de gnomon. En  el suelo de dicha  plaza  existe una línea de granito, que sale del obelisco  y que representa el meridiano del lugar,  a lo largo de ella hay 7 losas circulares donde  se señalan fechas y signos zodiacales.

Losetas de mármol con fechas y signos del zodiaco

 Sobre esta línea proyecta su sombra el extremo del obelisco justo a mediodía, coincidiendo sobre las losetas los días indicados en ellas. En los extremos de la línea más alejados del obelisco figuran los solsticios.
 En esta imagen figura el 21 de marzo y el 23 de septiembre con las fechas de los equinoccios y los signos zodiacales Aries y Libra.

Meridiana en la Plaza de S. Pedro en Roma

VII.- En España conocemos tres meridianas, dos de ellas en el Monasterio de El Escorial, una en la Galeria de Paseo, y la otra en la Antecámara del Rey, sala contigua a la anterior y la tercera en el Palacio de Aranjuez.

Las dos meridianas del Monasterio de El Escorial, fueron diseñadas por el  matemático y astrónomo Juan Wendlingen  (1715-1790) y realizadas por el grabador y escultor Esteban Baumgartner en 1755, según figura en una inscripción en cada una, siendo rey  Fernando VI.

Son meridianas más modestas que las italianas, de unos 6 metros de longitud cada una  y con el orificio de entrada del rayo de sol a unos 3 metros de altura, sobre un ventanal,  son casi idénticas, y están situadas de forma  paralela una a otra y a unos 10 metros de distancia. En ellas figuran los meses del año y los signos del zodiaco,

Meridiana en el Monasterio de El Escorial.

La tercera meridiana se encuentra en el Palacio de Aranjuez  y fue construida por el mismo matemático y escultor, que las de El Escorial en el año 1747.

VIII.- En París, merece destacar la meridiana de  la  iglesia de San Sulpicio construida por  el astrónomo inglés Henry Sully en 1743 con la particularidad de que la línea en  el suelo continua ascendiendo 11 metros por un obelisco en la pared , en los días de equinoccio a mediodía la luz del sol se sitúa sobre  un plato oval delante del altar.

Esta iglesia no fue destruida en la Revolución Francesa debido a la importancia de las  mediciones y cálculos astronómicos que se hacían con esta meridiana.

Meridiana de San Sulpicio, París.

2.- Analemas: Construcción  de una meridiana:

Para construir una meridiana: Clavamos una estaca en el suelo (gnomon) o en una pared orientada al sur y cada día siempre a las 12 del mediodía, (hora solar), aunque puede ser a otra hora cualquiera pero siempre a la misma,  señalamos el extremo de la sombra de la estaca sobre el suelo o pared.

A lo largo de un año el punto señalado nos describe una figura en forma de 8 o analema.

En su origen la palabra analema viene del griego  ἀνάλημμα  que significa “pedestal de un reloj de sol” es la curva que describe la posición del Sol en el cielo si todos los días del año se lo observa a la misma hora del día (tiempo civil) y desde el mismo lugar de observación.
El analema forma una curva que suele ser, aproximadamente, una forma de ocho (8) o leminiscata.

Nuevos tipos de analemas:

Después de la invención de la fotografía los analemas adquirieron una nueva dimensión
Si fijamos una cámara de fotos en un trípode e  hiciésemos  cada  día  una fotografía al Sol a la misma hora, desde el mismo lugar de observación y durante un año entero  obtendríamos una curva con  forma de ocho o de lemniscata que es el analema.

Analema visto desde el hemisferio norte

El Sol aparecerá en su punto más alto del analema durante el verano y en su punto más bajo durante el invierno. El eje mayor nos indica la declinación del sol.

 Los analemas dependiendo de la latitud donde se realice y de la hora del día en que se tome pueden    parecer  ligeramente diferentes. Vemos unos ejemplos de analemas

El primero está tomado durante 2005 en Side, Turquía, por el fotógrafo Tunç Tezel.

El segundo durante 2003, en Atenas, Grecia fotografiado por A. Ayiomamitis.

El tercero, de septbre de 2011 a agosto 2012 en Burgos por Jesús Peláez.

La lazada corta es el reflejo de la mayor velocidad de traslación de la  Tierra cuando circula por la sección de su órbita que está más cercana al Sol (y cuyo punto más cercano es el llamado "perihelio") y por la que la gravedad de el Sol ejerce una mayor atracción sobre el planeta.


3.- Hipopede:   Matemáticas en el analema:


El analema se asemeja a dos curvas matemáticas a la Hipopede de Eudoxo y a la Lemniscata de Bernouilli.


La hipopede de Eudoxo, o lemniscata esférica,  es la intersección de una esfera con un cilindro tangente interior a la esfera, debe su nombre a Eudoxo de Cnido ( 406 a.C. – 355 a.C.)

Tiene una construcción  dinámica dada por Eudoxo: La Hipopede es el lugar geométrico de un punto de un círculo máximo inclinado un ángulo alfa sobre el plano del ecuador girando a una velocidad constante alrededor del eje de los polos.

Entonces el punto que recorre ese círculo máximo a la misma velocidad y en sentido contrario a la esfera describe una hipopede.

la ecuación de la hipopede es

Siendo:
 r es el radio de la esfera
d distancia del centro de la esfera al eje del cilindro

La lemniscata es una curva en forma de  8 descrita en 1694 por Jakob Bernouilli como el  lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias a dos focos estas distancias es constante.
Bernoulli la llamó lemniscus, cinta colgante. Su fórmula es

siendo 2a la distancia entre los dos focos.

Lemniscata de Jakob Bernouilli

En Gaussianos  encontramos esta animación de la hipopede

1.- Tenemos una esfera de centro O y que rota a velocidad constante sobre un eje N-S
2.- Sea un punto M que gira sobre un paralelo
3.- Sea P el punto de intersección de los dos círculos máximos perpendiculares a OM y ON
4.- Tomo H, un punto de la circunferencia del  círculo máximo perpendicular a OM que se mueve a la misma velocidad pero en sentido inverso que la esfera.
Entonces este punto describe una hipopede.

  

Como curiosidad hemos encontrado, que en nuestro centro, en el curso de 1º de la ESO grupo D, hay   un globo terráqueo en el que podemos ver un analema.  

Globo terráqueo con analema en 1º ESO grupo D

----------------------------------------------------------------------

Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión en este mes de abril es Eulerianos