La siempre fascinante circunferencia de 9 puntos. El Teorema de Feuerbach.

Siempre es un buen momento para dejarse llevar por la fascinación de la  geometría, y aunque mires  mil veces  una figura, un proceso, una construcción geométrica.... jamás se pierde ese hechizo.

Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834)

Un ejemplo es la  conocida circunferencia de los 9 puntos  o de Feuerbach, considerada “como una de las más bellas coincidencias de la geometría  donde todo  encaja con perfecta armonía” y que nunca nos cansaremos de contemplarla y admirar sus propiedaes.

Esta circunferencia es atribuida al matemático alemán Karl W. Feuerbach (1800-1834) y aunque  fue estudiada  conjuntamente  por los franceses Brianchon y Poncelet  en un artículo en la revista  matemática  Annales de Gergonne  (Nimes  1820-1821), recibió  el nombre de  Feuerbach  porque de manera independiente en 1822 publicó un libro en el que aparecía  la circunferencia de los 9 puntos  y además,  el  Teorema de Feuerbach y numerosas propiedades geométricas de triángulos y circunferencias asociadas a las demostraciones.

CIRCUNFERENCIA DE LOS 9 PUNTOS.

(Se puede hacer como actividad de Matemáticas y Plástica en 1º de la ESO)

Dibujamos  un triángulo cualquiera  ABC

1.- Trazamos las tres alturas que  se cortan en el Ortocentro  O.

2.-  Las alturas cortan a los lados del triángulo en  tres puntos .

3.- Por estos tres puntos, como sabemos,  sólo hay una circunferencia que pasa por los tres.

Pues asómbremonos

 Esta circunferencia que pasa por los pies de las alturas (1, 2 y 3 en la imagen).

1.- Pasa por los puntos medios de los lados del triángulo ( 4, 5 y 6).

2.- Pasa por los puntos medios de los segmentos que une el Ortocentro (O) con cada uno de los vértices del triángulo (7, 8 y 9).

Una circunferencia que pasa por nueve puntos determinados.

Dicho de otra manera:

La única circunferencia que pasa por los tres pies de las  alturas.

La única circunferencia que pasa por los tres puntos medios de los lados.

La única circunferencia que pasa por los tres puntos medios de los segmentos que une O con cada vértice.

COINCIDEN,  Las tres, son la misma circunferencia.

Esta circunferencia que fue conocida por Brianchon y Poncelet se llama de Feuerbach  porque además  demostró:

1.- El centro de esta circunferencia está en la recta de Euler (recta que contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo) y es además El Punto Medio (M) del segmento formado por el Ortocentro (O) y  Circuncentro (P)  (véase  la imagen) !!

2.- La circunferencia de los 9 puntos (en rojo en la imagen) es tangente a la circunferencia inscrita (azul) al triángulo ABC  (en el punto 1 de la imagen) y a sus tres circunferencias  exinscritas  (violetas) ( en los puntos 2, 3 y 4 de la imagen)  este enunciado constituye el  TEOREMA DE FEUERBACH.

(El punto donde se corta la circunferencia de los 9 puntos y la inscrita (1) se llama punto de Feuerbach).

CURIOSIDADES:
En los  pasos previos a la demostración de este teorema se van obteniendo resultados sorprendentes como:

(sólo vamos a enunciar los resultados, dejamos las demostraciones para otra ocasión, sólo nos interesa mostrar la sencillez de las relaciones entre radios de circunferencias , lados y área de triángulos.
También hacemos notar que aunque aquí lo vemos con triángulos acutángulos, también se verifican en los obtusángulos con pequeñas observaciones).

Notación que utilizaremos:
a)  A, p , a, b y c son el área, el semiperímetro y los lados del triángulo ABC
b)  R y r radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC
c)  ra, rb y rc radios de las circunferencias exinscritas a los lados a, b y c respectivamente

OTROS RESULTADOS SORPRENDENTES:

1.- La relación entre el  radio (R)  de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC , el radio (r)  de la inscrita y las longitudes de los lados del triángulo , siendo p el semiperímetro del triángulo es:

2.- El Área del triángulo ABC en relación a los lados del triángulo y

    2.1.-Al  Radio ( R )de la circunferencia circunscrita es

   2.2.-Al radio ( r ) de la circunferencia inscrita es   A = p · r  

3.- El triángulo formado por los puntos-pie de las alturas MNP se llama triángulo órtico y tiene las siguientes propiedades:

         3.1.- Es el triángulo de menor perímetro entre los triángulos inscritos en el triángulo ABC y su perímetro es (véase imagen)

         3.2.- El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo órtico MNP  ( la circunferencia de los nueve puntos) es igual a la mitad del radio (R) de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. ( Esta comprobación es un buen ejercicio par los alumnos de 1º de la ESO)

4.- La relación entre los radios de la circunferencia inscrita a ABC y las exinscritas cumplen las siguientes relaciones:

                 

 Y como r = A / p  ( véase apartado 2.2.) se tiene  también que

                   

5.- Y sumando las tres relaciones se obtiene fácilmente:

     o también

6.-  El Área del triángulo ABC  sería       

y más y más relaciones que nos recuerda las relaciones entre las figuras de los Sangakus que ya publicamos a principio de este año y animo ver los ejemplos.

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Esta entrada participa en la edición 3,141592653  del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión se aloja en el Blog Que no te aburran las M@tes

Juan de Aguilera - matemático salmantino - introductor del heliocentrismo en España.

Juan de Aguilera matemático, astrónomo, médico y natural de Salamanca  aunque se desconoce la fecha de nacimiento, sí se sabe que murió en 1560 en su ciudad natal.

"Cielo de Salamanca" de Fdo. Gallego

Se licenció en  Medicina en 1532,  aunque desde su juventud se interesó más por las Matemáticas y la Astronomía gracias a la influencia de Abraham Zacut (1452-1510) y Rodrigo de  Basurto profesores de la Universidad de Salamanca.

Cuando era bachiller en Medicina se imprimió la primera edición de la que sería su gran obra Canones  astrolabii universalis (1530). En 1538 ocupó una sustitución en la cátedra de Astronomía de Salamanca. 

De 1540 a 1551 se trasladó a Roma donde atendió como médico a los papas Pablo III (1468- 1549) y Julio III (1487-1555),  pero sin abandonar su estudio de las Matemáticas. También  viajó por toda Italia visitando bibliotecas, consultando libros, conociendo a hombres de ciencia y aumentando sus conocimientos tanto médicos como matemáticos. Se tiene constancia de que acudía habitualmente a las reuniones científicas que, en aquella época, se celebraban en el Palazzo Colonna.

Allí,  entra en contacto con las teorías heliocéntricas del universo y estudia el libro De Revolutionibus orbium coelestium, de Nicolás Copérnico (1473-1543),   publicado póstumamente en 1543 y  es considerado el punto inicial de la astronomía moderna.

Sistema heliocéntrico de Copérnico

Con la adquisición de estos nuevos conocimientos  completa  y perfecciona  su obra  Canones astrolabii universalis (1530)  y el resultado fue su  segunda edición en 1554 impresa por Andrés de Portonaris en Salamanca.

Este libro alcanzó gran fama en su época  porque reunió la resolución de todos los problemas de astronomía y de geometría práctica, explicándolos con gran sencillez y ordenándolos del modo más adecuado para facilitar su aprendizaje.

En  1551,  Juan de Aguilera regresó a Salamanca, y  obtuvo  la cátedra de Astronomía de su Universidad,  hasta su muerte en 1560.  En ella enseñaba  aritmética, geometría, astronomía y cosmografía, y las nuevas teorías científicas que se estaban desarrollando por  Europa. Por lo que se le considera el introductor del sistema heliocéntrico de Copérnico en España.

Canones astrolabii (1554)

Durante estos años reorganizó los estudios salmantinos (Universitas Studii Salmanticensis)  y consiguió introducir de manera oficial, la obra de Copérnico,  en los Estatutos de la Universidad de Salamanca, único centro, en el siglo XVI, que lo hizo, rubricándolos  Felipe II el 15 de Octubre de 1561, justo al año siguiente de su muerte.

 Según consta en estos  Estatutos  se permitía  al  “voto de los oyentes”,  dedicar su exposición  bien al sistema clásico de  Ptolomeo, o bien al entonces muy reciente sistema de Copérnico. Los alumnos elegían leer el Almagesto o leer el De Revolutionibus...

Estos estudios continuaron impartiéndose hasta 1616 año en que la Iglesia condenó a Galileo (1564-1642).

La introducción del estudio  de Copérnico  no   supuso  ningún conflicto ideológico, pues se fijaba más en lo avanzado de los  cálculos astronómicos para la elaboración de tablas de navegación y efemérides   que   en el aspecto  teórico y significado teológico.

Biblioteca Universidad de Salamanca

Hasta 1616, la  obra de Copérnico fue muy  utilizada por los astrónomos y cosmógrafos españoles como una nueva técnica matemática de cálculo muy precisa  y no se cuestionaban nada más.
Incluso había quien  consideraba  que las teorías heliocéntricas no estaban en contra de las Sagradas Escrituras.

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Esta entrada participa  en la edición 3,14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es PI-MEDIOS.

Don Juan o El amor a la Geometría

En la librería Central de Callao me llama la atención un libro con el título Don Juan o El amor por la Geometría, publicado en marzo de 2012 por Cátedra.
 Don Juan o El amor a la Geometría es el título de una obra de teatro del dramaturgo suizo Max Frisch (1911-1991), publicada en 1953 y estrenada el 5 de mayo del mismo año en Berlín.
Fue considerada por los críticos la mejor obra de M. Frisch, “la más elegante y mundana”.
 La obra es una excelente parodia de este personaje clásico; además, es una curiosa visión irónica y burlesca del mito de don Juan.
Es una obra original y sugerente ya que el don Juan de Frisch no es el seductor insaciable de Tirso o de Zorrilla, al don Juan de Frisch no le interesan las mujeres, lo único que de verdad le importa es el estudio de la geometría que, para él, es una ciencia clara, precisa y de gran belleza plástica.

Pero al don Juan de Frisch las mujeres le persiguen, sus maridos le retan y se ve obligado a entablar duelos y duelos y nadie entiende esa pasión por la geometría. Para liberarse de este destino, desprenderse de su papel de mito, busca una salida: fingir su muerte y así dedicarse a lo que verdaderamente ama, La Geometría.
¿Interesante su  lectura?

Toscanelli: matemático en el descubrimiento de América y en la construcción de un gnomon en Florencia.

Paolo Dal Pozzo TOSCANELLI (1397-1482) matemático, astrónomo, cartógrafo y geógrafo florentino al que recordamos por dos hechos históricos: por un lado, su intervención en el descubrimiento del Nuevo Mundo y por otro, en la construcción del gnomon en la cúpula de la Basílica de Santa María del Fiore en Florencia.
Estudió matemáticas en la Universidad de Padua y como astrónomo, hizo anotaciones y cálculos sobre órbitas de cometas Ya  en 1456 observó el cometa Halley.
Además, colaboró con Brunelleschi , al realizar los cálculos para la construcción de la cúpula de Santa María del Fiore


 PARTICIPACIÓN EN EL DESCUBRIMIENTO DE AMÉRICA

En 1471, Toscanelli se puso en contacto con el canónigo lisboeta Fernào Martins para convencerle de que, si navegaban hacia el oeste, la distancia entre Lisboa y las Indias Orientales sería más corta que si lo hacían como los portugueses, hacia el este por la costa africana y atravesando el Índico.
Martins, impresionado, expuso estas ideas al rey portugués Alfonso V. Como le pidió más detalles,  Toscanelli le respondió con una carta, dechada el 25 de junio de 1474, en la que  incluía un esquema o mapa del Océano Atlántico.

Aquí se explicaba que la distancia de Lisboa a Quinsay, “ciudad del cielo”, capital de la China Meridional  y considerada por Marco Polo como la mayor ciudad del mundo, era de unos 26 espacios de 250 millas y se llegaría a ella antes navegando hacia el oeste.

En esta nueva ruta se encontrarían  dos grandes islas: La Isla Antilia, a 10 espacios de Lisboa, y la isla de Cipango (Japón) a otros 10 espacios y entre ellas habría una serie de islas menores que facilitarían la navegación, tal como se reflejaba en su mapa.
(En este mapa en azul clarito está la silueta de América en lugar real que le corresponde).

(Como dato curioso las primeras islas que se descubrieron en el Caribe recibieron el nombre de la mítica Isla Antilia )


Más tarde, una copia de esta carta le  llegó a Cristóbal Colón  que la utilizó en su primer viaje. Se sabe porque fray Bartolomé de Las Casas la menciona en su “Historia de las Indias”, donde se habla de la  ruta a la India por Occidente.
También esta carta náutica de Toscanelli aparece pegada en la contraportada de uno de los libros que, según Hernando Colón utilizó su padre para preparar el Primer Viaje.

El error en los cálculos de la distancia de Lisboa a Cipango se debía a que Toscanelli, basándose en los cálculos de Ptolomeo, consideraba que la tierra tenía una circunferencia de unos 29.000 km, en lugar de los 40.000 reales. ( Parece ser, que en el mapa,  también estiró un poco Asia para que la distancia fuese menor).
Este error de cálculo tuvo un efecto relevante en el descubrimiento de América ya que Colón pudo obtener el apoyo económico de los Reyes Católicos, que no hubiese recibido si se hubiera conocido la distancia real a Cipango.  Eso sí, se mantuvo el error de que las nuevas tierras descubiertas eran de Asia Oriental.

 Toscanelli  falleció en su ciudad natal, Florencia,  en 1482 con 85 años, diez años antes de que Colón pudiera por fin hallar las tan deseadas Indias  por la ruta del oeste sugerida por aquél.


GNOMON EN SANTA MARIA DE FIORE


Toscanelli colaboró con Brunelleschi en la construcción de la cúpula de Santa María de Fiore en Florencia. Alrededor de 1468 Toscanelli, una vez terminada la cúpula instaló, en lo alto a 90 metros, para efectuar mediciones y cálculos, un  gnomon que aún puede verse en la actualidad.

Cúpula de Santa Mª del Fiore con el gnomon, placa de bronce con orificio.

A diferencia de un gnomon clásico, cuya sombra se mueve sobre un cuadrante graduado, lo construye con una placa de bronce “bronzino” con un orifcio circular por el cual pasan los rayos del sol  y se reflejan en el piso interior del duomo en una losa circular de mármol blanco.
Este rayo de sol deslizándose por una escala graduada en el suelo de la Basílica, fue utilizado por Toscanelli para determinar las horas del día, los puntos solsticiales, las variaciones del tiempo debidas a la precesión u oscilación de la eclíptica, y también  para corregir las tablas alfonsinas, utilizadas hasta ese momento para representar el movimiento solar.
 Tal era la precisión de este gnomon que a finales del siglo XX se utilizó para averiguar la inclinación del plano de la órbita de los planetas en relación al plano solar, comparando los cálculos tomados a lo largo del siglo.

Toscanelli utilizó también estas observaciones para calcular las medidas de la Tierra, y perfeccionar sus cálculos cartogáficos, lo que le permitió corroborar que la distancia de Europa hasta Asia oriental era más corta navegando hacia el Oeste en vez de navegar hacia el Este.


En el siguiente video de 21 segundos vemos que, en el solsticio de verano , 21 de junio, el rayo de sol se coloca encima de la  losa circular de mármol en el suelo.

En este otro video,  de 1 minuto 57 segundos,vemos como se mueve el rayo de sol, que entra por el orificio de la placa de bronce en lo alto de la cúpula, entre el suelo cosmatesco de Santa María del Fiore y es observado por numerosos visitantes de la Basílica.




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Este artículo participa en la edición 3,1415926  del Carnaval de Matemáticas siendo, en esta edición su blog anfitrión Series Divergentes

Geometría en Roma

Un viaje a Roma o a cualquier parte puede enseñarte que las matemáticas están en numerosos lugares, aprende a buscarlas y a disfrutar con ellas.

En esta presentación  te mostramos diferentes lugares de Roma donde las hemos descubierto, haciendo un recorrido desde lo más alto, sus cúpulas, hasta los adoquines que pavimentan las calles romanas.

Numerosos artistas a lo largo de los siglos nos las han ido trasmitiendo con su arte: Miguel Ángel y su bella y grandiosa cúpula.
Bernini y Borromini en su lucha geométrica por las formas como puedes ver en sus escaleras y en sus iglesias barrocas
Los Cosmati,con sus geometrías planas que recuerdan a la Alhambra y decoran los suelos en un sin parar de formas geométricas.
Esto es solo un resumen del contenido de esta presentación  que esperamos os despierte la inquietud por las matemáticas.

Ángulo de oro: cómo gira la naturaleza.

        El  número de oro, lo solemos encontrar como una proporción entre un segmento y los dos segmentos en que le dividimos.

 

        Sabemos además que un  rectángulo es áureo  si el cociente entre sus dos longitudes, la mayor entre la menor es el número de oro (φ).

        ¿Se podría  extender de forma análoga esta relación a los ángulos además de a los segmentos?

     ¿Se podría encontrar un ángulo de oro?

            

Recordamos  la relación que deben cumplir dos segmentos para que estén en proporción áurea.

        

            De manera análoga, podemos extender esta relación  y encontrar el ángulo de oro.

             El ángulo de oro  se define, como el ángulo que se obtiene al dividir el círculo en dos ángulos tales que el cociente entre el mayor y el menor sea el número fi.

ñ

 

        Al resolver esa ecuación, los valores resultantes son 222,5º y 137,5º  (redondeados a las décimas).

                El ángulo de 137,5º es conocido como ángulo áureo.

                ¿Se encuentran  ángulos de oro en la naturaleza?

        Ángulo de oro y Filotaxis. 

            En el crecimiento de algunas plantas,  las hojas se distribuyen alrededor de un tallo en ángulos áureos.  (Filotaxis: disposición de las hojas en un tallo).

            Las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad posible de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo.

        A medida que el tallo va creciendo, cada hoja  brota con un ángulo fijo respecto a la hoja anterior.

        Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas  y que éstas no se solapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º.

        En la siguiente imagen, la de la derecha vista desde arriba,  vemos la distribución de las hojas alrededor de un tallo y observamos que ninguna hoja está completamente sobre otra anterior.

            El porqué el ángulo áureo produce la mejor disposición de las hojas alrededor de un  tallo está ligado al concepto de número irracional.

            Pues, si un ángulo es irracional por muchas veces que lo desplaces alrededor de un eje nunca regresará a la posición inicial.

            Si observamos esta imagen, en  la que vamos añadiendo hojas con un ángulo de 137,5º desde la hoja  anterior:

        a) Las dos primeras hojas están separadas el número áureo, 137,5º en un sentido o 222,5º en el otro.

        b) Las tres primeras hojas   están  bastante distanciadas unas de otras (la 2ª de la 1ª y la 3ª de la 2ª tienen una separación de 137,5º, el ángulo áureo).

     c)  Las tres siguientes, la 4,  la 5 y la 6 tienen una separación de 52,5º respecto a las más cercanas (la 1ª, la 2ª y la 3ª respectivamente).

        d) La 7ª tiene un ángulo respecto a la más cercana la 2 de 32,5º y respecto de la 4 de 52.5º así ... observamos que  ninguna hoja tapa a una inferior.

        El  video encontrado en YOUTUBE:   Ángulo de oro y FILOTAXIA subido por  C. R. IPIÉNS. nos ayuda a clarificar todo esto.

 

        A partir de 1:50 minutos tenemos la obtención del  ángulo áureo por medio de arcos de circunferencia y a partir del minuto  2:23 se explica con detalle  la distribución de las hojas alrededor de un tallo según la proporción áurea.



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Esta es la contribución de Sacit Ámetam a la edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, en esta edición el blog anfitrión es ZTFNews