Arte contemporáneo y Matemáticas

¿Qué tienen en común los directores de cine David Lynch y Takhesi Kitano, la cantante Patti Smith, los fotógrafos Hiroshi Sugimoti y Raymond Depardon, la artista plástica Beatriz Milhazes y las Matemáticas?

El 21 de octubre La Fundación Cartier de París, inauguró la exposición Mathématiques un dépaysement soudain que se podrá disfrutar hasta el 18 de marzo de 2012.

Durante tres años la colaboración entre artistas de la talla de David Lynch, Patti Smith, Raymond Depardon, Takeshi Kitano o Hiroshi Sugimoto, y científicos y matemáticos como Misha Gromov, Don Zagier, Michael Atiyah o Cédric Villani han hecho realidad esta exposición.

Se pretende, "convertir el pensamiento abstracto de las matemáticas en una experiencia sensible e intelectual apta para todos" según palabras del director de la Fundación Hervé Chandès.

"Su objetivo es convertir las matemáticas en una especie de experimento sensorial, que los artistas imaginen su obras inspiradas en la lógica científica, y encontrar maneras nuevas de ilustrar lo abstracto" explica uno de los comisarios de la exposición, Thomas Delamarre.

Se busca provocar en el visitante esa "desconexión repentina" (dépaysement soudain) que da título a la exposición expresión con la que el matemático Alexandre Grothendieck (nacido en Berlín 1928, medalla Fields en 1966)) define esta disciplina.

La idea de que esté instalada en la Fundación Cartier y no en un Museo de las Ciencias es porque no se quiere explicar conceptos o teorías matemáticas, sino transmitir el gusto por el pensamiento matemático a través de un lenguaje estético. Queremos demostrar que las matemáticas pueden ser elegantes y divertidas como asegura Delamarre.

Pese a lo inédita y especializada que pueda parecer, la muestra se dirige al gran público, no es necesario saber matemáticas. Los artistas elegidos para participar son ampliamente conocidos, abiertos y curiosos y han aceptado este reto de buscar respuestas estéticas a las matemáticas.

Participantes en la exposición:

1.- Entre ellos figura el director de cine David Lynch (nacido en Montana, 1946), Lynch ha imaginado una estructura en forma de cero, que conduce al visitante hacia la denominada Biblioteca de los Misterios. En su interior, Lynch repasa, a través de vídeos y sonidos sugerentes, la historia de las matemáticas. Los grandes matemáticos pasan por el filtro lynchiano, que convierte sus teorías y hallazgos en inquietantes proyecciones de caleidoscopio.

En la sala contigua, Lynch junto a Takeshi Kitano, cineasta japonés nacido en 1947, y Beatriz Milhazes han ideado la escenografía de la Sala de los Cuatro Misterios, en la que se exponen los últimos avances de la investigación matemática a través de otro vídeo filmado por Lynch en el CERN de Ginebra.



2.- La cantante y compositora estadounidense Patti Smith, ( nacida en Chicago, 1946) se suma al proyecto cantando textos del gran matemático Misha Gromov, ( matemático ruso nacido en 1943, recibió el premio Abel en 2009).

"Siempre he adorado la perfección de la geometría, aunque mi relación con ella es de orden estético. Esta exposición celebra ese tipo de belleza intrínseca y nos recuerda que la matemática es la reina de las ciencias", asegura Smith.

3.- Por su parte, el artista conceptual japonés Hiroshi Sugimoto, (fotógrafo japonés nacido en 1948) el más familiarizado de los presentes con el universo matemático, contribuye a este exposición de las ciencias exactas con una escultura de tres metros de altura que traduce la abstracción matemática.

4.- El fotógrafo y documentalista francés Raymond Depardon, (nacido en 1942) realiza para la muestra un documental en blanco y negro, como una tiza sobre la pizarra, donde se entrevista a varios matemáticos y se comprueba la pasión por esta ciencia y la plasticidad de sus diagramas y teoremas. Se concluye de manera directa que las matemáticas son una experiencia de gran valor estético .

5.- la artista brasileña Beatriz Milhazes, nacida en 1960, inspirándose en las tablillas de Sangaku que los japoneses en el siglo XVIII colocaban en sus templos con ilustraciones de figuras geométricas , ha compuesto un collage en el que las ecuaciones que gobiernan fenómenos como la irisación, el vuelo de las aves o la morfogénesis hacen entreveer la matemática que hay detrás. "incluso el fuego se rige por los números".



En esta exposición se consigue ver el gran poder estético y sensorial de las matemáticas en manos de grandes artistas, se visualiza los grandes conceptos y teorías para crear belleza.

Una buena razón para visitar París. este invierno.

( de un artículo de Público de Alex Vicente París publicado el 21/10/2011))

Triángulo de Reuleaux

        El triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante es decir, la distancia entre cualquier punto de una de las curvas y el vértice opuesto es siempre la misma y además, tiene la propiedad de que puede rodar entre dos rectas paralelas tocando siempre un punto de una y otro punto.

         Esta curva fue desarrollada como una "forma de mecanismo útil" por  Franz Reuleaux (1829 – 1905) ingeniero alemán al que se considera el  padre de la cinemática.

Franz Reuleaux (1929-1905)

                                                       

       Construcción de un triángulo de Reuleaux:

        Se obtiene partiendo de un triángulo equilátero de lado L . Trazando, con centro en cada vértice, arcos de circunferencia de radio L entre los dos vértices opuestos.

    

        También se puede obtener como la intersección de tres circunferencias.
    Perímetro y Superficie de un triángulo de Reuleaux.

        El perímetro de dicho "triángulo" es la suma de los tres arcos de circunferencia de radio L, siendo L el lado del triángulo equilátero 

                                                         Perímetro  = Pi * L

        

        Es el mismo perímetro que el de todas las curvas de anchura constante L, 

    Coincide, pues, con el perímetro de una circunferencia de diámetro L (curva de anchura constante L).

       Coincide con el producto de PI por la distancia entre las paralelas, respecto a las que tiene longitud constante (Teorema de Barbier).

        La superficie de este "triángulo" de diámetro L es la menor de entre todas las figuras de un ancho constante dado: L , siendo el círculo, de diámetro L la figura de mayor superficie de todas ellas. (Teorema de Blaschke-Lebesgue).

        El área de dicho triángulo y el perímetro de dicha figura viene dado por las igualdades:

    Curiosidades del Triángulo de Reuleaux:

        1.- Alcantarillas con tapas que no caigan en el agujero.

        Debido a que todos las distancias de un vértice al arco opuesto son iguales , el triángulo Reuleaux, responde a la pregunta "Además de un círculo ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través del agujero?".

        En San Francisco (California) podemos encontrar este tipo de tapas de alcantarillas del Departamento de Aguas de San Francisco (SFWD).

    2.- Figuras de ancho constante utilizadas como rodillos.

        Existen figuras distintas del círculo con la propiedad de que en cualquier dirección que se tomen, su ancho es el mismo y por tanto, usadas como secciones de rodillos, funcionan tan bien como los rodillos circulares.

        La figura más sencilla después del círculo con esta propiedad es el triángulo de Reuleaux. El que sea de ancho constante, implica que si inscribimos el triángulo entre dos paralelas, siempre las tocará, giremos el triángulo como lo giremos.

        Si además de esas dos paralelas, pongo otras dos perpendiculares (formando un cuadrado en la intersección), el triángulo deberá SIEMPRE tocar las cuatro lineas, los cuatro lados del cuadrado, se le gire como se le gire:

        Aunque, no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotación, pues, el centro describe un pequeño círculo.


    3.- Brocas para hacer agujeros cuadrados:

            Puede resultar extraño, pero este triángulo permite construir brocas para hacer agujeros prácticamente cuadrados. El área que describe esta broca al girar cubre un 98,77 % del área de un cuadrado, con las esquinas ligeramente redondeadas, y permitiendo la realización de tan peculiar agujero. Esta broca fue inventada en 1914 por Harry Watt.




        Pero nos falta un detalle, que la taladradora tenga el eje descentrado, que describa un pequeño círculo en cada rotación, para que al girar la broca perfore un sección cuadrada,

        (Vemos en el siguiente video una animación de cómo funcionaría una "broca de Reuleaux" para hacer un agujero cuadrado).

4.- Motor Wankel

        El motor Wankel es un tipo de motor de combustión interna, que fue inventado por Félix Wankel en 1924 y que en vez de pistones como los motores convencionales utiliza un rotor, en forma casi de triangulo de Reuleaux. ( los vértices están un poquito curvados).

        

Aunque con algunos inconvenientes, se fabricaron motos Norton y Suzuki RE-5 con este tipo de motor y de manera ocasional se fabricaron, también, coches como el Ami M-35 de Citroën, entre 1961 y 1979, y el C-111 de Mercedes Benz también en los años 60 y 70 .

 

 
        Mazda es la marca que más modelos de coches a fabricado con este tipo de motores. Como curiosidad, en 1991, Mazda consiguió vencer en las 24 horas de Le Mans con el modelo 787B con un motor con cuatro rotores wankel.

         Hace pocos años, en 2003, Mazda relanzó el motor wankel con su modelo RX-8 con dos rotores, en la foto aparece el modelo fabricado en 2010.

5.- Arquitectura

        Esta figura por su elegancia y por la sencillez de su trazado (intersección de tres circunferencias) ha sido un motivo muy utilizado en arquitectura sobre todo en el periodo del Arte Gótico, vamos a destacar:

        En El Monasterio de Nuestra Señora de la Oliva , en Carcastillo, (Navarra) (foto izqda.) y en la Catedral de Ciudad Rodrigo (Salamanca) (Foto derecha) vemos dos ejemplos de este triángulo en la decoración de sus claustros.

        En el claustro de la Abadía cisterciense de Hauterive, fundada en 1138, en Posieux (Suiza) podemos también observar tres triángulos de Reuleaux inscritos en una circunferencia. Observemos la cantidad de geometría que hay en los distintos arcos de este claustro.

        En Madrid la Torre Sacyr , el tercer rascacielos más alto de España, con 52 plantas y una altura de 236 metros, acabada de construir en 2008 tiene planta de Triángulo de Reuleaux.

        Entre objetos con forma de Triángulo de Reuleaux están las pastillas Smint y lápices con esta forma por suponerla más ergonómica.


Incluso varias monedas, de distintos valores, se han acuñado en las Islas Bermudas tienen esta forma:

y otros muchos más que puedes ir descubriendo.

.

===============================================

Este artículo participa en la Edición 2.7. del Carnaval de Matemáticas de octubre de 2011, en esta edición el blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia

Paradoja: El cuerno de Gabriel o La Trompeta de Torricelli.

El Cuerno de Gabriel, también, llamado Trompeta de Torricelli, es una figura geométrica que se caracteriza por tener una superficie infinita que encierra un volumen finito.


Esta figura, fue ideada por el matemático y físico Evangelista Torricelli,( 1608-1647) que demostró que la superficie generada por la hipérbola “y = 1/x”, al girar sobre el eje x , con x tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.



Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso para el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito que hizo intervenir almismísimo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

¿Puede una superficie infinita encerrar un volumen finito?
Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.
Si a tiende a infinito la superficie es infinita


Se dieron, en aquel tiempo, varias explicaciones a esta paradoja.
Una de esas soluciones es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Pero, esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura que contenga sea infinita.
También se barajaba, que una trompeta de estas características no se podría construir, que si alguien invetase una pintura con átomos o moléculas sin grosor necesitaríamos una cantidad infinita de tiempo para pintarla y llegar al fondo e infinita cantidad de pintura que necesitaría un infinito espacio para almacenarla......
¿Qué opinas tú?