"La avaricia vacía la bolsa" ( propuesto por el abuelo de un alumno de 1º de ESO)

Un peregrino está realizando el Camino de Santiago, de su cinturón cuelga una bolsa donde se encuentra el dinero del que dispone para el viaje. Ve una ermita y entra, como no lleva mucho dinero le reza al santo de la ermita del siguiente modo: " santo bendito si me doblas el dinero que llevo en la bolsa te doy una limosna de 20 reales" , abre la bolsa y ve que tiene el doble de dinero que llevaba, le deja 20 reales y continua el camino.

Al pasar por delante de otra ermita entra y reza del mismo modo: " santo bendito si me doblas el dinero que llevo en la bolsa te doy una limosna de 20 reales" , abre la bolsa y comprueba que se le ha duplicado el dinero que llevaba, entonces, todo contento le deja de limosna 20 reales.

A lo lejos ve otra ermita, contento se acerca a ella y se encomienda al santo de la misma forma " santo bendito si me doblas el dinero que llevo en la bolsa te doy una limosna de 20 reales" el santo le dobla el dinero que lleva , le deja 20 reales y ante su sorpresa la bolsa se queda vacía.

¿ Cómo es posible? ¿Cuánto dinero llevaba el peregrino al principio?
( la solución en esta página, dentro de un mes)

( las unidades monetarias no importan, si los reales no te gustan cambialos por euros y halla los euros que debería llevar al inicio del camino)

Pregunta en tu casa ¿ qué es un real ? ¿ Alguien de tu casa ha conocido una moneda de real?¿ y una moneda de dos reales?

(puedes ver publicada la solución el 18 de noviembre) (Ir a la solución)

Trigonometía y Reyes Católicos: El Tratado de Tordesillas.

    El 7 de junio de 1494 se firmó el Tratado de Tordesillas, en virtud del cual, Isabel y Fernando , reyes de Castilla y Aragón, y Juan II rey de Portugal, establecieron  un reparto de las zonas de conquista y anexión del Nuevo Mundo mediante el trazado de una línea ( un meridiano completo) que dividía al mundo en dos zonas, a un lado la zona del Reino de Castilla al otro la zona del Reino de Portugal.

Tratado de Tordesillas, versión portuguesa y castellano-aragonesa

    A Castilla le corresponderían todos los territorios situados más allá de 370 leguas al Oeste de las islas de Cabo Verde y a Portugal los que estaban más acá.

    Una legua era una medida de longitud de aproximadamente tres millas.

    Una milla náutica es la unidad de longitud empleada en navegación y es la longitud de un arco de un minuto de arco de latitud terrestre. 

     Así, 60 millas náuticas de latitud equivalían a un grado de latitud. La milla náutica son 1.852 metros.


    El problema vino a la hora de determinar cómo establecer esa línea divisoria entre ambos territorios.

    Los navegantes, en aquella época, sabían encontrar con precisión la latitud donde se encontraba el barco.

Mirando la Estrella Polar
obtengo la latitud

    Cuando se trata de calcular la latitud Norte-Sur no hay ningún problema, pues, sólo hay que medir el ángulo que forma la Estrella Polar con la horizontal y ese ángulo era perfectamente medido con el astrolabio.( Ver la imagen).

        Entonces conociendo los grados que me desplazo hacia el norte y conociendo el el arco de circunferencia descrito puedo conocer  la distancia Norte-Sur sobre un meridiano que he recorrido.


    Ahora bien, medir la longitud Este-Oeste, es muy complicado, pues, no existe ninguna estrella que sirva de referencia ni ningún instrumento que la halle.

     Los Reyes Católicos plantearon el problema de encontrar la línea divisoria impuesta en el Tratado de Tordesillas a un matemático mallorquín llamado Joaquín Ferrer, que propuso la siguiente solución basada en sus conocimientos trigonométricos.  

    "En un triángulo rectángulo con un ángulo de 45º los catetos miden lo mismo.  Así que para obtener un cateto horizontal de 370 leguas se partiría de las islas de Cabo Verde con un ángulo de 45º respecto al paralelo con dirección Noroeste. Se navegaría en línea recta (por la hipotenusa del triángulo) observando siempre el desplazamiento Norte-Sur, y cuando éste sea de 370 leguas se llega  a la línea divisoria decidida en el Tratado".


    Como se ve el razonamiento es muy simple y factible  pero ¿Qué hicieron los Reyes Católicos?

    Los Reyes Católicos no creían en la trigonometría y lo resolvieron del modo siguiente:

        Tomaron 20 marineros de cada parte, de Castilla y de Portugal, los más honestos y responsables y se hicieron a la mar desde Cabo Verde. Cada uno indicaría, según su recto entender,  por donde pasaría ba la línea divisoria y luego se calcularía la media de las 40 opiniones.

        El nivel de las matemáticas de la primera potencia mundial da una idea del estado de las matemáticas por aquella época.

        Dependiendo de distintos autores que manejaban distintas distancias para el ecuador de la Tierra, se encontraba entre los meridianos 42º O y 45º O.
 
        Vemos  dos mapas de la época con el meridiano de Tordesillas trazado, uno español (1500)  y otro portugués (1502).

    1.- Mapa del  navegante y cartógrafo español Juan de la Cosa de 1500. Se puede admirar en  el Museo Naval de Madrid.

Mapa del cartógrafo español Juan de la Cosa (1500).

2.- Mapa de Cantino. Mapamundi atribuido a  un cartógrafo anónimo portugués de 1502.

Planisferio de Alberto Cantino (1502).

    Artículo propuesto por Federico López Carrión profesor de matemáticas del IES Máximo Trueba en el curso 2006/07).
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Mensajes para habitantes de otros mundos (propuesto por Altair Montero alumna de 3º de ESO )

Los científicos coinciden en que el tipo de mensaje que podría ser entendido por otros seres inteligentes debe ser un mensaje matemático.
Un físico inglés propuso que se enviasen como señales de radio ciertas afirmaciones matemáticas como los nueve mensajes que ahora te proponemos.
¿ Sabrías averiguar qué dicen ?

Primer mensaje:

Segundo mensaje :
Tercer mensaje :

Cuarto mensaje :

Quinto mensaje:

Sexto mensaje :

Séptimo mensaje :

Octavo mensaje :

Noveno mensaje :

Mándanos tus respuestas, publicaremos las más ingeniosas

( publicada la solución en el artículo del 02/11/07) (Ir a la solución)

Descubriendo el número π ( Boletín nº 6 )

En París, en el Palais de la Découverte , en la " Sala de π " hay una cúpula de π decámetros de longitud ( 5 metros de radio ) donde figura el número π con 707 decimales.
William Shanks ( 1812-1882) matemático inglés dedicó 20 años de su vida en calcular, por métodos manuales, decimales de π. En 1873 consiguió llegar al decimal 707 . Se le consideró como un héroe en aquel tiempo y su proeza digna de ser colocada en la cúpula de este museo. Pero, en 1944, D.F. Ferguson descubrió que de los decimales hallados por Shanks , sólo los 527 primeros eran exactos y a partir de ese eran erróneos. Los encargados del Museo de la Découverte tuvieron, entonces, que retirar los últimos 180 decimales y recolocarlos de nuevo.
En 1947 Ferguson ya con una calculadora mecánica obtuvo 808 decimales de π. En 2002, Takahashi y Kanada, utilizando ordenador Hitachi SR8000/MP hallaron 1.240.000.000.000 cifras decimales de π.

Podéis hacer un experimento muy curioso y encontrar muchos decimales de π, es un problema de probabilidad geométrica planteado y resuelto en 1777 por el matemático y naturalista francés Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon. Hazlo y mándanoslo por e-mail lo publicaremos en nuestro blog sacitametam.

“LA AGUJA DE BUFFON”.

Dejamos caer una aguja sobre una hoja rayada y anotamos las veces ( C ) que la aguja corta alguna de las rayas.

Después de lanzar la aguja un número (L) elevado de veces, Buffon comprobó que su experimento estaba íntimamente relacionado con π.

Para obtenerlo, se multiplica esa cantidad (L) por dos y el resultado se divide entre el número de veces que la aguja corta (C) a alguna de las rayas. Cuanto mayor sea el número de veces que se arroje la aguja sobre la hoja, mayor es la aproximación a π.

¿No te parece interesante?.

Nota: La longitud de la aguja debe ser igual a la distancia entre las rayas.

( En el supuesto que la longitud de la aguja fuese menor que la distancia entre las rayas esa fórmula se vería afectada de un factor de corrección que depende de las dos longitudes)

Dedicado a la profesora Carmen López-Manzanares por su París de ensueño

Leonard Euler ( Boletín nº 6 )

Leonard EULER

“el Mozart de las matemáticas”
2007 Tercer centenario de su nacimiento

Fue uno de los más grandes y prolíficos matemáticos de todos los tiempos. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea ( Suiza ) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petesburgo ( Rusia )

Contribuyó a asentar la mayor parte de la notación y terminología que hoy utilizamos. Introdujo la letra e para los logaritmos Neperianos (1731), e hizo extensivo el uso de la letra de π para la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro en “Introducción al cálculo infinitesimal” (1748)
También a él se le debe la letra i para representar a la unidad de los números imaginarios
y encontró la relación de estos tres números con el 0 y el 1 en la maravillosa fórmula: llamada en su honor FÓRMULA DE EULER
También a él se le debe la utilización de f(x) para representar una función de x y el símbolo S para el sumatorio
En cualquier figura de muchas caras o poliedro, Euler demostró que “el número de aristas más dos es siempre igual al número de vértices más el número de lados” .

La fórmula es : e + 2 = v + s


Puedes comprobarla en un cubo. Aunque es válida para formas geométricas complejas, como la de la figura de 240 lados siempre tiene 360 aristas y 122 vértices

A Euler se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos
en cualquier campo del saber. Se cuenta que él mismo decía que su lápiz parecía sobrepasarlo en inteligencia, por la gran facilidad con que fluían de él sus escritos. La mayor parte de su obra está sin publicar. En 1911 se comenzó a recopilar , el proyecto inicial se planeaba sobre 887 títulos, trabajos, memorias,... en 72 volúmenes, pero en la actualidad estas cifras han sido ampliamente rebasadas.

Habrás observado que tanto en secundaria como el bachillerato constantemente utilizamos sus notaciones, terminología e incluso algún teorema

¿ Quieres ser un gran matemático? ( Boletín nº 6 )

Construye una sucesión de números de la siguiente forma:
1º.- Elige un número cualquiera para el primer término de la sucesión
2º.- El segundo término de la sucesión se construye:

a) Si el número elegido es par lo dividimos entre dos
b) Y si es impar lo multiplicamos por tres y le sumamos la unidad y así sucesivamente hasta llegar al 1 donde la sucesión se para. ( Si continuásemos caeríamos en un ciclo: 4, 2, y volveríamos al 1)

Ejemplos:
a) 24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
b) 17, 52, 26, 13, 40 20, 10 5, 16, 8, 4, 2, 1

Hasta hoy, todos los ejemplos de sucesiones acaban en 1. Pero, no se ha podido demostrar que todas estas sucesiones deban acabar en el 1 para todo número elegido en primer lugar.
Es decir, que puede existir un número inicial tal que la sucesión que genera no llegue al 1
PRUEBA Y ENCUENTRA ESE NÚMERO Y ENTRARÁS EN EL LIBRO DE ORO DE LAS MATEMÁTICAS.
Esta conjetura fue propuesta en 1937 por Lothar Collatz se la conoce también por: “ EL PROBLEMA 3X + 1 “.

Cita en el Boletín nº 6

Cita publicada en el Boletín nº 6 de octubre de 2007.

" Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros."

Anónimo.
Cuenta las letras de cada palabra de este poema y encontrarás el número PI con 19 decimales

Un espía en la T.I.A. ( Boletín nº 6 )

Un espía “ se cuela “ en el Cuartel General de la T.I.A. ( Técnicos Investigación Aeroterráquea )y quiere acceder a los datos de su Ordenador Central, pero no sabe la contraseña. Tiene una sólo oportunidad, si falla , el ordenador se autodestruye.

Se esconde y observa:

Llega el primer agente, enciende el ordenador y en la pantalla aparece el 18, entonces, el agente pulsa la tecla del 9 y accede a sus datos.
Llega el segundo agente, aparece en la pantalla un 8, ve que pulsa la tecla del 4, y el ordenador permite el acceso.
Llega un tercero, aparece el 14, pulsa el 7 y accede a los datos.

Como cree conocer la contraseña, el espía enciende el ordenador, y aparece un 10, pulsa la tecla del 5 y el ordenador se autodestruye,
¿ Qué tecla debería haber pulsado para acceder a los datos secretos?

( publicada la solución el 10/11/07 ) (Ir a la solución)

Acaba de salir el Boletín nº 6

Nuevo curso seguimos con los boletines Sacit Ámetam
Aparece el número 6 de octubre de 2007
¡¡ Hazte con uno de ellos !!

- Curiosidades del número pi
- Tricentenario del nacimiento de Euler
- Conjetura de Collatz
- Un espía en la T.I.A.

lo puedes ver también descargar en PDF pulsando en la portada del Boletín 6 de la Página de Inicio de los boletines.