El triángulo de Morley: otra maravilla geométrica

El teorema de Morley  (triángulo de Morley), como la circunferencia de 9 puntos de  Feuebarch, es otra de las maravillas de la Geometría.
Un teorema sencillo de gran belleza plástica digno de la Grecia Clásica.

Frank Morley

El teorema establece que los puntos de intersección de las tisectrices interiores de los ángulos de un triángulo, situadas cerca de los tres lados, respectivamente, forman un triángulo equilátero , llamado triángulo de Morley.

Frank  Morley (1860-1937) lo concibió en 1899  como un sencillo  ejemplo de una teoría geométrica que estaba desarrollando en ese momento  y  lo planteó como una  conjetura que no demostró.
Apareció publicado en 1900 en el primer número de la revista Anales de la Sociedad Americana de  Matemática
Una década más tarde se publicaron dos demostraciones, una trigonométrica de Satyanarayana y otra de geometría elemental de Naraniengar, en la actualidad existen numerosas demostraciones.

Lo que verdaderamente sorprendió a Morley era cómo no había sido descubierto antes y que hubiese pasado inadvertido durante tantos siglos. Quizá porque la trisección de un ángulo (uno de los tres problemas clásicos de los griegos) no se podía realizar sólo con regla y compás.

El teorema de Morley:
El teorema dice:
Sea ABC un triángulo arbitrario. Trazamos las trisectrices de cada uno de los ángulos A, B y C. Entonces las trisectrices de A y B  próximas al lado c se cortan en un punto K,  análogamente se determinan L y M.   Entonces el triángulo KLM  es siempre equilátero.

Triángulo equilátero de Morley (azul)

Curiosidades:

Lo curioso de este teorema es que numerosas construcciones distintas con las trisectrices dan  el mismo resultado: un triángulo equilátero.


Si consideramos las trisectrices exteriores de un ángulo del modo que se indica la figura de la derecha , podemos encontrar nuevos triángulos equiláteros combinando trisectrices interiores y exteriores.

Veamos varios casos:

1.- Las tres trisectrices exteriores

Triángulo de Morley (azul) con  trisectrices exteriores a los ángulos A, B y C.

Entonces podemos encontrar un triángulo de Morley:
  Podemos tomar  las trisectrices externas del triángulo ABC del modo:
Si tomo las dos trisectrices del ángulo A,  una con una del C da el vértice L y  la otra con con una del B da el vértice K y así con los otros vértices B y C obtengo el triángulo KLM equilátero. (véase la imagen)

2.-  Podemos tomar trisectrices externas de un ángulo e internas de los otros dos.
Tomando las trisectrices externas en el ángulo A y las internas del B y C obtenemos también un triángulo KLM equilátero.

Trisectrices externas de A e internas de B y C. Triángulo de Morley (azul)

 3.- Todas las externas y todas las internas de los tres vértices.

Tomando todas las  externa ( en fucsia) e internas ( en verde) de los tres vértices  nos salen tres triángulos equiláteros (en azul).
Además el triángulo formado por los vértices de estos triángulo PQR, también es equilátero.

     Como detalle observamos que los lados de todos los triángulos que se obtienen sólo "señalan" en tres direcciones.

Combinando trisectrices internas y externas salen cuatro triángulos de Morley, es más, PQR también es equilátero.

Debemos hacer notar que no se pueden tomar las trisectrices externas e internas de cualquier modo, depende como se tomen puede que no salga un equilátero.
Se ha conseguido identificar 27 triángulos obtenidos de las distintas  combinaciones de tomar las trisectrices  de los cuales 18 son equiláteros. ( según los matemáticos Oakley y Baker).

Nos fijamos en la plasticidad de las figuras y su posible aplicación en la asignatura de Plástica de la ESO, las demostraciones  se pueden obtener siguiendo las mismas pautas que en el primer caso de las trisectrices interiores.

Frank Morley en  Haverford College

Frank Morley nacido en Woodbrige (Inglaterra), se graduó en Cambridge, en 1887 se trasladó a Pennsylvania, Estados Unidos, dio clases en el Haverford College hasta 1900 año en que fue nombrado jefe del departamento de matemáticas en la Universidad de Johns Hopkins. Fue editor de la revista American Journal of Mathematics de 1900 a 1921 y presidente de la American Mathematical Society en 1919-1920.
Fue un excelente jugador de ajedrez llegando incluso a ganar alguuna partida al también matemático y campeón del mundo de de ajedrez entre 1894 y 1921  Emanuel Lasker.


-----------------------------

Esta entrada participa en la edición 4.1. del Carnaval de Matemáticas del mes de febrero 2013 cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron Dixit