Vamos a ver cómo surge y su relación con el número de oro o número áureo (Φ).
1.- Número de oro (Φ ):
Este número estudiado con gran profusión desde la Grecia clásica tiene un número asociado, el de plástico, que generaliza la belleza y armonía, que posee el número de oro, al espacio.
Sabemos que el número de oro, entre otras tiene las dos siguientes propiedades:
¿Existirán más números que las cumplan?
La respuesta es sí , los números mórficos , así se llamó a los posibles números que cumplan esas dos igualdades.
Un número real p > 1 es llamado número mórfico si existen dos números naturales m y n tal que cumplan las siguientes condiciones.
2.- Sólo existen DOS números mórficos : EL DE ORO Y EL DE PLÁSTICO.
El número de oro es un número mórfico ¿Existirán más número mórficos?
La respuesta fue dada por Jan Aarts, Robbert Fokkink y Godfried Kruijtzer de la Delft University of Technology de Holanda, que demostraron que sólo existen dos números con tales propiedades, en su publicación Número Mórficos (2001).
Es decir, el ya citado número de oro (con m =2 y n =1) y otro número llamado el número plástico, ( para m = 3 y n = 4) que fue descubierto, en 1928, por el arquitecto holandés Dom Hans Van Der Laan ( 1904-1991).
Se podría definir este nuevo número como.
Si resolvemos esta ecuación, de tercer grado, por la fórmula de Cardano obtenemos que el número de plástico es:
3.- Números mórficos como límite de sucesiones : Sucesión de Fibonacci y sucesión de Padovan.3.1.- Sucesión de Fibonacci.
Sabemos que el número de oro se obtiene como el límite de la sucesión cuyos términos son los cocientes de dos términos consecutivos, un término entre su anterior, de la sucesión de Fibonacci.
La sucesión a(n) de Fibonacci se genera, siendo n un número natural, de la forma:
a) a(1) = a(2) = 1
b) a(n) = a(n-2) + a(n-1)
Es decir la sucesión de Fibonaci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .....
El número de oro se obtiene como:
3.2.- Sucesión de Padovan.El número plástico también se obtiene como el límite de los cocientes entre de dos términos consecutivos, un término y su anterior, de otra sucesión , la de Padovan.
La sucesión a(n) de Padovan se obtiene de la forma, siendo n un número natural:
a) a(1) = a(2) = a(3) = 1
b) a(n+1) = a(n-2) + a(n-1)
La sucesión de Padovan será:
a(n) = 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65,...
El límite de la sucesión formada por los cocientes de un término y su anterior de esta sucesión da el número de plástico:
La sucesión de Padovan recibe el nombre del arquitecto y matemático inglés Richard Padovan nacido en 1935 que traduce al inglés , en 1983, el tratado de arquitectura Architectonic space, escrito por Hans van der Laan4.- Propiedades geométricas de ambos números.
El número de oro proporcina belleza y armonía en el plano (Divina Proporción), el número de plástico, en el espacio, del modo siguiente:
4.1.- El número de oro tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos rectángulo de oro de lados 1 y Φ y los coloco como en la figura de la izquierda, los puntos P, Q y R están alineados.
4.2.- El número de plástico tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos paralelepípedos (cajas) de plástico, de lados 1, Ψ y Ψ2 colocados de la forma de la figura de la derecha, los puntos P, Q y R están alineados.
Estas propiedades son la base de la belleza y armonía que emana de estos números uno en el plano ( el de oro) y otro en el espacio (el de plástico).
La Proporción Plástica del espacio fue estudiada por el arquitecto holandés Dom Hans van der Laan
Número de plástico y la obra de Van der Laan
Padovan atribuye el descubrimiento del número de plástico al arquitecto holandés Dom Hans van der Laan ( parece ser que el estudiante francés de arquitectura Gérard Cordonnier, también descubre
simultáneamente este número al que bautizó como número radiante) .Dom Hans van der Laan, (1904-1991) , estudió arquitectura en Delft (Holanda).
En 1927 se hizo monje benedictino en la abadía de Oosterhout, donde proyectó en 1938, una ampliación de dicha abadía.
Sus estudios sobre proporciones en las iglesias del Románico le llevan a encontrar en muchas de ellas una relación con la sucesión de Padovan y desarrolla un sistema de proporciones que tienen como base el número de plástico y que aplicará en sus construcciones.
En la construcción de la iglesia de la abadía de Saint Benedictusberg (acabada en 1968) en la ciudad de Vaals (Holanda) van der Laan pone en práctica todos sus estudios sobre la utilización del número de plástico en la arquitectura.
En esta iglesia, empleó las proporciones del número plástico como guía para crear el espacio que andaba buscando y “construir un orden artificial, lógico semejante al orden natural, compatible con él, más aún, que lo refuerce y complete”.
Realizó pocas obras y casi todas religiosas (tres conventos, un monasterio, una capilla y una casa privada)
En 1977 publicó su único trabajo en vida, El espacio arquitectónico, donde expone sus teorías sobre arquitectura.
“El arquitecto, nadie lo negará, es un hombre continuamente ocupado de medidas y números” escribía van der Laan y la primera medida vendría dada por la mente que busca ese número inicial, un número que sea capaz de suscitar belleza, orden, armonía. Capaz de reflejar exactamente lo que buscamos en cada momento. Un “número propiamente arquitectónico”: El número plástico, que nos indica la proporción geométrica ideal en la que se debe fundamentar todos los objetos espaciales.
Van der Laaan no sólo propone que este número sea una norma para determinar las medidas para que un edificio pueda ser armónico, sino que sirva de base para proponer nuevos estudios sobre las leyes de la arquitectura.
Afirma que sólo dándole prioridad al “número arquitectónico” y reflexionando sobre él, se podrá resolver de forma correcta el problema de la forma y el espacio en la arquitectura contemporánea.
Este número sería el número de plástico.
Su máxima en la construcción fue procurar “Que la armonía entre la pared que separa y el espacio separado dependen de proporciones mutuas , que hablan a la inteligencia mediante el lenguaje objetivo del número de plástico” .
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Esta entrada participa en la edición 3.1. del Carnaval de Matemáticas, cuy
o blog anfitrión este mes es Scientia potentia est
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