viernes, 26 de febrero de 2010

Habitación de Fermat, solución de los acertijos

La solución de los problemas planteados en la película "La habitación de Fermat" y enunciados en este blog el 21 de diciembre de 2009 son:

Prueba nº 1: ¿Qué patrón sigue la siguiente secuencia de números:
5 – 4 – 2 – 9 – 8 – 6 – 7 – 3 – 1?
Solución 1: Los números están ordenados alfabéticamente:
cinco – cuatro – dos – nueve – ocho – seis – siete – tres – uno.


- Prueba nº 2 " El pastor, el lobo, la oveja y la col"

Un pastor que tiene que cruzar el río en una barca con una oveja un lobo y una col. En la barca sólo pueden viajar dos, por ejemplo, el pastor y la oveja, el pastor y la col o el pastor y el lobo. ¿cómo pasar sin que la oveja se coma la col y sin que el lobo se coma la oveja? .

Solución 2:
1.- Pasa el pastor con la oveja.
2.- Vuelve sólo y recoge la col y la pasa.
3.- Regresa con la oveja, la deja en la orilla, recoge al lobo y lo pasa.
4.- Vuelve a por la oveja que la pasa de nuevo
Y fin

Prueba nº 3: “Tres cajas de caramelos”

Un pastelero recibe tres cajas opacas, una caja contiene caramelos de menta otra caramelos de anís y la tercera un surtido de caramelos de menta y anis mezclados.
Las cajas tienen etiquetas que ponen "Caramelos de Menta” “Caramelos de Anís” y “Caramelos Mezclados”.
Pero el pastelero recibe el aviso de que todas las cajas están mal etiquetadas ¿ Cuántos caramelos deberá sacar el pastelero como mínimo para verificar el contenido de las cajas?

Solución 3 : Basta sacar un caramelo.
Sacamos un caramelo de la caja en cuya etiqueta está escrito Mezcla (en el interior no estarán los caramelos mezclados, sino que serán todos de un solo sabor).
Puede suceder dos casos:
1.- Si saco uno de Menta, entonces la etiqueta que corresponde a esa caja es la de Caramelos de Menta. Todos los caramelos serán de Menta. Coloco, en ella, el cartel de Menta.
Tengo el cartel de Mezcla en la mano y en las dos cajas restantes una tiene el cartel de Anís y la otra no tiene cartel.
Coloco el cartel que pone Anís en la caja que no tiene cartel (pues la que tenía el cartel de Anís en su interior no están los caramelos de Anís) y el cartel que tengo en la mano de Mezcla lo coloco en la caja que tenía el cartel de Anís. He acabado.
2.- Si saco uno de anís de la caja de Mezcla el razonamiento que haremos es el mismo.


Prueba nº 4: “Las tres llaves de luz”
En el interior de una habitación herméticamente cerrada hay una bombilla y fuera de la habitación hay tres interruptores, sólo uno de los tres enciende la bombilla.
Mientras la puerta esté cerrada puedes pulsar los interruptores las veces que quieras pero al abrir la puerta hay que decir cuál de los tres interruptores enciende la bombilla.

Solución 4:
1.- Encendemos dos interruptores durante un tiempo. ( el tercero lo dejo apagado)
2.- Apagamos uno de los dos interruptores encendidos.
3.- Entramos en la habitación. Habrá una bombilla encendida y dos apagadas.
( la bombilla encendida es la del interruptor que está encendido)
4.- Tocamos las dos apagadas, una estará calienrte y otra fría
( la bombilla caliente es la del interruptor que encendimos y apagamos)
5 .- El interruptor que no he tocado corresponde a la bombilla fría


Prueba nº 5: “Relojes de Arena”

¿Cómo se puede cronometrar un tiempo de 9 minutos utilizando dos relojes de arena uno de 4 minutos y otro de 7 minutos?

Solución 5:

1.- Ponemos los dos relojes a la vez, el de 4 y el de 7.
2.- Cuando se termina la arena del de 4, le damos la vuelta. Han pasado 4 minutos.
3.- Tres minutos después se acaba la arena del de 7. Le damos la vuelta.
4.- Cuando se acaba la arena del de 4 por segunda vez han pasado 8 minutos desde el inicio. En ese momento el de 7 ha cronometrado un minuto.
5.- Damos la vuelta al reloj de 7 y caerá el minuto que ha pasado.
6.- Tenemos así cronometrados 9 minutos.

Prueba nº 6: “Las hijas del Profesor ”
Un alumno le pregunta a su profesor qué edad tienen tus tres hijas y el profesor contesta si multiplicas sus edades da 36 y si las suma da el número de su casa
- Me falta un dato protesta el alumnos
- El profesor le responde Es verdad : la mayor toca el piano
- ¿Qué edades tienen las tres hijas?

Solución 6: Teniendo en cuenta que el producto de las edades de las tres hijas es 36, las posibilidades, son las siguientes:
1 - 1 - 36 su suma es 38
1 - 2 - 18 su suma es 21
1 - 3 - 12 su suma es 16
1 - 4 - 9 su suma es 14
1 - 6 - 6 su suma es 13
2 - 2 - 9 su suma es 13
2 - 3 - 6 su suma es 11
3 - 3 - 4 su suma es 10
la única opción que no queda determinada se produce si la suma es 13. ( 1-6-6 y 2-2-9)
Se necesita otro dato para esa opción
La respuesta es 2-2-9;
El resto de sumas son todas diferentes por lo que si hubiese sido otro resultado no habría sido necesario pedir otro dato. Este último dato nos informa de que existe una mayor con lo que no puede ser 1-6-6 y solo puede ser 2-2-9.

Prueba nº 7: “Las dos puertas”
En la tierra falsa todos los habitantes mienten siempre, en la tierra cierta todos los habitantes siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra atrapado en una habitación con dos puertas, una puerta conduce a la libertad y otra no , las puertas están custodiadas por un carcelero de la tierra falsa y otro de la tierra cierta para dar con la puerta que lleva a la libertad el extranjero debe hacer sólo una pregunta a uno de los dos carceleros pero no sabe cuál es el de la tierra falsa ni cuál el de la tierra cierta ¿ Qué pregunta formuló?

Solución 7: La pregunta que debo hacer es: "¿Qué me contestaría el otro guardián si le preguntase qué puerta NO me conduce a la libertad?"

Prueba nº 8 : “Una cuestión de edades“
Una madre es 21 años mayor que su hijo. Al cabo de 6 años la edad de la madre será cinco veces la que tenga el hijo. ¿Qué está haciendo el padre?
Solución 8:
Si x es la edad del hijo la de la madre es (21 + x)
La ecuación que tendremos que resolver es:
5 · (x + 6) = (21+x) + 6
La solución es x = -3/4 años
Aparentemente absurdo pero si -3/4 años lo pasamos a meses nos da que x = - 9 meses
¿ Qué hace el padre?



Hemos dado solución a todos los enigmas de la película.

viernes, 19 de febrero de 2010

La Conjetura de Golbach

Las primeras escenas de la película “La habitación de Fermat” muestran la "Conjetura de Golbach".
Dicha conjetura se enuncia:
“Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”.
Fue propuesta por Christian Goldbach (1690-1764) en una carta (en la imagen de la izquierda figura una página de esa carta) enviada al gran matemático suizo Leonhard Euler en 1742 al que invitaba a encontrar una demostración. L. Euler no consiguió demostrar ni refutar ese resultado. Y hasta el día de hoy, ya más de 267 años , nadie ha conseguido encontrar una demostración que diga que esta conjetura es cierta, ni tampoco se ha encontrado un contraejemplo ,es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos.
En la actualidad, gracias a los ordenadores, se ha podido comprobar que la conjetura es cierta para todo número par menor que 10 elevado a la 20. Pero esto no nos sirve como demostración, eso sí, podremos aumentar la cantidad de números pares comprobados, pero no podremos concluir que el resultado es cierto.
Puede haber varias descomposiciones del mismo número
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3
10= 7 + 3
12 = 7 + 5
20 = 7 + 13
24 = 17 + 7 = 5 + 19 = 11 + 13
1000 = 3 + 997 = 137 + 863 = 227 + 773 = 281 + 719 = ….
2010 = 37 + 1973 = 79 + 1931 = 109 + 1901 = 199 + 1811 = ….
10000 = 197 + 1983
1000000 = 2957 + 997043
…..

Se observa que cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números por lo que se intuye que la conjetura sí es cierta .
En el gráfico de la derecha el eje de abscisas señala los números pares hasta 1.000.000 y en el eje de ordenadas figuran las distintas descomposiciones de ese número par en suma de dos primos.

Existe otra conjetura de Goldbach, denominada débil, que dice lo siguiente:
“Todo número impar mayor 7 que puede escribirse como suma de 3 números primos impares”.

Christian Goldbach (1860-1764) Nació en Königsberg ( hoy Kaliningrado),viajó mucho por Europa y se relacionó con grandes matemáticos: Leonhard Euler , Gottfried Leibniz y Daniel Bernouilli entre otros. El año 1725 fue profesor de matemáticas en San Petersburgo.( donde también lo fueron Euler y D. Bernouilli) Tres años más tarde se trasladó a Moscú para trabajar para el Zar Pedro II.

"El tio Petros y la conjetura de Golbach" es el título de un libro de Apóstolos Doxiadis, publicado en 1992 en que cuenta la historia de un matemático ( tio Petros) que propone a su sobrino como condición para conocer si tiene talento y estudiar matemáticas el resolver dicha conjetura.

miércoles, 10 de febrero de 2010

Solución billar a dos bandas ( mini-mates bol 17)

En el boletín nº 17 propusimos el problema del billar, ya publicamos el 11 de enero la solución a una banda . Veamos la solución a dos bandas a petición de la alumna Elena Martín.

Existen varias posibilidades, dependiendo de las bandas que toque la bola blanca. Una de entre ellas sería:

1.- Hallo A´, punto simétrico del A respecto a la banda inferior.
2.- Hallo B´simétrico a B respecto a la banda superior.
3.- Uno estos dos puntos A´y B´.
4.- Corta a las bandas en C y D.
5.- El trayecto ACDB (en naranja) nos daría la trayectoria buscada
Existen otras posibles soluciones, ahora, te toca a ti buscarlas.
Además queda el de tres bandas. ( Solución a tres bandas 12/03/10)

lunes, 8 de febrero de 2010

Concedido el Premio Ramanujan 2009

En Enero de 2010, ha sido concedido el Premio S. Ramanujan 2009 al matemático mexicano Ernesto Lupercio, que trabaja en el , Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional de México (CINVESTAV).
El premio Ramanujan 2009 lo concede el Centro Internacional para Física Teórica Abdus Salam (ICTP), y está financiado por la Fundación Niels Henrik Abel.
Los destinatarios de este premio son matemáticos de países en vías de desarrollo. Los candidatos deben tener menos de 45.
El premio Ramanujan 2009, otorgado a Ernesto Lupercio, reconoce las sobresalientes contribuciones a la Topología Algebraica, Geometría y Física Matemática.
Ernesto Lupercio es un experto en la teoría de Orbidades (que son espacios con singularidades que surgen de la acción de grupos simétricos finitos). Tiene resultados fundamentales en K-Teoría, Gerbes, y operaciones topológicas de cuerdas del tipo Chass-Sullivan.
El premio también reconoce su enorme contribución a las matemáticas en México, gracias a su energía, entusiasmo y colaboración con jóvenes investigadores.
Ernesto Lupercio obtuvo su doctorado en la Universidad de Stanford, en 1997, bajo la dirección de Ralph Louis Cohen, con una tesis titulada: “Real Holomorphic Bott Periodicity, Loop Groups and Stabilization of Monopoles”.
En la actualidad es es Secretario General de la Sociedad Matemática Mexicana.

Premio Ramanujan

El Premio Ramanujan ha sido creado por el Centro Internacional de Física Teórica (ICTP), y está financiado por la Fundación Niels H. Abel.
Los destinatarios de este premio son matemáticos de países en vías de desarrollo. Con menos de 45 años, sin importar el área de investigación en la que trabajan.
El Premio honra la memoria del matemático indio Srinivasa Ramanujan ( 1887-1920), un matemático precoz y genial.
En 1912 envió por carta sus resultados a Godfrey H. Hardy, de Cambridge, quién examinó en colaboración con John E. Littlewood la lista de fórmulas y teoremas de Ramanujan. Hardy invitó a Ramanujan a Inglaterra en 1914 donde comenzaron a trabajar juntos. En 1920, a la edad de 32 años, Ramanujan fallecía legando un trabajo que todavía hoy en día continúa asombrando a los matemáticos.
El Premio Ramanujan une a dos genios matemáticos que nos dejaron prematuramente, pues Niels Abel falleció a los 27 años.
El premio consiste en un cheque de 15.000 dólares y financiación para visitar el ICTP en Trieste, e impartir una conferencia. Se suele conceder a una sola persona, pero podría ser compartido por varias personas que hayan contribuido a este trabajo en particular por el que se concede el premio.
La selección del premiado la hace un Comité formado por cinco prestigiosos matemáticos elegidos en colaboración con la International Mathematical Union (IMU).
El Premio se entrega por los Reyes de Noruega en una ceremonia en la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras, con sede en Oslo, al mismo tiempo que el Premio Abel.
El ICTP fue fundado 1964 por Abdus Salam (Premio Nobel), y tiene su sede en Triestre.
La misión de este centro es fomentar la investigación en países en vías de desarrollo, en el área de Ciencias Físicas , Matemáticas y sus aplicaciones.

Hasta ahora, los matemáticos galardonados han sido los siguientes:

2005 Marcelo Viana, investigador en el Instituto de Matemática Pura y Aplicada (IMPA) en Río de Janeiro (Brasil), y miembro del Comité Ejecutivo de IMU.

2006 Ramdorai Sujatha investigadora en el Tata Institute of Fundamental Research (TIFR) de Bombay (India).

2007 Jorge Lauret, investigador de la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina.

2008 Enrique R. Pujals, investigador del IMPA de Río de Janeiro

lunes, 1 de febrero de 2010

Cita en el Boletín nº 18

Cita publicada en el Boletín nº 18 de febrero de 2010.

" Un cacahuete que flota en una piscina, sigue siendo un fruto seco?."

Luis Piedrahita, Codirector de la película "La habitación de Fermat"

Hoy 01022010 es capicúa ¿Hay más fechas capicúas?

Recibimos la siguiente pregunta de Julio M. G., médico segoviano y gran aficionado a las matemáticas :
- Hoy 1 de febrero de 2010 escrito de forma 01022010 (ddmmaaaa) es capicúa.
Pero observo que en 2009, no se produjo ninguna fecha capicúa escrita de esta manera, ni en 2008, ni en 2007, ni en 2006, ni en 2005, ni en 2004, en 2003 está 30022003 que casi lo es, salvo que febrero no tiene 30 días, así que en 2003 tampoco existe fecha capicúa, sin embargo en 2002 y 2001 sí hay (20022002 y 10022001) en 2000 tampoco......pero en 2011 y 2012 sí hay fecha capicúa (11022011 y 21022012 ) en 2013 no la hay ni en 2014 ni en......
En los años que van de 1900 a 1999, observo que tampoco hay ninguna cifra capicúa . ni en el siglo XIX tampoco........
Y me surgen las siguientes preguntas:
- ¿Cuántas fechas escritas de este modo, son capicúas desde el año 1 (d.C.), hasta hoy?
- ¿Cuántas fechas lo serán en este sigo XXI?
- ¿Y en este tercer milenio?
- ¿Se podría encontrar una "fórmula" que nos encuentre todaslas fechas capicúas?

Ánimo esperamos vuestras respuestas.

Mapa de Eratóstenes

Mapa de Eratóstenes (276 a.C. - 194 a.C.) con la tierra conocida hasta ese momento.
Es el primer mapa en que se utilizan líneas para la latitud y longitud.








Acaba de salir el Boletín Sacit Ámetam nº 18 de cine

Hoy sale el boletín nº 18 de Sacit Ámetam, dedicado a la película "La Habitación de Fermat".
El 16 de noviembre de 2007, ya publicamos un artículo del estreno de dicha película en las carteleras españolas en este blog.


Consideramos interesante plantear los acertijos que se muestran en la película y recordar, de nuevo, a los matemáticos nombrados en ella.

- Así pues en este boletín se recogen los 8 acertijos que se plantean en la película.

- Además de una breve reseña de los matemáticos que aparecen en ella.

Esperemos os guste.