viernes, 19 de febrero de 2010

La Conjetura de Golbach

Las primeras escenas de la película “La habitación de Fermat” muestran la "Conjetura de Golbach".
Dicha conjetura se enuncia:
“Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”.
Fue propuesta por Christian Goldbach (1690-1764) en una carta (en la imagen de la izquierda figura una página de esa carta) enviada al gran matemático suizo Leonhard Euler en 1742 al que invitaba a encontrar una demostración. L. Euler no consiguió demostrar ni refutar ese resultado. Y hasta el día de hoy, ya más de 267 años , nadie ha conseguido encontrar una demostración que diga que esta conjetura es cierta, ni tampoco se ha encontrado un contraejemplo ,es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos.
En la actualidad, gracias a los ordenadores, se ha podido comprobar que la conjetura es cierta para todo número par menor que 10 elevado a la 20. Pero esto no nos sirve como demostración, eso sí, podremos aumentar la cantidad de números pares comprobados, pero no podremos concluir que el resultado es cierto.
Puede haber varias descomposiciones del mismo número
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3
10= 7 + 3
12 = 7 + 5
20 = 7 + 13
24 = 17 + 7 = 5 + 19 = 11 + 13
1000 = 3 + 997 = 137 + 863 = 227 + 773 = 281 + 719 = ….
2010 = 37 + 1973 = 79 + 1931 = 109 + 1901 = 199 + 1811 = ….
10000 = 197 + 1983
1000000 = 2957 + 997043
…..

Se observa que cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas en las que podemos expresarlo como suma de dos números por lo que se intuye que la conjetura sí es cierta .
En el gráfico de la derecha el eje de abscisas señala los números pares hasta 1.000.000 y en el eje de ordenadas figuran las distintas descomposiciones de ese número par en suma de dos primos.

Existe otra conjetura de Goldbach, denominada débil, que dice lo siguiente:
“Todo número impar mayor 7 que puede escribirse como suma de 3 números primos impares”.

Christian Goldbach (1860-1764) Nació en Königsberg ( hoy Kaliningrado),viajó mucho por Europa y se relacionó con grandes matemáticos: Leonhard Euler , Gottfried Leibniz y Daniel Bernouilli entre otros. El año 1725 fue profesor de matemáticas en San Petersburgo.( donde también lo fueron Euler y D. Bernouilli) Tres años más tarde se trasladó a Moscú para trabajar para el Zar Pedro II.

"El tio Petros y la conjetura de Golbach" es el título de un libro de Apóstolos Doxiadis, publicado en 1992 en que cuenta la historia de un matemático ( tio Petros) que propone a su sobrino como condición para conocer si tiene talento y estudiar matemáticas el resolver dicha conjetura.