La siempre fascinante circunferencia de 9 puntos. El Teorema de Feuerbach.

Siempre es un buen momento para dejarse llevar por la fascinación de la  geometría, y aunque mires  mil veces  una figura, un proceso, una construcción geométrica.... jamás se pierde ese hechizo.

Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834)

Un ejemplo es la  conocida circunferencia de los 9 puntos  o de Feuerbach, considerada “como una de las más bellas coincidencias de la geometría  donde todo  encaja con perfecta armonía” y que nunca nos cansaremos de contemplarla y admirar sus propiedaes.

Esta circunferencia es atribuida al matemático alemán Karl W. Feuerbach (1800-1834) y aunque  fue estudiada  conjuntamente  por los franceses Brianchon y Poncelet  en un artículo en la revista  matemática  Annales de Gergonne  (Nimes  1820-1821), recibió  el nombre de  Feuerbach  porque de manera independiente en 1822 publicó un libro en el que aparecía  la circunferencia de los 9 puntos  y además,  el  Teorema de Feuerbach y numerosas propiedades geométricas de triángulos y circunferencias asociadas a las demostraciones.

CIRCUNFERENCIA DE LOS 9 PUNTOS.

(Se puede hacer como actividad de Matemáticas y Plástica en 1º de la ESO)

Dibujamos  un triángulo cualquiera  ABC

1.- Trazamos las tres alturas que  se cortan en el Ortocentro  O.

2.-  Las alturas cortan a los lados del triángulo en  tres puntos .

3.- Por estos tres puntos, como sabemos,  sólo hay una circunferencia que pasa por los tres.

Pues asómbremonos

 Esta circunferencia que pasa por los pies de las alturas (1, 2 y 3 en la imagen).

1.- Pasa por los puntos medios de los lados del triángulo ( 4, 5 y 6).

2.- Pasa por los puntos medios de los segmentos que une el Ortocentro (O) con cada uno de los vértices del triángulo (7, 8 y 9).

Una circunferencia que pasa por nueve puntos determinados.

Dicho de otra manera:

La única circunferencia que pasa por los tres pies de las  alturas.

La única circunferencia que pasa por los tres puntos medios de los lados.

La única circunferencia que pasa por los tres puntos medios de los segmentos que une O con cada vértice.

COINCIDEN,  Las tres, son la misma circunferencia.

Esta circunferencia que fue conocida por Brianchon y Poncelet se llama de Feuerbach  porque además  demostró:

1.- El centro de esta circunferencia está en la recta de Euler (recta que contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo) y es además El Punto Medio (M) del segmento formado por el Ortocentro (O) y  Circuncentro (P)  (véase  la imagen) !!

2.- La circunferencia de los 9 puntos (en rojo en la imagen) es tangente a la circunferencia inscrita (azul) al triángulo ABC  (en el punto 1 de la imagen) y a sus tres circunferencias  exinscritas  (violetas) ( en los puntos 2, 3 y 4 de la imagen)  este enunciado constituye el  TEOREMA DE FEUERBACH.

(El punto donde se corta la circunferencia de los 9 puntos y la inscrita (1) se llama punto de Feuerbach).

CURIOSIDADES:
En los  pasos previos a la demostración de este teorema se van obteniendo resultados sorprendentes como:

(sólo vamos a enunciar los resultados, dejamos las demostraciones para otra ocasión, sólo nos interesa mostrar la sencillez de las relaciones entre radios de circunferencias , lados y área de triángulos.
También hacemos notar que aunque aquí lo vemos con triángulos acutángulos, también se verifican en los obtusángulos con pequeñas observaciones).

Notación que utilizaremos:
a)  A, p , a, b y c son el área, el semiperímetro y los lados del triángulo ABC
b)  R y r radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC
c)  ra, rb y rc radios de las circunferencias exinscritas a los lados a, b y c respectivamente

OTROS RESULTADOS SORPRENDENTES:

1.- La relación entre el  radio (R)  de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC , el radio (r)  de la inscrita y las longitudes de los lados del triángulo , siendo p el semiperímetro del triángulo es:

2.- El Área del triángulo ABC en relación a los lados del triángulo y

    2.1.-Al  Radio ( R )de la circunferencia circunscrita es

   2.2.-Al radio ( r ) de la circunferencia inscrita es   A = p · r  

3.- El triángulo formado por los puntos-pie de las alturas MNP se llama triángulo órtico y tiene las siguientes propiedades:

         3.1.- Es el triángulo de menor perímetro entre los triángulos inscritos en el triángulo ABC y su perímetro es (véase imagen)

         3.2.- El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo órtico MNP  ( la circunferencia de los nueve puntos) es igual a la mitad del radio (R) de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. ( Esta comprobación es un buen ejercicio par los alumnos de 1º de la ESO)

4.- La relación entre los radios de la circunferencia inscrita a ABC y las exinscritas cumplen las siguientes relaciones:

                 

 Y como r = A / p  ( véase apartado 2.2.) se tiene  también que

                   

5.- Y sumando las tres relaciones se obtiene fácilmente:

     o también

6.-  El Área del triángulo ABC  sería       

y más y más relaciones que nos recuerda las relaciones entre las figuras de los Sangakus que ya publicamos a principio de este año y animo ver los ejemplos.

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Esta entrada participa en la edición 3,141592653  del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión se aloja en el Blog Que no te aburran las M@tes