martes, 25 de septiembre de 2012

Ángulo de oro: cómo gira la naturaleza.

Podemos encontrar el número de oro como una relación  entre dos segmentos en que se divide un tercero. Sabemos además que un  rectángulo es áureo  si el cociente entre sus dos longitudes, la mayor entre la menor es el número de oro (φ).

¿Se podría  extender de forma análoga esta relación a los ángulos además de a los segmentos? ¿Se podría encontrar un ángulo de oro?

Recordamos  la relación que deben cumplir dos segmentos para que estén en proporción áurea.


Análogamente, se puede extender esta relación y encontrar el ángulo de oro.

 El ángulo de oro  es el que se obtiene al dividir el círculo en dos ángulos tales que el cociente entre el mayor y el menor sea el número fi.

 Los valores resultantes son 225,5º y 137,5º  (redondeados a las décimas).

El ángulo de 137,5º es conocido como ángulo áureo.

¿Se encuentran  ángulos de oro en la naturaleza?

Ángulo de oro y Filotaxis. 

En el crecimiento de algunas plantas,  las hojas se distribuyen alrededor de un tallo en ángulos áureos.  (Filotaxis: disposición de las hojas en un tallo).

Las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo.
A medida que el tallo va creciendo, cada hoja  brota con un ángulo fijo respecto a la hoja anterior.

Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas  y que éstas no se solapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º.

En la siguiente imagen, la de la derecha vista desde arriba,  vemos la distribución de las hojas alrededor de un tallo y observamos que ninguna hoja está completamente sobre otra anterior.


El porqué el ángulo áureo produce la mejor disposición de las hojas alrededor de un  tallo está ligado al concepto de número irracional.
Si un ángulo es irracional por muchas veces que lo desplaces alrededor de un eje nunca regresará a la posición inicial.



Si observamos esta imagen, en  la que vamos añadiendo hojas con un ángulo de 137,5º desde la hoja  anterior:
a) Las dos primeras hojas están separadas el número áureo, 137,5º en un sentido o 222,5º en el otro.
b) Las tres primeras hojas   están  bastante distanciadas unas de otras ( la 2 de la 1 y la 3 de la 2 tienen una separación de 137,5º, el ángulo áureo).
c)  Las tres siguientes, la 4,  la 5 y la 6 tienen una separación de 52,5º respecto a las más cercanas ( la 1, la 2 y la 3 respectivamente).
d) La 7ª tiene un ángulo respecto a la más cercana la 2 de 32,5º y respecto de la 4 de 52.5º así ... observamos que  ninguna hoja tapa a una inferior.

El  video encontrado en YOUTUBE:   Ángulo de oro y FILOTAXIA subido por  C. R. IPIÉNS. nos ayuda a clarificar todo esto.
A partir de 1:50 minutos tenemos la obtención del  ángulo áureo por medio de arcos de circunferencia y a partir del minuto  2:23 se explica con detalle  la distribución de las hojas alrededor de un tallo según la proporción áurea.



---------------------------------------------------------------

Esta es la contribución de Sacit Ámetam a la edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, en esta edición el blog anfitrión es ZTFNews 

jueves, 20 de septiembre de 2012

Ecuación Matemáticas ¿causa de la crisis financiera?

¿Una  ecuación matemática es la causa de la crisis financiera?

 ¿Es la ecuación de  Black-Scholes  la causa del crecimiento desmesurado de los mercados financieros, que  al estallar produjeron  la crisis actual?

En  1973 el economista americano  Robert  C. Merton (n. 1944)   publicó "Theory of Rational Option Pricing", donde explicaba un  modelo matemático de valoración de los contratos de opción, un derivado financiero,  al que llamó modelo de Black-Scholes
Este modelo que se basó en una ecuación que revolucionó el sistema financiero  se utiliza para estimar el valor  actual de una opción europea para la compra (Call), o venta (Put), de acciones en una fecha futura y que fue publicada poco antes en el  The Journal of Political Economy  de Chicago por  los economistas  Fisher Black (1938-1995) también americano y el canadiense   Myron Scholes (n. 1941).

R.C. Merton contribuyó a este  modelo introduciendo el cálculo estocástico en la economía financiera, lo que permitió que el comportamiento de los precios fuese descrito con el lenguaje preciso de la probabilidad.

En 1997, Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel en Economía por su trabajo; Black, el otro creador de la fórmula no lo pudo recibir debido a haber fallecido dos años antes.

La ecuación Black-Scholes:

 La ecuación Black-Scholes se aplica a las opciones, que son acuerdos o contratos de compraventa sobre futuros, por los cuales el comprador adquiere el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender cierta cantidad de un activo o mercancía  a un precio determinado en una fecha futura.

Los mercados financieros no solo establecen contratos de compra y venta a un vencimiento determinado, sino que permiten también comprar y vender esos mismos contratos antes de su vencimiento, como si fueran mercancías de pleno derecho.

La ecuación Black-Scholes  determina qué precio se debe pedir  basado en el valor probable de la mercancía en su vencimiento y calcula el precio en el que se elimina el riesgo al comprar una opción.

¿Contribuyó la ecuación a la crisis?

La  mala utilización de la  ecuación Black-Scholes, junto a otras  causas, en cierta manera, contribuyó  a la crisis del sistema financiero.

La ecuación  facilitó un crecimiento exagerado del mercado, ofreciendo precios estándar a opciones y otros derivados que funcionaban bien en condiciones normales de mercado, lo que alentó a los bancos a usarla pero se creció demasiado y muy  rápido, y  se perdió el control.

Los banqueros se olvidaron de las limitaciones de la ecuación,  no detectaron  las desviaciones de las variables que en ella intervienen, ni se dieron cuenta de la poca  precisión al medir el comportamiento de los mercados, utilizaban la ecuación como algo mágico e infalible al suponer que las  excepciones eran poco frecuentes y que existían otras maneras  de reducir o eliminar el riesgo asociado.

Los ejecutivos de los bancos no entendían de matemáticas y trataron al modelo Black-Scholes como si fuera  una certeza incuestionable y los  analistas  matemáticos no entendían qué hacían  sus jefes, pero el sistema funcionaba y generaba beneficios. Hubo falta de comunicación.

Si hay algún tipo de responsabilidad  de la crisis achacable a esta ecuación es una responsabilidad indirecta,  no por ella en sí mismo sino por  la mala utilización de personas ajenas a las matemáticas.

En la actualidad  sigue siendo válida y se sigue utilizando la ecuación  de Black-Scholes.  Pero siempre que sea utilizada lo sea  por analistas matemáticos y no por ejecutivos que se preocupan sólo de obtener grandes beneficios sin importarles que los arruinados además de quedarse sin nada deben contribuir, como contribuyentes, a  tapar los agujeros producidos en estas  entidades financieras o bancos.

Una expresión de la ecuación es

Siendo
•    C es el valor de una opción de compra, opción europea (Call)
•    P es el valor de una opción de venta, opción europea (Put).
•    S es la tasa a la vista de la divisa que constituye el objeto de la opción.
•    K es el precio marcado en la opción (Strike price).
•    T es el tiempo expresado en años que aún faltan por transcurrir en la opción.
•    rd es la tasa de interés doméstica.
•    re es la tasa de interés extranjera.
•    σ  es la desviación típica de los cambios proporcionales en las tasas de cambio.
•    N es la función de distribución acumulativa de la distribución normal.
•    N (di) y N (dz) son los valores de las probabilidades de los valores de di y dz tomadas de las tablas de la distribución normal del modo:


Esta ecuación es una de las 17 ecuaciones que se encuentran en el libro publicado recientemente de  Ian Steward titulado  “En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo”.

(A instancias del eminente inquiridor Julio Muriel, experto en ensayos  et semper fidelis al “wir müssen wissen, wir werden wissen” (Debemos saberlo, lo sabremos) del Gran  Hilbert)


    
         

miércoles, 12 de septiembre de 2012

Mandorla, geometría sencilla de gran simbolismo.



Visitando, este verano, el románico ilerdense del valle de Bohí (La vall de Boí)  escuché por primera vez, en Tahull,  la palabra mandorla, geometría sencilla con gran fuerza artística y simbólica.
Mandorla (del italiano mandorla, almendra),  es una figura geométrica lenticular formada por la intersección de dos círculos con el mismo radio de tal manera que el centro de cada círculo está situado en la  circunferencia del otro círculo.

Como curiosidad matemática la razón entre la altura y la anchura de la almendra es 1,7320508... = Raíz de 3.
También la mandorla se la conoce, en Arte, con el nombre de vesica piscis.
La mandorla es el marco o aureola oval o lenticular donde se insertan personajes sagrados, sobre todo  Jesucristo o La Virgen,  para darles mayor realce y majestad. Se empleó principalmente en el arte románico y en el arte bizantino.

En Tahull, el ábside de  la iglesia de San Clemente admiramos una reproducción del Pantocrátor dentro de una mandorla perlada y en el ábside de Santa María, en el centro del pueblo, otra copia de una mandorla con la Virgen y el Niño. Los originales de estas pinturas murales se encuentran en  MNAC (Museo Nacional de Arte de Cataluña).
Observamos en estas imágenes que en Santa María parece que se cumple que los centros están  en la otra circunferencia y en San Clemente no lo parece. Ahora bien hemos de tener en cuenta que la foto es un plano y el ábside no.


Simbolismo: 

Se consideraba el círculo como la figura más perfecta, la mandorla como  intersección de dos círculos que se cortan representaría la unión  de los dos mundos: el terrenal y el celestial.
Dando a entender el carácter humano y divino de la figura enmarcada, casi siempre Jesucristo.
También, si la  mandorla se encuentra en el dintel de la puerta de una iglesia,  se puede entender como el paso de lo terrenal a lo celestial de los fieles que entran en ella. Un ejemplo de este tipo de mandorla se encuentra  cerca de Tahull,  en la iglesia de Santa María de Covet, también en la provincia de Lérida.


Curiosidad Matemática:
1.-  La relación entre la altura y la anchura de la mandorla  es raíz de 3



Como otra curiosidad ambas iglesias se consagraron el mismo año, en  1123, fueron declaradas Bien de Interés Cultural en 1931 y Patrimonio de la Humanidad de la UNESCO en 2000, junto al románico del valle del Bohí.

Hay numerosos ejemplos de mandorlas, entre todos destacamos el  magnífico ejemplo de mandorla que se encuentra  en la bóveda central del Panteón de los Reyes  en San Isidoro de León que enmarca un Pantocrátor.
Las pinturas murales, del siglo XII,  en las bóvedas de este Panteón,  forman un conjunto artístico que es considerado por los expertos como  “La Capilla Sixtina del Románico”.

En este también se observa que los centros están en la otra circunferencia.