martes, 25 de septiembre de 2012

Ángulo de oro: cómo gira la naturaleza.

Podemos encontrar el número de oro como una relación  entre dos segmentos en que se divide un tercero. Sabemos además que un  rectángulo es áureo  si el cociente entre sus dos longitudes, la mayor entre la menor es el número de oro (φ).

¿Se podría  extender de forma análoga esta relación a los ángulos además de a los segmentos? ¿Se podría encontrar un ángulo de oro?

Recordamos  la relación que deben cumplir dos segmentos para que estén en proporción áurea.


Análogamente, se puede extender esta relación y encontrar el ángulo de oro.

 El ángulo de oro  es el que se obtiene al dividir el círculo en dos ángulos tales que el cociente entre el mayor y el menor sea el número fi.

 Los valores resultantes son 225,5º y 137,5º  (redondeados a las décimas).

El ángulo de 137,5º es conocido como ángulo áureo.

¿Se encuentran  ángulos de oro en la naturaleza?

Ángulo de oro y Filotaxis. 

En el crecimiento de algunas plantas,  las hojas se distribuyen alrededor de un tallo en ángulos áureos.  (Filotaxis: disposición de las hojas en un tallo).

Las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo.
A medida que el tallo va creciendo, cada hoja  brota con un ángulo fijo respecto a la hoja anterior.

Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas  y que éstas no se solapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º.

En la siguiente imagen, la de la derecha vista desde arriba,  vemos la distribución de las hojas alrededor de un tallo y observamos que ninguna hoja está completamente sobre otra anterior.


El porqué el ángulo áureo produce la mejor disposición de las hojas alrededor de un  tallo está ligado al concepto de número irracional.
Si un ángulo es irracional por muchas veces que lo desplaces alrededor de un eje nunca regresará a la posición inicial.



Si observamos esta imagen, en  la que vamos añadiendo hojas con un ángulo de 137,5º desde la hoja  anterior:
a) Las dos primeras hojas están separadas el número áureo, 137,5º en un sentido o 222,5º en el otro.
b) Las tres primeras hojas   están  bastante distanciadas unas de otras ( la 2 de la 1 y la 3 de la 2 tienen una separación de 137,5º, el ángulo áureo).
c)  Las tres siguientes, la 4,  la 5 y la 6 tienen una separación de 52,5º respecto a las más cercanas ( la 1, la 2 y la 3 respectivamente).
d) La 7ª tiene un ángulo respecto a la más cercana la 2 de 32,5º y respecto de la 4 de 52.5º así ... observamos que  ninguna hoja tapa a una inferior.

El  video encontrado en YOUTUBE:   Ángulo de oro y FILOTAXIA subido por  C. R. IPIÉNS. nos ayuda a clarificar todo esto.
A partir de 1:50 minutos tenemos la obtención del  ángulo áureo por medio de arcos de circunferencia y a partir del minuto  2:23 se explica con detalle  la distribución de las hojas alrededor de un tallo según la proporción áurea.



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Esta es la contribución de Sacit Ámetam a la edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, en esta edición el blog anfitrión es ZTFNews