lunes, 22 de abril de 2013

Meridianas, analemas e hipopedes.

1.- Meridianas
Una  meridiana solar es un  instrumento gnomónico que nos indica, sobre una línea,  el momento  del paso del Sol por el  meridiano del lugar, el mediodía solar, cada uno de los días del año.
Esquema de la meridiana de San Petronio en Bolonia

La  construcción de meridianas ya era conocida  en la época del arquitecto  Marco Vitrubio, siglo I a. C.  que  lo describe en el  libro IX  de su obra De Architectura ,  tratado más antiguo de arquitectura  que ha llegado hasta nuestro tiempo.

Fue a partir de finales del siglo XV cuando, una vez  perfeccionados  los métodos y cálculos, cuando  se construyeron las más grandiosas y elegantes meridianas  que aún podemos admirar en la actualidad.

Para su construcción se realizaba un orificio en la parte superior de un muro, orientado al sur, de altos edificios ( iglesias, palacios,…)  de  manera que, al mediodía solar, el rayo de sol que incide en él se refleja sobre un segmento trazado en el suelo del edificio.

Ese segmento será de mayor longitud cuanto mayor sea la altura donde esté situado el  orificio.
Ese punto luminoso reflejado cada día, a mediodía, sobre la meridiana en el suelo, describe a lo largo de un año  una curva en forma de ocho  llamada analema.

En los solsticios, donde la altura del sol respecto al plano ecuatorial de la tierra es la mayor y  la menor,  el punto luminoso se encuentra en los extremos del segmento. En el resto de los días dependiendo de la altura del sol en ese día el punto luminoso se alejará o acercará del segmento pero siempre describiendo una trayectoria de un 8.

En la siguiente imagen vemos la fachada del Hotel Royal Victoria en  Pisa con una pequeña meridiana  que  hemos ampliado pra ver el orificio por donde entra el rayo de sol a mediodía y la curva que describe, en forma de analema,  con los meses del año.
Analema en la fachada del Hotel Royal Victoria de Pisa
Los analemas , dependiendo de la latitud donde se encuentre la meridiana y de la hora en que se tome (aunque  siempre se toma las 12 solar) pueden variar algo en la forma, en anchura o en el punto de intersección pero siempre teniendo la figura de 8.
Las meridianas se utilizaban para realizar cálculos astronómicos, duración del año solar, comienzo y duración de las estaciones, ángulo de declinación,…

Meridianas más importantes:

Entre las meridianas más importantes que podemos admirar y que son verdaderas obras de arte y de ciencia destacaremos las siguientes:

En 1437 el matemático y astrónomo Ulugh Beg (1393-1449), parece ser , que utilizó una meridiana en Santa Sofía, Estambul, de 50 m. de longitud para hallar la duración  año sidéreo su cálculo fue que un año tiene 365,2570370… días
Meridiana de San Petronio (en rojo)

En 1475 Paolo dal  Pozzo Toscanelli (1397-1482) construye una meridiana en  Santa  María de Fiore , en Florencia y coloca el  broncino con el orificio por donde entra el sol a unos 90 metros de altura, que es la mayor altura a la que se ha colocado este orificio.  (podemos consultar , en este blog,  el artículo escrito sobre este matemático, en el que se habla  de esta meridiana  podemos ver os videos.

También en Florencia podemos contemplar otra meridiana en la iglesia de  Santa María Novella , de 21,35 metros  construida por Ignazio Danti (1536-1586).

Más de siglo y medio después de la de Santa Mª de Fiore , el astrónomo Giovanni Doménico Cassini (1625-1712)  construyó, en 1655,  la línea meridiana de la iglesia de San Petronio de Bolonia sobre una anterior de Ignazio Danti destruida al ampliar el templo.

Tiene el orificio a 27 metros de altura y la longitud de la línea  con sus 66,7 metros es de las de  mayor longitud construida.

 La meridiana cubre más de la mitad de la iglesia (como se observa en la imagen de la planta de la iglesia de la derecha en rojo ) y sigue funcionando con  perfectamente  en la actualidad


En 1786 se construyó la del Duomo de  Milán.

En Roma, vamos a citar tres:

Una en  la   Salla della Meridiana en la Torre de los Vientos del  Vaticano , actual observatorio  astronómico (Specula Vaticana)  construida por de Ignazio Danti (1536-1586).
Salla della Meridiana en la Torre de los Vientos (Specula Vaticana)


Y otra en la basílica de  Santa Mª degli  Angeli  e dei  Martiri,  de 20 metros, realizada en 1702 por  Francesco Bianchini (1662-1729) considerada como una de las más bellas.
Meridiana de Santa María degli Angeli e dei Martiri


Una tercera meridiana podemos encontrarla  en la Plaza de San Pedro en el Vaticano, fue construida en 1817, siendo papa Pio VII .  El obelisco en el centro de la plaza hace de gnomon, en  el suelo de dicha  plaza  existe una línea de granito, que sale del obelisco  y que representa el meridiano del lugar,  a lo largo de ella hay 7 losas circulares donde  se señalan fechas y signos zodiacales.
Losetas de mármol con fechas y signos del zodiaco

 Sobre esta línea proyecta su sombra el extremo del obelisco justo a mediodía, coincidiendo sobre las losetas los días indicados en ellas. En los extremos de la línea más alejados del obelisco figuran los solsticios.
 En esta imagen figura el 21 de marzo y el 23 de septiembre con las fechas de los equinoccios y los signos zodiacales Aries y Libra.
Meridiana en la Plaza de S. Pedro en Roma

En España conocemos tres meridianas, dos de ellas en el Monasterio de El Escorial, una en la Galeria de Paseo, y la otra en la Antecámara del Rey, sala contigua a la anterior.
Ambas meridianas fueron diseñadas por el  matemático y astrónomo Juan Wendlingen  (1715-1790) y realizadas por el grabador y escultor Esteban Baumgartner en 1755, según figura en una inscripción en cada una, siendo rey  Fernando VI.
Son meridianas más modestas que las italianas, de unos 6 metros de longitud cada una  y con el orificio de entrada del rayo de sol a unos 3 metros de altura, sobre un ventanal,  son casi idénticas, y están situadas de forma  paralela una a otra y a unos 10 metros de distancia. En ellas figuran los meses del año y los signos del zodiaco 
La tercera meridiana se encuentra en el Palacio de Aranjuez  y fue construida por los mismos en el año 1747.
Meridiana en el Monasterio de El Escorial (Madrid)

En París, merece destacar la meridiana de  la  iglesia de San Sulpicio construida por  el astrónomo inglés Henry Sully en 1743 con la particularidad de que la línea en  el suelo continua ascendiendo 11 metros por un obelisco en la pared , en los días de equinoccio a mediodía la luz del sol se sitúa sobre  un plato oval delante del altar.
Esta iglesia no fue destruida en la Revolución Francesa debido a la importancia de las  mediciones y cálculos astronómicos que se hacían con esta meridiana.


2.- Analemas: Construcción  de una meridiana:

Clavamos una estaca en el suelo (gnomon) o en una pared orientada al sur y cada día siempre a las 12 del mediodía, aunque puede ser a otra hora cualquiera pero siempre a la misma,  señalamos el extremo de la sombra de la estaca sobre el suelo o pared.

A lo largo de un año el punto señalado nos describe una figura en forma de 8 o analema.


En su origen la palabra analema viene del griego  ἀνάλημμα  que significa “pedestal de un reloj de sol” es la curva que describe la posición del Sol en el cielo si todos los días del año se lo observa a la misma hora del día (tiempo civil) y desde el mismo lugar de observación.
El analema forma una curva que suele ser, aproximadamente, una forma de ocho (8) o leminiscata.

Nuevos tipos de analemas:

Después de la invención de la fotografía los analemas adquirieron una nueva dimensión
Si fijamos una cámara de fotos en un trípode e  hiciésemos  cada  día  una fotografía al Sol a la misma hora, desde el mismo lugar de observación y durante un año entero  obtendríamos una curva con  forma de ocho o de lemniscata que es el analema
Analema visto desde el hemisferio norte

El Sol aparecerá en su punto más alto del analema durante el verano y en su punto más bajo durante el invierno. El eje mayor nos indica la declinación del sol.
 Los analemas dependiendo de la latitud donde se realice y de la hora del día en que se tome pueden    parecer  ligeramente diferentes. Vemos unos ejemplos de analemas


La lazada corta es el reflejo de la mayor velocidad de traslación de la  Tierra cuando circula por la sección de su órbita que está más cercana al Sol (y cuyo punto más cercano es el llamado "perihelio") y por la que la gravedad de el Sol ejerce una mayor atracción sobre el planeta.

3.- Hipopede:   Matemáticas en el analema:


El analema se asemeja a dos curvas matemáticas a la Hipopede de Eudoxo y a la Lemniscata de Bernouilli.


La hipopede de Eudoxo, o lemniscata esférica,  es la intersección de una esfera con un cilindro tangente interior a la esfera, debe su nombre a Eudoxo de Cnido ( 406 a.C. – 355 a.C.)

Tiene una construcción  dinámica dada por Eudoxo: La Hipopede es el lugar geométrico de un punto de un círculo máximo inclinado un ángulo alfa sobre el plano del ecuador girando a una velocidad constante alrededor del eje de los polos.

Entonces el punto que recorre ese círculo máximo a la misma velocidad y en sentido contrario a la esfera describe una hipopede.
la ecuación de la hipopede es
Siendo:
 r es el radio de la esfera
d distancia del centro de la esfera al eje del cilindro

La lemniscata es una curva en forma de  8 descrita en 1694 por Jakob Bernouilli como el  lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias a dos focos estas distancias es constante.
Bernoulli la llamó lemniscus, cinta colgante. Su fórmula es
siendo 2a la distancia entre los dos focos.
Lemniscata de Jakob Bernouilli


En Gaussianos  encontramos esta animación de la hipopede
1.- Tenemos una esfera de centro O y que rota a velocidad constante sobre un eje N-S
2.- Sea un punto M que gira sobre un paralelo
3.- Sea P el punto de intersección de los dos círculos máximos perpendiculares a OM y ON
4.- Tomo H, un punto de la circunferencia del  círculo máximo perpendicular a OM que se mueve a la misma velocidad pero en sentido inverso que la esfera.
Entonces este punto describe una hipopede.

Como curiosidad hemos encontrado, que en nuestro centro, en el curso de 1º de la ESO grupo D, hay   un globo terráqueo en el que podemos ver un analema.
Globo terráqueo con analema en 1º ESO grupo D


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Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión en este mes de abril es Eulerianos