miércoles, 21 de abril de 2010

Una novela sobre el Teorema de Gödel

Desde enero de 2010 el libro "Gödel para Todos" de Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro está a la venta en las librerías españolas, publicado por la editorial Destino.
Un libro que descubre los secretos del matemático austriaco

Una habitación cerrada se comete un crimen y que, al llegar la policía, junto al cadáver hay dos sospechosos. Cada uno de ellos sabe toda la verdad sobre el asesinato: sabe si fue él o no fue él. Sin embargo, a menos que confiesen, los inspectores tendrán que encontrar huellas dactilares, restos de ADN o cualquier otra prueba secundaria que permita acusarlos ante un juez. Si esta búsqueda se demostrara inconcluyente, los sospechosos quedarían libres, pero la verdad de lo que sucedió en la sala seguiría estando ahí. Aunque la verdad existe, el método es insuficiente para alcanzarla.

Este relato elegido por el escritor Guillermo Martínez, doctor en matemáticas, sirve para explicar uno de los teoremas más profundos de la lógica. “El teorema de Gödel”.

Los matemáticos vivían en el optimismo de que lo verdadero es siempre demostrable hasta que llegó Kurt Gödel y en 1930 en una reunión de expertos en lógica matemática en Köenigsberg se atrevió a anunciar, en la lectura de su tesis, que tenía ejemplos de "proposiciones verdaderas por su contenido que no podían demostrarse a partir de los axiomas".

En aquel momento, sólo John von Neumann pudo comprender lo que sugería Gödel
Para demostrarlo, Gödel modificó de manera ingeniosa la llamada paradoja del mentiroso, que se produce cuando alguien afirma "Yo siempre miento", pues si la persona miente, entonces dice la verdad, y si dice la verdad, entonces miente.
Por esta razón, algunos de sus contemporáneos pensaron que las verdades indemostrables eran puramente anecdóticas. Sin embargo, el teorema de Gödel inspiraría a Alan Turing la creación de los primeros ordenadores teóricos.

Dice que, sean cuales sean los axiomas que elijamos para hablar sobre los números, si estamos seguros de que son reconocibles y de que no dan lugar a contradicciones, entonces automáticamente existirá una propiedad que es verdadera, pero que no se puede demostrar a partir de ellos.

Como el teorema mostraba que ninguna colección de axiomas podía completar todas las verdades aritméticas, enseguida pasó a llamarse teorema de incompletitud.
Un crimen que los detectives nunca lograrán resolver. En este libro los axiomas son los personajes del relato, de modo que el éxito de la historia dependerá de cómo se elijan. Por un lado, no deben dar lugar a contradicciones y tampoco es posible construir una teoría razonable si no somos capaces de distinguir los axiomas de las afirmaciones, de saber lo que hay que demostrar y lo que puede suponerse.

En la actualidad la incompletitud pasó a formar parte de ese extraño grupo de "palabras mágicas de la escena postmoderna como caos, fractal o indeterminación" que se asocian "a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas".