Soluciones Mini-Mates del Boletín nº 13

Ir al enunciado de las Mini Mates propuestas en el boletín nº 13
1.- Un problema clásico:
Las edades de las hijas, por ser su producto 36, tienen que ser una de estas tripletas de números:

1,1,36. cuya suma es 38

1,2,18. cuya suma es 21

1,3,12. cuya suma es 16

1,4,9. cuya suma es 14

1,6,6. cuya suma es 13

2,2,9.cuya suma es 13

2,3,6.cuya suma es 11

3,3,4.cuya suma es 10

La casa tiene que tener el número 13, pues, si tuviese otro número sabríamos la edad de las hijas. Sólo si es el 13 hay dos posibilidades.

Puesto que la mayor toca el piano, la única posibilidad es la de 2, 2 y 9 años cada hija.

2.- Récord de goles.
Podemos realizarlo como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas del modo

M + E = 35

E + H = 31

M + H = 28

y de modo fácil da. Etoo 19 goles, Messi 16 goles y Henry 12 goles.

Otra forma de hacerlo propuesta por un un alumno de 1º de la ESO es:

Sumamos tods los datos 35 + 31 + 28 = 94 que son los goles que han metido entre los tres contados dos veces.

Luego, entre los tres han metido la mitad: 47 goles

Si Messi + Etoo han metido 35 y entre los tres 47, entonces, Henry ha metido 12 goles

y así sucesivamente.......¡ Muy bien!

3.- Una afirmación falsa muy escondida.

La afirmación que no es cierta es la frase del enunciado

"Este texto contiene una afirmación que no es cierta"

pues, las otras tres son verdaderas.

4.- Unas damas con muy poco apetito.

Hay varias opciones una de ellas es:

Bender ( Futurama) y los matemáticos Hardy y Ramanujan

Bender Doblador Rodríguez es un robot que aparece en la serie de dibujos animados FUTURAMA, serie que está muy relacionada con hechos científicos y matemáticos.

Veamos una de sus relaciones con las matemáticas mediante el número 1.729

Bender es el hijo #1729 de una cadena de montaje de robots.

También la nave Nimbus tiene el número 1729 grabado en su carrocería y en la paracaja de Farnsworth. existe el “Universo 1729″ (La paracaja es una caja con un universo paralelo inventada por el el profesor Hubert Farnsworth , personaje de la serie)

El 1729 es el llamado número de Hardy- Ramanujan, llamado así por la siguiente anécdota:
El matemático Godfrey H. Hardy ( 1877-1947) iba en cierta ocasión en un taxi en Londres que llevaba el número de licencia 1729 que le llamó la atención..
Se dirigía al hospital de Putney en Londres donde se encontraba su amigo y matemático, también Srinivasa A. Ramanujan ( 1887-1920)
Debió de estar pensando en ello porque al entrar en la habitación, después de saludar le expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio para ese día.
No, Hardy, respondió Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.

A los números que cumplen dicha propiedad se les conoce como los números Taxicab.

Se dice que un número es el enésimo número Taxicab si es el menor número que se puede descomponer como n sumas de dos cubos positivos.

Así tenemos los 4 primeros números Taxicab son

El nombre de estos números deriva de la anécdota contada del taxi de Hardy y de Ramanujan

Otra curiosidad matemática de Bender es que el número del apartamento donde vive Bender es el 00100100, que es capicúa y en el sistema binario es el número 36 y si vemos la tabla de los códigos ASCII corresponde con es el caracter del dólar $, además el bloque de apartamentos contiene solo 256 apartamentos, igual al número de caracteres de la tabla ASCII.

Matemáticas y Beatles

Un matemático resuelve el acorde de "A hard day's night"

El tema de los Beatles "A hard day's night" arranca con un acorde que nadie había logrado reproducir.

El matemático Jason Brown, de la Universidad Dalhousie (Canadá), ha dado con la clave al descomponer las frecuencias de este acorde  aplicando el  análisis de Fourier.

La solución es que  a las guitarras y al  bajo se le sumó un fa de piano cuyo intérprete fue quizá el productor, George Martin.

Consultado Paul McCartney sobre el origen de este sonido respondía que era fruto de la inspiración de un momente y que sólo era "un sonido de otro mundo".

Si quieres escuchar esta magnífica canción y oir el primer acorde enlazamos con Youtube. Primer acorde de otro mundo y comienza la letra.


Esta noticia fue publicada en el periódico Público, el 19 de enero de 2009 , aunque el descubrimiento data de 2004.

Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830) , matemático francés, descubrió lo que hoy se conoce como teorema de Fourier.
Según éste, cualquier oscilación periódica, por complicada que sea, se puede descomponer en serie de movimientos ondulatorios simples y regulares, la suma de los cuales es la variación periódica compleja original.

Es decir, una función compleja se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un número suficientemente grande de funciones trigonométricas: sinusoidales que forman una serie armónica.

Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas muy complejas y es utilizado en el estudio del sonido , de la luz y en general en cualquier fenómeno ondulatorio, en particular en las ondas que producen los instrumentos musicales.

El estudio matemático de tales fenómenos, basado en el teorema de Fourier se llama Análisis Armónico.

Gracias a este matemático el primer acorde de la canción de los Beatles ha sido desentrañado.

2009 Año Internacional de la Astronomía: GALILEO GALILEI (boletín nº 13 )

En el año 1609 Galileo Galilei apuntó por primera vez al cielo con un telescopio. Fue el comienzo de 400 años de descubrimientos que aún continúan. En conmemoración a este hecho:
El 27 de octubre de 2006 la Unión Astronómica Internacional (UAI) anunció la declaración por la UNESCO del 2009 como el Año Internacional de la Astronomía (IYA2009), ratificada por la ONU el 19 de diciembre de 2007.

Galileo nació en Pisa, Italia, el 15 de febrero de 1564. Su padre era matemático y músico. En 1581 su padre lo inscribe en la Universidad de Pisa, donde seguirá cursos de Matemáticas, Medicina y Filosofía.
En 1583, atraído por la obra de Euclides , Galileo se inicia en la matemática de la mano de Ostilio Ricci, alumno de Tartaglia, del que aprendió a unir la teoría con la práctica experimental.
Se consideraba seguidor de Pitágoras, Platón y de Arquímedes y opuesto al aristotelismo.
Descubre la ley de la isocronía de los péndulos, primera etapa de la que será el descubrimiento de una nueva ciencia: La Mecánica.
Galileo demuestra muchos teoremas sobre el centro de gravedad de ciertos sólidos. Reconstruye la balanza hidrostática de Arquímedes. Estudia las oscilaciones del péndulo pensante e inventa el pulsómetro. Este aparato permite ayudar a medir el pulso y suministra una escala de tiempo, que no existía aún a la época.

Galileo fue el precursor del péndulo de Foucault observando la oscilación una lámpara en el Duomo de Pisa para el estudio de la rotación de la Tierra.
También comienza sus estudios sobre la caída de los cuerpos y redacta su primera obra de mecánica, el De motu.
En 1589 se le otorga la cátedra de matemáticas de la Universidad de Pisa. En 1592 se trasladó a la Universidad de Padua donde enseñó Geometría, Mecánica y Astronomía.
En mayo de 1609, construye su primer telescopio con un aumento de 6 veces, utilizando una lente divergente. En agosto lo perfecciona llegando hasta nueve aumentos.
Galileo observa los anillos de Saturno. Estudia igualmente las manchas solares. En 1610 , Galileo descubre cuatro satélites de Júpiter : Calixto, Europa, Ganímedes e Io.
Para él, Júpiter y sus satélites son un modelo del Sistema Solar. Y piensa que todos los cuerpos celestes no giran alrededor de la Tierra. Es un golpe muy duro a los aristotélicos. Y corrige también a ciertos copernicanos que pretenden que todos los cuerpos celestes giran alrededor del Sol.
El mes siguiente, Galileo encuentra una manera de observar el Sol en el telescopio y descubre las manchas solares. Les da una explicación satisfactoria.
En 1610, descubre las fases de Venus que le afianza en la hipótesis heliocéntrica, en contra de la geocéntrica.
Los partidarios de la teoría geocéntrica se convierten en enemigos encarnizados y los ataques contra él comienzan, no quieren ver su ciencia puesta en cuestión. Después de varios años de polémicas y disputas, además de distintas publicaciones por uno y otro bando, en 1633 el Santo Oficio de Roma le condena a prisión de por vida (conmutada debido a su avanzada edad por prisión en su residencia de Arceti por vida ) y su obra es prohibida.
En 1642 muere en Arcetri ( Italia) Este año es crucial para la ciencia pues muere el primer pre-científico y nace el primer científico Isaac Newton

En 1979 y posteriormente en 1981 el Papa Juan Pablo II encarga una comisión para estudiar la controversia de Ptolomeo-Copérnico de los siglos XVI y XVII y que finalizó en 1992. El 31 de octubre de ese mismo año el Papa rinde un homenaje al sabio durante su discurso a los partícipes en la sesión plenaria de la Academia Pontificia de las Ciencias. En él reconoce claramente los errores de ciertos teólogos del siglo XVII en el asunto.

Cita en el boletín nº 13

Cita publicada en el Boletín nº 13 de febrero de 2009.

" Eppur si muove."( Y sin embargo, se mueve.)

Galileo Galilei ( 1564-1642). Frase atribuida a Galileo que se dice susurró tras retractarse de la visión heliocéntrica ante el Tribunal de la Santa Inquisición en 1633, haciendo referencia al movimiento de la Tierra.

Logaritmos para hallar la antigüedad de fósiles orgánicos mediante el Carbono 14 (boletín nº 13)

La datación por Carbono-14 es un procedimiento para determinar la edad de ciertos objetos arqueológicos que tengan un origen biológico con una antigüedad de hasta cerca de 60.000 años. Se utiliza para fechar cosas tales como: huesos, madera, fibras vegetales que fueron creadas en un pasado relativamente reciente por actividades humanas
El carbono-14 es radioactivo, siendo su “período de semidesintegración ” de 5760 años (es decir, a los 5760 años de la muerte de un ser vivo la cantidad de C-14 en sus restos fósiles se reduce a la mitad).

En cuanto los organismos vegetales o animales mueren, cesa el intercambio con la atmósfera y cesa el reemplazo de carbono de sus tejidos. Desde ese momento el porcentaje de C-14 de la materia orgánica muerta comienza a disminuir, ya que se transmuta en N-14 y no es reemplazado.

La masa de C-14 de cualquier fósil disminuye a un ritmo exponencial que es conocido. Se sabe que a los 5760 años de la muerte de un ser vivo la cantidad de C-14 en sus restos fósiles se ha reducido a la mitad y que a los 57600 años es de tan solo el 0,01% del que tenía cuando estaba vivo.


( Otros autores consideran este periodo de 5730 años con un error de más menos 40 años. En Paleontología un error de este calibre se considera mínimo)
La fórmula es la siguiente:

No: es la cantidad de C-14 original del fósil ( al morir).
Nf: es la cantidad de C-14 final del fósil ( al encontrarlo).
T1/2: es el periodo de semidesintegración del C-14, es constante. Nosotros utilizaremos 5.760 años.
t: tiempo estimado de antigüedad del fósil .

Sabiendo la diferencia entre la proporción de C-14 que debería contener un fósil si aún estuviese vivo (semejante a la de la atmósfera en el momento en que murió) y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte de forma bastante exacta.
Para medir la cantidad de carbono-14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono-14 en nitrógeno. La cantidad de carbono-14 se compara con la de carbono-12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.

Esta técnica fue descubierta por Willard Libby y su equipo en 1949 cuando ocupaba su cargo como profesor en la Universidad de Chicago. En 1960, Libby fue premiado con el Premio Nobel de Química por su método de datación mediante el carbono-14.
En la actualidad hay otros métodos más precisos para la datación de fósiles orgánicos.

Vamos a ver dos ejemplos de la utilización de esta fórmula:

Ejemplo1: Se ha encontrado un fósil con un 10% de C-14 en relación con una muestra viva, entonces el fósil tendría una antigüedad de aproximadamente 19150 años.

Sustituimos y resolvemos

Ejemplo2: Tengo 60 gr de C-14, al cabo de 8.000 años ¿cuánto c-14 habrá en el fósil? Resolviéndo paso a paso
Nos da 22,91 gramos.

Mini-mates del boletín nº 13

Los siguientes cuatro problemas se presentan en el boletín número 13 de febrero de 2009:
( Ir a la solución) pero antes inténtalo.

♦ UN PROBLEMA CLÁSICO: Se dice que este problema le fue planteado a Einstein por un grupo de sus alumnos, y que el padre de la teoría de la relatividad lo consideró realmente ingenioso.
Dos profesores pasean, charlando de sus respectivas familias.-Por cierto -pregunta uno-, ¿de qué edad son tus tres hijas?-El producto de sus edades es 36 -contesta su colega-, y su suma, casualmente, es igual al número de tu casa. Tras pensar un poco, el que ha formulado la pregunta dice:-Me falta un dato.-Es verdad –responde el otro-. Me había olvidado de aclararte que la mayor toca el piano.

¿Qué edades tienen las tres hijas del profesor?

♦ RÉCORD DE GOLES: el C. F. BARCELONA en la temporada 2008/09

Hasta la 21ª jornada de liga (01/02/09) Etoo, Messi y Henry han metido más goles que ningún otro equipo de 1ª división.

1.-Entre Messi y Etoo han metido 35 goles,

2.- Entre Etoo y Henry han metido 31 goles

3.- Entre Messi y Henry han metido 28 goles

¿Cuántos goles ha metido cada delantero?

( Recordamos que en esta 21ª jornada Messi ha metido el gol número 5.000 del Barça)

♦ UNA AFIRMACIÓN FALSA MUY ESCONDIDA.
(Problema propuesto por Ana Vicario alumna de S1ºA)

Este texto contiene una afirmación que no es cierta:
1.- Este año, 2009, es el año Internacional de la Astronomía
en honor a Galileo Galilei.
2.- Galileo fue defensor de la Teoría Heliocéntrica.
3.- Galileo murió en 1642, mismo año en que nació Newton.

♦ UN PROBLEMA DE AJEDREZ

Coloca sobre un tablero de ajedrez, 8 damas de tal manera que no se coman

¡¡Ha salido el boletín número 13!!

Hoy 1 de febrero acaba de salir el boletín número 13 en él encontrarás:

En la portada 4 fotos de alumnos de nuestro centro en relación a las matemáticas.

más fotos de nuestros alumnos.

y la célebre frase " Eppur si muove" atribuida a Galileto Galilei

1.- Cómo los logaritmos contribuyen a datar la antigüedad de fósiles por medio del Carbono-14

2.- Este año, 2009, es el Año Internacional de la Astronomía, una breve semblanza de Galileo y lo que supuso para la Ciencia

3.- Cuatro problemas para pensar

3.1. Un problema clásico planteado a Einstein y de ingeniosa rsolución.

3.2. Un reconocimiento a la delantera del Barça

3.3. Un problema de lógica planteado por una alumna de 1º ESO

3.4. El último de ajedrez

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Alan M. Turing : 60ª aniversario del primer ordenador de uso universitario

La Universidad de Manchester, celebra el 60 aniversario de la construcción del primer ordenador digital electrónico moderno 'Baby' (así la apodaron cariñosamente sus creadores), el primero que podía albergar datos y 'software' en un mismo soporte, al igual que hacen los ordenadores de hoy en día, en sus tiempos 'Baby' fue una máquina sin rival.
La célebre computadora, fue construida por Alan Mathison Turing, y solía tomarse casi una hora para realizar un cálculo aritmético relativamente sencillo, fue construida en 1948 y ampliada, en vista de su éxito, durante el siguiente año 1949.
Los padres físicos de la criatura, es decir, los responsables del 'hardware', fueron Freddie Williams y Tom Kilburn. Alan Turing y su colega M.H.A. Newman, quien había sido el primero en leer su concepto de máquina universal, se encargaban del 'software'.

Aunque la primera computadora que respondía a este concepto se había construido, durante la Guerra, en Estados Unidos con fines militares. Fue en Manchester donde Turing en 1948 creó un computador digital electrónico, que se utilizaría en sus estudios para “hacer ciencia”y por primera vez como herramienta universitaria.



Alan M. Turing (1912-1954) fue matemático, informático teórico y criptógrafo. Es considerado uno de los padres de la Ciencia de la Computación siendo el precursor de la Informática tal como la concebimos y utilizamos en la actualidad.
Durante la Segunda Guerra Mundial fue uno de los principales artífices en descifrar los códigos secretos nazis, particularmente los de la máquina Enigma y de los codificadores de teletipos FISH.;
También contribuyó de forma particular e incluso provocativa en la disyuntiva de si las máquinas pueden pensar, es decir a la Inteligencia Artificial y propuso un experimento que hoy se conoce como la prueba de Turing, mediante el cual una máquina podría catalogarse como "sensible" o "sentiente".


Es famoso por su célebre modelo computacional, conocido por la máquina de Turing , que publicado por la Sociedad Matemática de Londres, en el cual se estudiaba la cuestión planteada por el matemático David Hilbert sobre si las matemáticas son decidibles, es decir, si hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y que nos diga si esa sentencia es cierta o no. La máquina de Turing es un modelo matemático abstracto que formaliza el concepto de algoritmo.
De 1945 a 1948 trabajó en el Laboratorio Nacional de Física en el diseño del ACE (Máquina de Computación Automática). En 1949 fue nombrado director delegado del Laboratorio de Computación de la Universidad de Manchester y creo Baby : primer ordenador para el trabajo universitario.

Su muerte está rodeada de misterio, en 1954, murió al morder una manzana con cianuro. Por eso, se dice, el logotipo de Apple es una manzana mordida.

En su Honor La Association for Computing Machinery otorga anualmente el Premio Turing a personas destacadas por sus contribuciones técnicas al mundo de la computación. Este premio está ampliamente considerado como el equivalente del Premio Nobel en el mundo de la computación.


El 1998, con motivo de su cincuentenario, Baby fue restaurada y ahora puede verse en el Museo de Ciencia de Manchester, aunque su aspecto recuerda más al decorado de una película de marcianos que a lo que ahora llamaríamos un supercomputador.

Péndulo de Foucault : cosecante de la Latitud

Un péndulo de Foucault es un péndulo simple, es decir, una bola colgada de un hilo largo y que puede oscilar libremente en cualquier plano vertical y capaz de oscilar durante horas.
Se utiliza para demostrar la rotación de la Tierra y además la fuerza de Coriolis. Se llama así en honor de su inventor, León Foucault.(1819-1868).
Los péndulos de Foucault no utilizan ninguna fuerza motriz, para facilitar su oscilación y garantizar siempre la misma amplitud de oscilación, y contrarrestar la pérdida de energía por fricción con el aire, se crean pequeños campos electromagnéticos en la base.
Se sabe que:
1.- El tiempo que tarda el péndulo en completar el círculo girando depende de la latitud donde se encuentre: Rota con una velocidad directamente proporcional al seno de la Latitud,
2.- Es decir, el tiempo de una rotación es inversamente proporcional al valor de dicho seno, o lo que es lo mismo, proporcional a la cosecante de la latitud.
3.-Un péndulo situado en el ecuador no rota.
4.-Un péndulo que estuviera situado en el polo norte giraría exactamente una vez al día.
Para que no se detenga, se emplea un electroimán que compensa la pérdida de energía producida por el rozamiento

Ejemplo : En un punto situado a 45º de Latitud tenemos que sen (45º) = .
Entonces como el tiempo es inversamente proporcional al seno, el péndulo de Foucault da una vuelta cada =1,414… días , es decir, cada 1 día 9 horas 56,46 minutos

La primera demostración tuvo lugar en 1851, en la salle meridianne la sala central, situada en el meridiano,en el Observatorio de París, puso una pesa de 5 kg. con un cable de 11 metros. El 3 de febrero de 1851 presentó oficialmente los resultados a la Academia de Ciencias Francesa. Dicha academia envió invitaciones con el mensaje: Está usted invitado a ver cómo gira la Tierra, en la sala central del Observatorio de París.
El príncipe Louis-Napoleón , le solicitó la demostración en el Panteón de París, según Foucault, era un lugar maravilloso y el experimento quedaría revestido de un splendeur magnifique
Colgó un péndulo de la enorme cúpula del Panteón con un cable de 67 metros de largo y como peso una bala de cañón de 28 kilos, en la parte inferior de dicha bala colocó una pequeña aguja indicadora que marcaría su posición en cada balanceo sobre dos taludes de arena. Cada vez que marcaba un surco en los taludes se desplazaba unos dos milímetros a la izquierda del anterior.

Una vez lanzado, el péndulo oscilaba durante 6 horas. el péndulo se desviaba 11° 17,8´ cada hora dato que habían predicho, ya que la latitud en Paris es de 48º 51´44´´ Norte.

Louis-Napoleón quedó encantado y le recompensó con un puesto como físico del Observatorio.
La originalidad de este experimento consiste en la demostración de que la rotación de la Tierra se realiza localmente, en el interior de un recinto cerrado.
Igualmente, este experimento permite determinar la latitud del lugar sin ninguna observación astronómica.

Veamos la comprobación con Paris y los datos obtenidos
1.- Si cada hora desvía 11º17,8´ para dar una vuelta completa de 360º se precisan, con una sencilla regla de tres, = 31,86702 horas = 1,327792 días
2.-Hallando el arccosec (1,327792) = 48,8622 = 48º 51´ 44´´ obtenemos la Latitud de Paris
No era raro que el auditorio estuviera impresionado, y es que lo que veían allí no era un péndulo que se movía: estaban viendo, de hecho, cómo se movía la Tierra .

Desde 1995 este péndulo está de nuevo en el Panteón.

Péndulos famosos
En Valencia en el museo de las Ciencias hay un péndulo de 30 metros de longitud, uno de los más largos del mundo, y cuya masa es de 130 kilos, cuya base es una mesa circular forrada de madera de olivo y naranjo, donde se encuentra el anillo que genera e induce la asistencia electromagnética a la esfera del péndulo.
En Valencia cuya latitud es de 39º 28´ dará una vuelta de 360 º en:
Hallamos el sen (39º 28´) = 0,6356 . Rotará una vuelta cada 1,57324 días ( inverso del sen39º28´) que es 1día 13 horas 45 minutos

Hoy día es raro el museo de la ciencia que no tiene un péndulo de Foucault.
El edificio central de las Naciones Unidas en Nueva York alberga otro junto a la gran escalera ceremonial de su vestíbulo con una esfera bañada en oro de 90 kg de peso, con 30 cm de diámetro que cuelga de un cable de 23 metros.

solución mini-mates bol12

( Ir al enunciado)
1.-UN PROBLEMA “CLÁSICO” MATEMÁTICO.

El jeque debe tomar un lingote del primer camello dos lingotes del segundo camello, tres del tercero y así sucesivamente…… en total 55 lingotes.
la diferencia entre lo que debían pesar y lo que pesan nos dice cual es el número del camello donde se ha robado un gramo en cada lingote.
Si cada lingote fuesen de 1000 gr los 55 lingotes pesarían 55.000 gramos
Si del camello 6 hemos quitado un gramo de cada uno de los 10 lingotes. Como en los 55 lingotes que pesamos hay 6 lingotes con 999 gramos el peso total será de 54.994 gramos.

2.-MENUDA RAZA DE GIGANTES

Si x = altura de un gigante entonces: 10 + x/2 = x
Resolviendo la ecuación da que un gigante mide 20 metros

3.- MARAVILLA MATEMÁTICA: Es fácil comprobar esta igualdad.

Comprobémosla para el 5

fácilmente se comprueba que es cierta, y así con todos los números naturales.

4.-CRIPTOGRAMA NAVIDEÑO: Úna de las posibles soluciones :( seguro que puedes encontra otras)vendría dado por

5.- MONEDAS IGUALES DANDO VUELTAS.
Al girar A alrededor de B da dos vueltas completas hasta volver a la misma posición

6.- PROBLEMA INVEROSÍMIL : Suponemos R el radio de la Tierra y L la longitud de la circunferencia. y sea R´El radio de la circunferencia obtenida de la anterior al añadirle un metro.

Entonces con transformaciones básicas en la fórmula tenemos

Es decir, la diferencia de los radios es el inverso de 2·Pi . que es 0,15915 metros o lo que es lo mismo casi 16 centímetrosentre las dos circunferencias, luego hasta una pelota de pin-pon cabe entre ambas circunferencias

10.- CAMBIANDO UN DÍGITO. Quitamos una linea del igual y la colocamos encima del - del modo:
53 = 54 - 1