Abraham Zacut, matemático salmantino.

Abraham Zacut, matemático y astrónomo de origen sefardí, nació en Salamanca en 1452 y murió en Damasco en 1515.
Estudió matemáticas y astronomía en Salamanca, además tuvo conocimientos también ciencias jurídicas e historia. Fue Catedrático de Astronomía y Matemáticas en su Universidad, según distintos autores, después de 1481, también se cree que enseñó en Zaragoza y Cartagena.

En Salamanca escribe, su obra más importante Almanach Perpetuum celestium motuum , cuyo título original era Ha- Hibbur ha-gadol (El Gran Tratado o Compilación Máxima), en la que incluye las tablas astronómicas que alcanzaron una gran resonancia y fueron utilizadas en toda Europa entre los siglo XV y XVI, sus efemérides están calculadas para el meridiano de Salamanca.
(En el libro de Arturo Pérez-Reverte, La Carta esférica (2000), la clave de la historia está en que el meridiano-referencia de las cartas náuticas es el Meridiano de Salamanca).

El Gran Tratado se escribió en hebreo, y fue escrita a instancia de su protector el obispo de Salamanca, D. Gonzalo de Vivero a quien se la dedica.
La terminó en 1478 y fue traducida al castellano en 1480 por el catedrático de Astronomía, en aquel momento, de la Universidad de Salamanca D. Juan de Salaya.
Más tarde escribió en 1486 una obra de astrología médica titulada Tratado de las influenctas del cielo, en aquella época astrología y astronomía se estudiaban juntas.

En 1492, a causa del decreto de expulsión de los judíos de España , Zacut tuvo que buscar refugio en el reino de D. Juan II de Portugal, donde, al llegar tuvo gran influencia sobre el rey debido a sus estudios aplicados a la navegación, fue nombrado, por el rey, Historiador y Matemático Real, cargo que mantuvo durante el reinado de su sucesor Manuel I.

En 1496 se publica en Leiria, el libro Biur Luhot (Almanaque Perpetuo) con las tablas astronómicas y se tradujo al portugués, por su discípulo José Vizinho, su magna obra Ha-Hibbur ha-gadol , con la que logró una influencia decisiva, en la historia de la navegación portuguesa y española de aquella época, sobre todo como fuente de las primeras tablas náuticas o «regimentos», utilizadas en la época de los descubrimientos y grandes viajes por mar.

También perfeccionó el astrolabio y lo convirtió en un instrumento de precisión, muy utilizado por los grandes navegantes de aquella época.

Sus tablas, utilizadas para calcular efemérides, eran más precisas que las tablas alfonsíes vigentes hasta ese momento y fueron utilizadas, entre otros, por Cristóbal Colón, Vasco de Gama, Martin Behaim, Pedro Alvares Cabral , Fernando de Magallanes,… en sus viajes a América, a la India por el cabo de Buena Esperanza, a dar la vuelta al mundo,…..


Las persecuciones y violencia contra los judíos en Portugal en 1496, en el reinado de Manuel I, le forzaron a irse, a pesar de las buenas relaciones que mantenía con el rey, primero a Túnez donde escribió el Libro de las genealogías (Sefer ha-yuhasim) en 1505, que se traduce como una obra biográfica acerca de los sabios judíos que existieron desde la Misná hasta la época del mismo Zacut, luego se trasladó a Turquía y murió en Damasco en 1515.

Es considerado como el último matemático hebreo-español.

La Biblioteca de la Universidad de Salamanca, muy cerca de la Facultad de Matemáticas y de la Facultad de Físicas, lleva el nombre de este insigne salmantino.

.Esta es nuestra participación en la Edición 3.14. del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en esta ocasión, es el blog Hablando de ciencia

¡¡ Ha salido el boletín nº 27 !!

Ha salido el boletín número 27, correspondiente al mes de marzo de 2012.

En él encontrarás una breve historia de los Sangakus, tablillas donde se exponían problemas, sobre todo geométricos, en los templos, ya como ofrenda a los dioses, ya como reto a los que allí acudían.

La pretensión de los matemáticos japoneses, con estas tablillas, era conseguir, mediante la contemplación de estas tablillas, que se llegara a una percepción estética que nos hiciese sentir la existencia de una armonía y que nos llevase a poner en funcionamiento la razón para intentar explicar dicha armonía.

Podéis acceder a él y a todos los boletines anteriores en la página de Boletines Sacit Ámetam, donde los podéis descargar en PDF.

También veréis varios ejemplos de Sangakus en el boletín, con sus soluciones, y así animaros a encontrarlas

Hasta 13 Sangakus encontrarás en distintas entradas del blog:

Cinco primeros Sangakus ( del 1 al 5 ), Otros cinco Sangakus (del 6 al 10) y Tres últimos Sangakus (11, 12 y 13 ). Tres importantes teoremas.

Cita en el boletín nº 27

La cita que figura en la portada del boletín nº 27 de marzo de 2012 es del escritor argentino Jorge Luis Borges (1899-1986) y dice:

"Las matemáticas, al igual que la música, pueden prescindir del Universo"

Ψ : EL NÚMERO DE PLÁSTICO.

El número de plástico (Ψ) surge en pleno siglo XX, descubierto y utilizado por el arquitecto holandés Dom Hans van der Laan.

Vamos a ver cómo surge y su relación con el número de oro o número áureo (Φ).

1.- Número de oro (Φ ):
Este número estudiado con gran profusión desde la Grecia clásica tiene un número asociado, el de plástico, que generaliza la belleza y armonía, que posee el número de oro, al espacio.


Sabemos que el número de oro, entre otras tiene las dos siguientes propiedades:







¿Existirán más números que las cumplan?
La respuesta es sí , los números mórficos , así se llamó a los posibles números que cumplan esas dos igualdades.

Un número real p > 1 es llamado número mórfico si existen dos números naturales m y n tal que cumplan las siguientes condiciones.






2.- Sólo existen DOS números mórficos : EL DE ORO Y EL DE PLÁSTICO.

El número de oro es un número mórfico ¿Existirán más número mórficos?

La respuesta fue dada por Jan Aarts, Robbert Fokkink y Godfried Kruijtzer de la Delft University of Technology de Holanda, que demostraron que sólo existen dos números con tales propiedades, en su publicación Número Mórficos (2001).

Es decir, el ya citado número de oro (con m =2 y n =1) y otro número llamado el número plástico, ( para m = 3 y n = 4) que fue descubierto, en 1928, por el arquitecto holandés Dom Hans Van Der Laan ( 1904-1991).

Se podría definir este nuevo número como.Si resolvemos esta ecuación, de tercer grado, por la fórmula de Cardano obtenemos que el número de plástico es:
3.- Números mórficos como límite de sucesiones : Sucesión de Fibonacci y sucesión de Padovan.

3.1.- Sucesión de Fibonacci.
Sabemos que el número de oro se obtiene como el límite de la sucesión cuyos términos son los cocientes de dos términos consecutivos, un término entre su anterior, de la sucesión de Fibonacci.

La sucesión a(n) de Fibonacci se genera, siendo n un número natural, de la forma:

a) a(1) = a(2) = 1
b) a(n) = a(n-2) + a(n-1)

Es decir la sucesión de Fibonaci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .....

El número de oro se obtiene como:3.2.- Sucesión de Padovan.
El número plástico también se obtiene como el límite de los cocientes entre de dos términos consecutivos, un término y su anterior, de otra sucesión , la de Padovan.

La sucesión a(n) de Padovan se obtiene de la forma, siendo n un número natural:

a) a(1) = a(2) = a(3) = 1
b) a(n+1) = a(n-2) + a(n-1)

La sucesión de Padovan será:
a(n) = 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65,...

El límite de la sucesión formada por los cocientes de un término y su anterior de esta sucesión da el número de plástico:La sucesión de Padovan recibe el nombre del arquitecto y matemático inglés Richard Padovan nacido en 1935 que traduce al inglés , en 1983, el tratado de arquitectura Architectonic space, escrito por Hans van der Laan

4.- Propiedades geométricas de ambos números.

El número de oro proporcina belleza y armonía en el plano (Divina Proporción), el número de plástico, en el espacio, del modo siguiente:

4.1.- El número de oro tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos rectángulo de oro de lados 1 y Φ y los coloco como en la figura de la izquierda, los puntos P, Q y R están alineados.

4.2.- El número de plástico tiene la siguiente propiedad:
Si tengo dos paralelepípedos (cajas) de plástico, de lados 1, Ψ y Ψ2 colocados de la forma de la figura de la derecha, los puntos P, Q y R están alineados.
Estas propiedades son la base de la belleza y armonía que emana de estos números uno en el plano ( el de oro) y otro en el espacio (el de plástico).

La Proporción Plástica del espacio fue estudiada por el arquitecto holandés Dom Hans van der Laan


Número de plástico y la obra de Van der Laan

Padovan atribuye el descubrimiento del número de plástico al arquitecto holandés Dom Hans van der Laan ( parece ser que el estudiante francés de arquitectura Gérard Cordonnier, también descubre simultáneamente este número al que bautizó como número radiante) .

Dom Hans van der Laan, (1904-1991) , estudió arquitectura en Delft (Holanda).
En 1927 se hizo monje benedictino en la abadía de Oosterhout, donde proyectó en 1938, una ampliación de dicha abadía.

Sus estudios sobre proporciones en las iglesias del Románico le llevan a encontrar en muchas de ellas una relación con la sucesión de Padovan y desarrolla un sistema de proporciones que tienen como base el número de plástico y que aplicará en sus construcciones.

En la construcción de la iglesia de la abadía de Saint Benedictusberg (acabada en 1968) en la ciudad de Vaals (Holanda) van der Laan pone en práctica todos sus estudios sobre la utilización del número de plástico en la arquitectura.

En esta iglesia, empleó las proporciones del número plástico como guía para crear el espacio que andaba buscando y “construir un orden artificial, lógico semejante al orden natural, compatible con él, más aún, que lo refuerce y complete”.

Realizó pocas obras y casi todas religiosas (tres conventos, un monasterio, una capilla y una casa privada)
En 1977 publicó su único trabajo en vida, El espacio arquitectónico, donde expone sus teorías sobre arquitectura.

“El arquitecto, nadie lo negará, es un hombre continuamente ocupado de medidas y números” escribía van der Laan y la primera medida vendría dada por la mente que busca ese número inicial, un número que sea capaz de suscitar belleza, orden, armonía. Capaz de reflejar exactamente lo que buscamos en cada momento. Un “número propiamente arquitectónico”: El número plástico, que nos indica la proporción geométrica ideal en la que se debe fundamentar todos los objetos espaciales.

Van der Laaan no sólo propone que este número sea una norma para determinar las medidas para que un edificio pueda ser armónico, sino que sirva de base para proponer nuevos estudios sobre las leyes de la arquitectura.

Afirma que sólo dándole prioridad al “número arquitectónico” y reflexionando sobre él, se podrá resolver de forma correcta el problema de la forma y el espacio en la arquitectura contemporánea.

Este número sería el número de plástico.

Su máxima en la construcción fue procurar “Que la armonía entre la pared que separa y el espacio separado dependen de proporciones mutuas , que hablan a la inteligencia mediante el lenguaje objetivo del número de plástico” .
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Esta entrada participa en la edición 3.1. del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión este mes es Scientia potentia est

Sangaku: matemática japonesa

        El nombre de Sangaku o San Gaku , se refiere a unas tablillas de madera en las que se grababan problemas matemáticos, principalmente geométricos, y que creadas durante el periodo Edo (1603-1867) en Japón.

        Durante este periodo, Japón, se encontraba aislado del mundo occidental, fue periodo en el que no mantuvo ninguna relación ni con el pensamiento, ni con las ideas científicas, ni matemáticas desarrolladas en occidente.

        Los Sangaku eran unas tablillas de madera que contenían problemas, principalmente de geometría, con figuras de vivos colores, que es lo que llama más la atención y que colgaban en los santuarios sintoístas y templos budistas como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y visitantes para encontrar su solución.

        La pretensión de los matemáticos japoneses era que con la contemplación de estas tablillas se llegara a una percepción estética, que nos hiciera sentir la existencia de una armonía y que nos llevara a poner en funcionamiento la razón para intentar explicar dicha armonía.

        Muchas de estas tablillas se perdieron. En la actualidad se conservan pocas más de 800. La tablilla Sangaku más antigua que se conserva es del año 1686 en Tochigi.

        Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas Sangaku, en 1789, y una segunda parte en el año de 1806.

        En 1989 el matemático japonés H. Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.

        La mayoría de los sangaku tratan de la geometría euclidiana y más específicamente sobre triángulos, cuadrados, círculos, elipses, esferas, figuras inscritas en otras figuras. 

        También , podemos encontrar, cálculo de volúmenes de distintos cuerpos geométricos, para lo que se requiere el cálculo integral.

        Encontramos también, sangakus que tratan sobre ecuaciones diofánticas, además de problemas algebraicos y aritméticos.

        Gran parte de los problemas entrarían en la categoría de matemáticas recreativas o educativa pero algunos son versiones japonesas de teoremas como

        1.- El Teorema de Malfatti ( inscribir tres círculos en un triángulo de modo que todos los círculos sean tangentes entre sí y también tangentes, cada uno, a dos lados del triángulo),

        2.- El Teorema de Casey (nos da una condición necesaria y suficiente para que cuatro circunferencias sean tangentes a una quinta circunferencia, generaliza el teorema de Ptolomeo).

        3.- El Teorema de los círculos tangentes de Descartes, también llamado "fórmula de Descartes" ( en la que halla le relación entre los radios de cuatro círculos , todos tangentes entre sí. ) y

        4.- El Teorema de Soddy ( tres circunferencias tangentes entre sí, sólo tienen dos circunferencias, tangentes a las tres, que luego generalizó a esferas).

    Ejemplos de Sangakus:

        Hemos elegido 13 sangakus, para hacernos una idea de qué tipo de problemas se encontraban en esas tablillas. También hemos puesto la solución, para animaros a intentar resolverlos por vuestra cuenta.

        Algunos de los 10 primeros sangakus se podrían intentar resolver en una clase de secundaria, los tres últimos tienen la categoría de teoremas.

- Cinco Sagakus ( 1 a 5 ).

- Más sangakus (6 al 10 ).

- Tres últimos sangakus (11,12 y 13).

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Esta entrada participa en la edición 2.X. del Carnaval de Matemáticas. Esta edición tiene como blog anfitrión al blog Resistencia Numantina.

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Cinco sangakus ( del 1 al 5)

Veamos los primeros cinco sangakus que hemos elegido

Sangaku nº 1

        Proviene de la prefectura de Gumma en 1824.

    Enunciado: Tres circunferencias tangentes entre sí y tangentes a una recta como se ve en la figura.

        Se pide determinar el radio de la circunferencia más pequeña (en gris de radio t) conocidos los radios de las otras dos circunferencias ( azul de radio r y verde de radio s)

Damos la relación, solución,  entre los radios.

Sangaku nº 2:

Enunciado: En una circunferencia inscribimos un triángulo rectángulo.

Trazamos tres círculos tangentes a los lados del triángulo y a la circunferencia exterior.

        Encuentra la relación entre los radios R1 (círculo rojo) , R2 (círculo verde) y R3 (círculo amarillo) de los tres círculos inscritos respectivamente entre la hipotenusa, cateto vertical y cateto horizontal y la circunferencia.

Esa relación viene dada por la expresión:

¿serias capaz de hallarla?

Sangaku nº 3: 

        Curioso problema escrito en una tablilla en la prefectura de Miyagi en 1913.

        Enunciado: Tres cuadrados azules se trazan según la figura adjunta, dentro de un triángulo rectángulo.

Trazamos, luego, tres círculos tangentes.

                ¿Qué relación hay entre los radios de los tres círculos verdes?

Sangaku nº 4:

    Hallado en la prefectura de Gumma en 1803.

Enunciado: Tenemos un círculo C3 que contiene

    1.- Un círculo C1(rojo) cuyo centro est á en el diámetro del círculo C3 y del que es tangente interior.

    2.- Un triángulo isósceles T (azul) cuya base está en el diámetro de C3.

    3.- Un círculo C2(verde) tangente exterior a T y C1 y tangente interior a C3.

        Entonces, el segmento desde el centro de C2 y el punto donde  T y C1 se cortan es perpendicular al diámetro.


Sangaku nº 5:

Enunciado: Tenemos un triángulo equilátero de lado l y dentro de él, dos círculos, con el mismo radio, inscritos entre el triángulo equilátero y los dos segmentos.

    Halla la relación entre el radio de los círculos, r, y el lado del triángulo, l.

Otros cinco sangakus ( del 6 al 10)

Sangaku nº 6

Enunciado: En un triángulo rectángulo inscribimos :

        Un triángulo equilátero, un cuadrado y un círculo tangente a las tres figuras anteriores.

        Encuentra la relación entre el lado del triángulo equilátero l y el cateto vertical c




Sangaku nº 7:

Enunciado: En un cuadrado de lado l, trazamos sobre los vértices de la base dos arcos de circunferencia de radio l, hasta los vértices superiores.

    Trazamos dos círculos tangentes al lado del cuadrado y esos dos arcos.

    Encuentra la relación entre el radio R del círculo grande (azul) y el lado del cuadrado.

    Así mismo, halla la relación entre el radio r del círculo pequeño (verde) y el lado del cuadrado l.





Sangaku 8

        Enunciado: En un círculo de radio A trazamos una cuerda, dos círculos pequeños (verdes) del mismo radio r y otro círculo inscrito de radio R (rojo).

    Encuentra el valor del radio r, de los círculos pequeños, en función del radio R y de A




Sangaku nº 9:

Enunciado: Trazamos dos sectores de círculos concéntricos tales que el radio del mayor sea el doble del radio del menor.

Y dentro de él :

    Inscribimos los círculos de la figura.

    La figura es simétrica respecto un eje vertical que pasa por el centro de los sectores.

    Encuentra la razón entre los radios de los círculos más pequeños r y R (Azules y rojos)


Sangaku nº 10


        Tenemos cinco círculos inscritos en una circunferencia de radio R del modo que se indica en la figura.

        Los tres círculos pequeños (azules) tienen el mismo radio, r, y los dos más grandes (verdes) tienen, también el mismo radio.

        Halla la relación entre R, radio del círculo mayor, y r

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Tres interesantes sangakus (del 11 al 13)

Sangaku nº 11 . “Primer Teorema Japonés”.
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Llamado también “Primer Teorema de Mikami-Kobayashi” y dice:

        "Si en una circunferencia de radio r inscribimos un polígono convexo de n lados y desde un vértice cualquiera trazamos todas las diagonales que parten de ese punto. La suma de los radios de todas las circunferencias inscritas en los triángulos formados es independiente de la triangulación elegida, es decir, del vértice que elijamos para realizar la triangulación”.

        Veamos el enunciado en una figura:

1.- Construimos un hexágono inscrito en un círculo.

2.- Hacemos una triangulación desde A ( figura de la izquierda) y otra desde F (figura de la derecha).

3.- Inscribimos en cada triángulo obtenido un círculo-

        Entonces por este teorema la suma de los radios de los cuatro círculos de la figura de la derecha coincide con la suma de los radios de los cuatro círculos de la izquierda.

        La pista para su demostración es utilización del Teorema de Carnot en cada uno de los triángulos inscrito en el polígono.

        Teorema de Carnot: En un triángulo cualquiera trazo la circunferencia inscrita y la circunscrita, entonces la suma de las distancias del circuncentro a los tres lados es igual a la suma de los radios de las dos circunferencias.


Sangaku nº 12 "Segundo teorema de Mikami-Kobayashi”

También llamado Segundo Teorema Japonés, este teorema nos dice:

"Si unir los incentros de los triángulos formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia la figura que se obtiene es un rectángulo".

Si miramos la figura:

    1.- Inscribo un cuadrilátero ABCD en una circunferencia, obtengo cuatro triángulos: ADC, DCB, CBA y BAD.

    2.- Hallo los incentros de cada uno de estos triángulos, que equivale a hallar los centros de las circunferencias inscritas en cada uno de los triángulos.

    3.- Uniendo dichos centros a, b, c y d la figura que se obtiene es un rectángulo


        La idea básica de la demostración es probar que los ángulos del cuadrilátero formado por los incentros son rectos y por lo tanto es un rectángulo.


Sangaku nº 13 Collar de esferas o Collar de Soddy

        Este problema de la prefectura de Kanagawa de 1822 colgado en el santuario de Kōzagun por Yazawa Hiroatsu, se anticipa en más de cien años al trabajo del químico Frederick Soddy (1877-1956) premio Nobel de Química en 1921 .

    Si tenemos dos esferas A y B ( roja y naranja) tangentes entre sí, que están inscritas en una gran esfera C.

        El problema es determinar el número de esferas que forman el collar, o sea, esferas de distintos tamaños tangentes a las dos que están a su lado y a las tres esferas dadas A B y C.

        Además se pide encontrar los radios de las esferas que forman el collar en función de los radios de A, B y C.

        La solución viene dada por el teorema del Sexteto de Soddy (1937) y la respuesta es que sólo habrá  6 esferas.

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