Sangaku: matemática japonesa

        El nombre de Sangaku o San Gaku , se refiere a unas tablillas de madera en las que se grababan problemas matemáticos, principalmente geométricos, y que creadas durante el periodo Edo (1603-1867) en Japón.

        Durante este periodo, Japón, se encontraba aislado del mundo occidental, fue periodo en el que no mantuvo ninguna relación ni con el pensamiento, ni con las ideas científicas, ni matemáticas desarrolladas en occidente.

        Los Sangaku eran unas tablillas de madera que contenían problemas, principalmente de geometría, con figuras de vivos colores, que es lo que llama más la atención y que colgaban en los santuarios sintoístas y templos budistas como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y visitantes para encontrar su solución.

        La pretensión de los matemáticos japoneses era que con la contemplación de estas tablillas se llegara a una percepción estética, que nos hiciera sentir la existencia de una armonía y que nos llevara a poner en funcionamiento la razón para intentar explicar dicha armonía.

        Muchas de estas tablillas se perdieron. En la actualidad se conservan pocas más de 800. La tablilla Sangaku más antigua que se conserva es del año 1686 en Tochigi.

        Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas Sangaku, en 1789, y una segunda parte en el año de 1806.

        En 1989 el matemático japonés H. Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.

        La mayoría de los sangaku tratan de la geometría euclidiana y más específicamente sobre triángulos, cuadrados, círculos, elipses, esferas, figuras inscritas en otras figuras. 

        También , podemos encontrar, cálculo de volúmenes de distintos cuerpos geométricos, para lo que se requiere el cálculo integral.

        Encontramos también, sangakus que tratan sobre ecuaciones diofánticas, además de problemas algebraicos y aritméticos.

        Gran parte de los problemas entrarían en la categoría de matemáticas recreativas o educativa pero algunos son versiones japonesas de teoremas como

        1.- El Teorema de Malfatti ( inscribir tres círculos en un triángulo de modo que todos los círculos sean tangentes entre sí y también tangentes, cada uno, a dos lados del triángulo),

        2.- El Teorema de Casey (nos da una condición necesaria y suficiente para que cuatro circunferencias sean tangentes a una quinta circunferencia, generaliza el teorema de Ptolomeo).

        3.- El Teorema de los círculos tangentes de Descartes, también llamado "fórmula de Descartes" ( en la que halla le relación entre los radios de cuatro círculos , todos tangentes entre sí. ) y

        4.- El Teorema de Soddy ( tres circunferencias tangentes entre sí, sólo tienen dos circunferencias, tangentes a las tres, que luego generalizó a esferas).

    Ejemplos de Sangakus:

        Hemos elegido 13 sangakus, para hacernos una idea de qué tipo de problemas se encontraban en esas tablillas. También hemos puesto la solución, para animaros a intentar resolverlos por vuestra cuenta.

        Algunos de los 10 primeros sangakus se podrían intentar resolver en una clase de secundaria, los tres últimos tienen la categoría de teoremas.

- Cinco Sagakus ( 1 a 5 ).

- Más sangakus (6 al 10 ).

- Tres últimos sangakus (11,12 y 13).

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Esta entrada participa en la edición 2.X. del Carnaval de Matemáticas. Esta edición tiene como blog anfitrión al blog Resistencia Numantina.

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Cinco sangakus ( del 1 al 5)

Veamos los primeros cinco sangakus que hemos elegido

Sangaku nº 1

        Proviene de la prefectura de Gumma en 1824.

    Enunciado: Tres circunferencias tangentes entre sí y tangentes a una recta como se ve en la figura.

        Se pide determinar el radio de la circunferencia más pequeña (en gris de radio t) conocidos los radios de las otras dos circunferencias ( azul de radio r y verde de radio s)

Damos la relación, solución,  entre los radios.

Sangaku nº 2:

Enunciado: En una circunferencia inscribimos un triángulo rectángulo.

Trazamos tres círculos tangentes a los lados del triángulo y a la circunferencia exterior.

        Encuentra la relación entre los radios R1 (círculo rojo) , R2 (círculo verde) y R3 (círculo amarillo) de los tres círculos inscritos respectivamente entre la hipotenusa, cateto vertical y cateto horizontal y la circunferencia.

Esa relación viene dada por la expresión:

¿serias capaz de hallarla?

Sangaku nº 3: 

        Curioso problema escrito en una tablilla en la prefectura de Miyagi en 1913.

        Enunciado: Tres cuadrados azules se trazan según la figura adjunta, dentro de un triángulo rectángulo.

Trazamos, luego, tres círculos tangentes.

                ¿Qué relación hay entre los radios de los tres círculos verdes?

Sangaku nº 4:

    Hallado en la prefectura de Gumma en 1803.

Enunciado: Tenemos un círculo C3 que contiene

    1.- Un círculo C1(rojo) cuyo centro est á en el diámetro del círculo C3 y del que es tangente interior.

    2.- Un triángulo isósceles T (azul) cuya base está en el diámetro de C3.

    3.- Un círculo C2(verde) tangente exterior a T y C1 y tangente interior a C3.

        Entonces, el segmento desde el centro de C2 y el punto donde  T y C1 se cortan es perpendicular al diámetro.


Sangaku nº 5:

Enunciado: Tenemos un triángulo equilátero de lado l y dentro de él, dos círculos, con el mismo radio, inscritos entre el triángulo equilátero y los dos segmentos.

    Halla la relación entre el radio de los círculos, r, y el lado del triángulo, l.

Otros cinco sangakus ( del 6 al 10)

Sangaku nº 6

Enunciado: En un triángulo rectángulo inscribimos :

        Un triángulo equilátero, un cuadrado y un círculo tangente a las tres figuras anteriores.

        Encuentra la relación entre el lado del triángulo equilátero l y el cateto vertical c




Sangaku nº 7:

Enunciado: En un cuadrado de lado l, trazamos sobre los vértices de la base dos arcos de circunferencia de radio l, hasta los vértices superiores.

    Trazamos dos círculos tangentes al lado del cuadrado y esos dos arcos.

    Encuentra la relación entre el radio R del círculo grande (azul) y el lado del cuadrado.

    Así mismo, halla la relación entre el radio r del círculo pequeño (verde) y el lado del cuadrado l.





Sangaku 8

        Enunciado: En un círculo de radio A trazamos una cuerda, dos círculos pequeños (verdes) del mismo radio r y otro círculo inscrito de radio R (rojo).

    Encuentra el valor del radio r, de los círculos pequeños, en función del radio R y de A




Sangaku nº 9:

Enunciado: Trazamos dos sectores de círculos concéntricos tales que el radio del mayor sea el doble del radio del menor.

Y dentro de él :

    Inscribimos los círculos de la figura.

    La figura es simétrica respecto un eje vertical que pasa por el centro de los sectores.

    Encuentra la razón entre los radios de los círculos más pequeños r y R (Azules y rojos)


Sangaku nº 10


        Tenemos cinco círculos inscritos en una circunferencia de radio R del modo que se indica en la figura.

        Los tres círculos pequeños (azules) tienen el mismo radio, r, y los dos más grandes (verdes) tienen, también el mismo radio.

        Halla la relación entre R, radio del círculo mayor, y r

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Tres interesantes sangakus (del 11 al 13)

Sangaku nº 11 . “Primer Teorema Japonés”.
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Llamado también “Primer Teorema de Mikami-Kobayashi” y dice:

        "Si en una circunferencia de radio r inscribimos un polígono convexo de n lados y desde un vértice cualquiera trazamos todas las diagonales que parten de ese punto. La suma de los radios de todas las circunferencias inscritas en los triángulos formados es independiente de la triangulación elegida, es decir, del vértice que elijamos para realizar la triangulación”.

        Veamos el enunciado en una figura:

1.- Construimos un hexágono inscrito en un círculo.

2.- Hacemos una triangulación desde A ( figura de la izquierda) y otra desde F (figura de la derecha).

3.- Inscribimos en cada triángulo obtenido un círculo-

        Entonces por este teorema la suma de los radios de los cuatro círculos de la figura de la derecha coincide con la suma de los radios de los cuatro círculos de la izquierda.

        La pista para su demostración es utilización del Teorema de Carnot en cada uno de los triángulos inscrito en el polígono.

        Teorema de Carnot: En un triángulo cualquiera trazo la circunferencia inscrita y la circunscrita, entonces la suma de las distancias del circuncentro a los tres lados es igual a la suma de los radios de las dos circunferencias.


Sangaku nº 12 "Segundo teorema de Mikami-Kobayashi”

También llamado Segundo Teorema Japonés, este teorema nos dice:

"Si unir los incentros de los triángulos formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia la figura que se obtiene es un rectángulo".

Si miramos la figura:

    1.- Inscribo un cuadrilátero ABCD en una circunferencia, obtengo cuatro triángulos: ADC, DCB, CBA y BAD.

    2.- Hallo los incentros de cada uno de estos triángulos, que equivale a hallar los centros de las circunferencias inscritas en cada uno de los triángulos.

    3.- Uniendo dichos centros a, b, c y d la figura que se obtiene es un rectángulo


        La idea básica de la demostración es probar que los ángulos del cuadrilátero formado por los incentros son rectos y por lo tanto es un rectángulo.


Sangaku nº 13 Collar de esferas o Collar de Soddy

        Este problema de la prefectura de Kanagawa de 1822 colgado en el santuario de Kōzagun por Yazawa Hiroatsu, se anticipa en más de cien años al trabajo del químico Frederick Soddy (1877-1956) premio Nobel de Química en 1921 .

    Si tenemos dos esferas A y B ( roja y naranja) tangentes entre sí, que están inscritas en una gran esfera C.

        El problema es determinar el número de esferas que forman el collar, o sea, esferas de distintos tamaños tangentes a las dos que están a su lado y a las tres esferas dadas A B y C.

        Además se pide encontrar los radios de las esferas que forman el collar en función de los radios de A, B y C.

        La solución viene dada por el teorema del Sexteto de Soddy (1937) y la respuesta es que sólo habrá  6 esferas.

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Persistencia de la Geometría. Exposición en Madrid

Desde el 16 de diciembre hasta el 25 de marzo de 2012 podemos admirar en en CaixaForum, Madrid, la exposición titulada La persistencia de la geometría, en la que se hace un recorrido que explora el uso de las formas geométricas en el arte del siglo XX, siglo en que la geometría ha sido compañera inseparable del arte de vanguardia.

La geometría nunca ha dejado de estar presente en el arte, aunque ha sido en el siglo XX cuando más se ha teorizado sobre su uso.
En las primeras décadas estuvo íntimamente ligada a los conceptos de abstracción y modernidad, y fue vehículo de idealismos y utopías, su empleo facilitó el alejamiento de la representación de la realidad y alentó a crear un nuevo lenguaje visual que encarnara las ideas de belleza perfección y armonía.
A mitad de siglo, las obras que caen bajo las categorías del minimalismo, posminimalismo y arte conceptual comparten la necesidad de reducir la obra a una forma elemental (cubo, círculo, etc.), un sistema matemático (retícula, serialidad) o un gesto repetitivo. Sus artífices purgaron el arte abstracto de contenidos simbólicos y lo bajaron del pedestal idealista para situarlo al mismo nivel que las cosas del mundo.
En la época de los 60 las formas geométricas de la escultura se extendieron a otras prácticas- que abarcaban instalaciones, películas, vídeos y fotografías- con las que exploraron distintos aspectos de la construcción de la obra de arte: su naturaleza performativa, el proceso, las propiedades de luz, el carácter temporal de la percepción…
A partir de entonces y hasta la actualidad, los caminos de la geometría se despliegan en diferentes propuestas para adentrarse tanto en lo sensorial como a una reflexión de índole cultural, y adquirir una dimensión social y política.


LA EXPOSICIÓN: Persistencia de la Geometría

La exposición muestra que la geometría ha sido en todas las épocas un símbolo de pureza, inteligencia y perfección, y que en la época actual su presencia condiciona toda nuestra vida, tanto en la realidad física del espacio urbano y los productos industriales, como en las pantallas que nos trasladan a la virtualidad del ciberespacio.

La geometría ha proporcionado, en estas últimas décadas, formalizaciones a un amplio espectro de prácticas artísticas.

En esta exposición encontramos una selección de 96 obras de 31 artistas procedentes de las colecciones del (Museo de Arte Contemporáneo de Barcelona) MACBA y de la Fundación ”la Caixa”.
Se presentan siete aspectos de la geometría:
1.-Formas esenciales: que partir de un vocabulario esencial de formas geométricas silencia la expresión emocional del artista y se centra en su propia materialidad y forma con obras de Hans Haacke, Donald Judd, Richard Long, James Turrell
2.- Geometría en acción, la geometría se entiende como algo en constante transformación interactuando con el espacio hay obras de Eleanor Antin, Bruce Nauman, Angels Ribé, Francesc Torres,..
3.- Dibujar el espacio, la línea es la unidad básica a partir de la cual se crean nuevas estructuras con obras de Armando Andrade, Waltercio Caldas, León Ferrari, Gego,…
4.- Geometría Poética, con un acercamiento a los ideales de orden y perfección a partir de los componentes básicos de la pintura: el color, la forma, la luz y la textura. Con la obra de Ettore Spalletti.
5.- Minimalismo en expansión, utilizando formas geométricas sencillas y repeticiones modulares dotan de un nuevo sentido a las formas del minimalismo con obras de Absalon, Sergi Aguilar, Jordi Colomer, Rodney Graham, Pello Irazu,…
6.- Estrategias geométricas la obra expuesta de Damián Ortega se desvincula las formas geométricas del idealismo y las convierte en protagonista de una narración.
7.- Intersecciones en arquitectura, exploración de la arquitectura a partir de la geometría y su papel en la organización de los espacios tanto privados como públicos. Con obras de Mat Mullican, David Maljkovic Dan Grahamm..