Dos problemas de dinámica ( propuestos por el profesor del centro Luis Suárez de "su Perelman")

Dos situaciones de espacios, tiempos y velocidades ¿ cómo las resuelves?

Situación 1 :Un esquiador calculó que si se deslizaba a 10 km/hora, llegaría al albergue alpino una hora después de mediodia ( 12:00 p.m.); y si se deslizara a una velocidad de 15 km/hora llegaría una hora antes del mediodía.
¿ A qué velocidad debe ir para llegar a dicho albergue exactamente a mediodía?

Situación 2: Un joven y un anciano viven en la misma casa y deben ir todos los días al ayuntamiento del pueblo. El joven tarda 20 minutos, y el anciano tarda en hacer el mismo trayecto 30 minutos.
¿ En cuántos minutos alcanzará el joven al anciano, si este sale de casa cinco minutos antes que el joven?

(Ir a la solución )

¿Matemáticas para ganar la Eurocopa-2008?

Forges en esta viñeta publicada ayer, 18 de mayo, nos descubre la fórmula que demuestra por qué la Selección Española de Fútbol nunca pasa de cuartos de final en ningún campeonato y se tiene que ir PA·K·SA antes de tiempo.
Pero, en esta ocasión, hemos observado un error en el desarrollo de la fórmula. El cual nos permite asegurar que en la Eurocopa-2008, que se celebrará este verano en Austria y Suiza, la Selección Española pasará de cuartos y será ¡¡CAMPEONA!!
(Intenta descubrir ese error).

Silvestre II: Papa y Matemático

Hoy 12 de mayo hace 1005 años murió Geberto de Aurillac que fue  Papa-matemático con el nombre de Silvestre II entre abril de 999 y mayo de 1003. Fue el Papa del primer milenio

Estatua en Aurillac de Silvestre II

Había nacido en 945 en Aurillac, en la región Auvernia, se sabe que entre el 967 y 969, a instancias del conde de Barcelona  Borrell II y del obispo de Vic, Atón,  estuvo en el Monasterio de Ripoll, perteneciente a la Marca Hispánica.  estudiando  aritmética, geometría, música y astronomía (Cuadrivium).

        Durante  este tiempo conoció  la matemática y astronomía de los árabes y estuvo en contacto con sabios e intelectuales, musulmanes, judíos y cristianos de aquella época, además tuvo acceso a los libros de la Gran Biblioteca que el califa Alhaken II fundó en Córdoba, incluso se cuenta que viajó hasta dicha ciudad disfrazado  para poder consultarlos.

        En esta imagen se ve la placa que figura a la derecha, en el atrio del Monasterio de Ripoll, en la que se recuerda el paso por ese monasterio del monje Geberto de Aurillac (foto de Sacit Ámetam)

Placa en el atrio de Monasterio de Ripoll

        Todo esto permitió que adquiriera una vasta y sólida formación científica: desde la matemática y la astronomía hasta la alquimia y la música.

 

Monasterio de Ripoll

        Fue el primer matemático en difundir en occidente las cifras árabes y el sistema indo-arábigo de numeración decimal posicional que ya era utilizado por los árabes desde Al Kuwaritzmi.

        Elegido Papa en 999, fue el primer papa francés, impuso la utilización de este sistema a todos los clérigos de occidente, lo que llevó  a la propagación de este sistema y a facilitar las operaciones de multiplicar y dividir.

        Aunque tuvo un éxito relativo, pues en esta época, principios del siglo XI, hubo mucha reticencia y rechazo a esta numeración por parte del sector religioso más tradicional e intransigente que propugnaba:

 “¿A qué viene esta moda de escribir las cantidades con signos árabes? ¡Eso es cosa del diablo! Las cifras romanas son cristianas y hace siglos que se usan en la Iglesia, mientras que las arábigas vienen de infieles y no se pueden aceptar”. 

Astrolabio

A su muerte fue desechado el uso de este sistema de numeración por el clero y no fue hasta dos siglos más tarde, en el año 1202, en que se publicó el  Liber Abaci de Fibonaci, en que se acabó imponiendo el nuevo sistema poco a poco.

        También difundió y extendió  el uso del astrolabio, invento árabe, explicándolo en  su  Liber de utilitatibus astrolabii.

        Popularizó el ábaco, también de procedencia árabe, e inventó uno que lleva su nombre, ábaco de Geberto, con las fichas y alambres colocados ya  de diez en diez, que facilitaba las operaciones aritméticas escribiendo unas reglas para saber su utilización.

        También construyó relojes de agua, globos terráqueos, instrumentos de música como el monocorde con una cuerda de longitud variable con la que se medían las vibraciones sonoras y los intervalos musicales (tonos y semitonos).

Como curiosidad que entra en el plano de la leyenda

        Este Papa-mago del año 1000, por haber construido astrolabios, ábacos, además de globos terráqueos, relojes de agua, instrumentos de música como el monocorde, un reloj de ruedas dentadas, que introdujo el péndulo, y que utilizó un sistema taquigráfico, como lenguaje secreto encriptado, además de otros inventos.… Se le empezó a atribuir poderes esotéricos, y que todos estos conocimientos los había obtenido de oscuros personajes y herejes. 

        También empezó a correr el rumor de que había hecho un pacto con el diablo, quien a su vez le puso como guardiana a un súcubo (demonio femenino), este demonio que se enamoró de sus conocimientos y renunció a la inmortalidad, se hizo mujer y vivió en concubinato con el pontífice.

        La leyenda dice que una vez que murieron los dos fueron enterrados en la misma tumba en la catedral de San Juan de Letrán y que de su tumba emana un fluido con poderes afrodisiacos y rezuma humedad cuando va a fallecer un Pontífice.

 Entre la realidad y laleyenda es muy interesante profundizar un poco más en la vida de este Papa-Matemático-Mago-Nigromante como se le llamó, en aquella época.

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Códice Albeldensis o Vigila donde aparecen escritos por primera vez en Occidente los números indo-arábigos en 976

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Un balón de fútbol, ¿es una esfera perfecta?.

( Para los alumnos del centro que juegan al fútbol, en particular para los que juegan en el C.F. Boadilla y la EFMO Boadilla, también para los jugadores del Rayo Majadahonda.)

Si lo miramos con atención observamos que un balón está formado por piezas: 20 hexágonos y 12 pentágonos , todos regulares unidos entre sí, en total 32 caras.
La forma es un poliedro llamado icosaedro truncado. Este poliedro se obtiene al cortar los 12 vértices de un icosaedro (uno de los cinco poliedros regulares de Platón, formado por 20 triángulos equiláteros).
Los 12 pentágonos, corresponden a los 12 cortes de los vértices del icosaedro y los 20 hexágonos son las caras que quedan en el icosaedro.

¿ Este cuerpo es una buena aproximación a la esfera?

El volumen de este cuerpo es un 86,74 % de la esfera correspondiente, y al inflarlo este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 % lo que supone una buena aproximación a la esfera.
Hay, evidentemente, cuerpos geométricos con una mayor aproximación, pero o tienen muchas más caras o las piezas que lo forman son polígonos irregulares u otras formas curvas, lo que dificulta su fabricación o eleva sus costes, por lo que no se comercializan.
Un ejemplo es el balón que se utilizó en el Mundial de Alemania en el 2006 , El “Teamgeist” de la marca Adidas formado por piezas curvas parecidas a un 8.
El balón oficial de la Liga española 2007/2008 es el Nike Total 90 Aerow II que es un icosaedro truncado, aunque con una leve modificación: hay parejas de hexágonos unidos, donde está la marca del balón y el logo de la liga.

Ahora ¿ Serías capaz de averigüar cuántas aristas tiene un balón?¿y cuántos vértices?
Te recordamos la fórmula de Euler en un cuerpo geométrico se cumple que:
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nº caras + nº vértices = nº aristas + 2.
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Solución al problema propuesto de los náufragos, el mono y los plátanos

Publicado el 6 de marzo de 2008 (Ir al enunciado)

Vamos a dar dos métodos:

Primer método:( utilizamos álgebra sencilla)

Llamemos x al número de plátanos que recogen

a) Se despierta el primer náufrago:
a1) Le damos al mono 2 plátanos, nos quedan x - 2
a2) Se come la mitad , entonces quedan:

b) se despierta el segundo náufrago:
b1) Da dos plátanos al mono , quedan: b2) Divide en tres partes: en cada parte hay: b3) Se come dos partes y queda una, queda la misma fracción.

c) Se despiertan los tres:

c1) dividen entre tres los plátanos que hay, entonces a cada uno le toca:

Este número tiene que ser un número natural.

¿Qué valores puede tomar x para que dicha fracción sea un número natural? Pues: x = 24, x = 42, x = 60, ....

Si buscamos el menor entonces sería 24 plátanos

Segundo método:

El menor número que se pueden repartir es un plátano para cada uno, y de ahí "deshaciendo" los repartos llegaremos a saber cuantos recogieron, de la forma:

a) Como le tocó uno a cada uno, al despertarse había, entonces, tres plátanos.

b) Como el 2º náufrago dejó un tercio de plátanos después de darle 2 al mono, entonces, habría 9 plátanos más los dos del mono.Es decir, cuando despertó había 11 plátanos.

c) Éstos eran la mitad de los que se comió el primero, luego había 22 plátanos después que el primer náufrago diera dos plátanos al mono.

Entonces al despertar el primer náufrago había 24 plátanos.

Verdadera historia de las torres de Hanoi y método para contar todos los movimientos

Veamos cómo obtener la solución al artículo publicado el 04/03/08 >(Ir al artículo inicial)
Las Torres de Hanoi es un rompecabezas inventado por el matemático francés Édouard Lucas , en 1883.

Según se indica en la caja donde venía el juego, éste fue traído de Tonkin por el profesor N. Claus de Siam, mandarín de la Escuela de Li-Sou-Stian, (anagrama de Lucas d´Amiens de la escuela de Saint-Louis, de donde el matemático era profesor) y para añadir encanto e interés por el juego, Édouard Lucas, inventó la leyenda del templo de Benarés .

Veamos como se calcula el número de movimientos:

1.- Suponemos dos discos:
Si tenemos dos discos el a (pequeño) y el b (mayor) en las varilla 1 y debemos pasarlos a la varilla 3 los movimientos serían: a2-b3-a3 .

TOTAL: 3 movimientos ( dos al cuadrado menos 1)

2.- Suponemos tres discos:
Si tenemos tres discos a, b y c en la varilla 1 los movimientos serían a3-b2-a2-c3-a1-b3-a3 .

TOTAL: 7 movimientos (dos al cubo menos uno)

(Aprovechando el caso anterior: tres movimientos para pasar dos discos a la varilla 2 , un movimiento pasar el grande a la varilla 3 y tres movimientos para pasar los dos de la varilla dos a la varilla tres). ( 3 + 1 + 3 =7 movimientos )

3.- Suponemos 4 discos

Si tenemos 4 discos a, b, c y d en la varilla 1 los movimientos serían : a2-b3-a3-c2-a1-b2-a2-d3-a3-b1-a1-c3-a2-b3-a3. TOTAL 15 movimientos. ( dos a la cuarta menos uno)

( Aprovechando el caso 3, pasamos los tres discos de arriba de la varilla 1 a la varilla 2 ( 7 movimientos), luego el disco grande a la varilla 3 ( 1 movimiento) y por último los tres discos de la varilla 2 a la 3 (7 movimientos). (7 + 1 + 7 = 15 movimientos)

4.- Suponemos 5 discos:

Con 5 discos , utilizando el de 4 sería análogo 15+1+15 = 31 movimientos

TOTAL: 31 movimientos. ( dos a la quinta menos uno)

Y así......cuando tengamos 64 discos el número de movimientos necesario sería de dos elevado a la 64 menos uno que es 18.446.744.073.709.551.615 movimientos

¿ Cuántos años tardaría en llegar el fin del mundo?

Calculemos ahora cuántos años tardarían en realizarse todos esos movimientos suponiendo que si se hiciese cada movimiento en un segundo.
a) Aproximamos el número de movimientos por 18.446.744 x 10 elevado a la 12
b) Cada día tiene 86.400 segundos, cada año 365,24 días luego un año tiene 31.556.736 segundos.

c) Si dividimos el número de segundos total entre los que tiene un año obtendremos 0.58455815 años

d) ahora se multiplica por 10 a la 12 y que nos da 584.558.150.000 años es decir, casi 6 mil millones de siglos tardarían en resolver este rompecabezas.

Luego, debemos estar tranquilos por ahora.

Solución problemas del boletín nº 9

(problemas planteados en el boletín nº 9 Ir al enunciado)
1.- Una sucesión muy razonable

Cada fila se obtiene de la anterior al leer el número de números que tiene:

fila1 : 1 (un uno, que es la siguiente fila 1,1)

fila2: 1,1 (dos unos, la siguiente fila será 2,1)
fila 3: 2,1 ( un dos un uno que da la siguiente fila 1,2,1,1)

fila 4: 1,2,1,1 ( un uno un dos dos unos, la siguiente fila será 1,1,1,2,2,1,)

y así.....

fila 6: 1,3,1,1,2,2,2,1.
Leemos el número de los números de la última fila:
( un uno, un tres, dos unos, tres doses y un uno) y lo colocamos en la siguiente:
1,1,1,3,2,2,3,2,1,1.

2.- Unos caramelos muy liosos:
2.1. Sacamos un caramelo de la caja en que está el letrero de Menta y Fresa y lo miramos. ( en esa caja no están los mezclados, luego deben ser de un solo sabor)
a1) Si el que saco es de fresa, en esa caja hay caramelos de fresa, pongo su cartel .
ahora en la caja de donde he quitado el cartel de fresa pongo el otro letrero: Menta
y en la que estaba el cartel de Menta coloco el de Fresa y Menta.
a2) Si el que saco es de Menta (análogo) coloco Menta en esa caja, el cartel de Fresa lo coloco en la caja de donde he quitado el cartel de Menta. Y el de Menta y Fresa lo coloco en la caja donde estaba el cartel de Fresa.
Parece lioso pero no, Lo importante es que lo que pone el cartel no coincide con lo que hay en el interior.

3.- Una tribu del Amazonas

Lamaremos CU: cuchillo, CO: collar y L: lanza
Sabemos :

1) CO, L = E
2) L = CO, CU
3) E,E = CU, CU, CU

Pasos equivalentes que damos

a) Duplicamos el 1) entonces: CO, L, CO, L = E, E
b) La L que equivale a CO,CU la sustituyo en la igualdad a) quedará CO,( CO, CU), CO, (CO, CU) = E, E
c) Como E,E es CU,CU,CU por la igualdad 3), lo sustituyo en el 2º miembro de b) CO,CO,CU,CO,CO,CU = CU, CU, CU
d) Reduzco términos semejantes : CO, CO, CO, CO = CU ( quito dos CUs de cada miembro)
e) Luego cuatro COs equivalen a un CU.
f) Luego por 2) LANZA = CINCO COLLARES

Luego una lanza la debo cambiar por cinco collares

Michael Heller, matemático polaco Premio Templeton 2008

Michael Heller, matemático polaco y sacerdote católico, ha recibido el Premio Templeton 2008, el premio académico mejor dotado del mundo por un estudio que muestra cómo las matemáticas pueden ofrecer pruebas indirectas de la existencia de Dios.

El Premio Templeton 2008 fue anunciado el 17 de marzo en el Church Center de las Naciones Unidas en Nueva York y está dotado con 795.000 libras esterlinas (unos 1.170.000 euros) en metálico, su importe supera el del Premio Nobel y será entregado el 7 de mayo por el Príncipe Felipe de Edimburgo.

No han trascendido los detalles de la argumentación de Heller, que ha emitido un comunicado en el que en definitiva reflexiona acerca de la causalidad.

Las teorías de Heller no se centran tanto en ofrecer pruebas de la existencia de Dios como suscitar dudas acerca de la realidad.

Según explica Heller “Si preguntamos sobre la causa del universo deberíamos preguntar sobre la causa de las leyes matemáticas. Al hacerlo nos situamos en el gran plan maestro de Dios al pensar el Universo, ante la pregunta sobre la causalidad definitiva: ¿por qué existe algo en vez de no existir nada?”.

Para Heller " la ciencia no es sino un esfuerzo colectivo de la mente humana para leer la mente de Dios desde las preguntas de las cuales nosotros y el mundo parecemos estar hechos".

«Es evidente que para Heller la naturaleza matemática del mundo y su inteligibilidad por parte del ser humano constituye la evidencia circunstancial de la existencia de Dios», como nos asegura su colega Karol Musiol .

El Premio Templeton es un premio internacional, que se otorga desde 1972, a la investigación o los descubrimientos de realidades espirituales.