Solución al problema propuesto el 2 de noviembre

(Ir al enunciado)
La situación que tenemos es : Hay tres pastillas fuera de los frascos, 48 pastillas en el frasco A y 49 en el frasco B y debemos tomar exactamente una de cada frasco ¿Qué hacer?

SOLUCIÓN:

1.-Se saca un pastilla del frasco B (tendremos dos pastillas de cada frasco encima de la mesa).

2.- Se parten las cuatro pastillas por la mitad.

3.- Tomamos un mitad de cada una de las cuatro pastillas.

Así nos aseguramos de tomar una pastilla ( dos mitades) del frasco A y otra ( dos mitades) del frasco B

¿ curioso no ? ¿ lo habías adivinado?

Solución a los problemillas del 6 de noviembre

La solución a los cuatro problemas planteados por Marta Ranz el 6 de noviembre es:
(Ir al enunciado)

Problema 1.

a) Se ponen a contar los dos relojes a la vez.

b) Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos, le damos la vuelta.

c) Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos, le damos la vuelta (han pasado 7 minutos). ( en este momento, en el otro reloj hay 3 min. abajo y 1 arriba).

d) Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos, por segunda vez le damos la vuelta (han pasado 8 minutos) ( y el reloj de 7 minutos hay un min. abajo y 6 arriba) .

e) Le damos la vuelta, al reloj de 7 minutos ) una vez más.

f) Cuando se termine la arena, han transcurrido los 9 minutos.

Problema nº 2. Si una barra y media cuesta un euro y medio deducimos que una barra cuesta un euro, y media barra medio euro.

Luego siete barras y media cuestan siete euros y medio.

Problema nº 3. Es cierto si escribimos 5 x 4,20 = 21 y luego 21 + 2 = 23

Problema nº 4. Ninguna vieja y ninguna oveja va a Villavieja. A Villavieja el que va soy yo

MARAVILLA CARTOGRÁFICA ( Mapa de Ptolomeo , portada del boletín nº 7 )

Reproducción de la obra "Cosmographie" de 1482 de Ptolomeo, astónomo y geógrafo del siglo II, fue referente cartográfico en la Edad Media.

Robado en el verano de 2007 de la Biblioteca Nacional de Madrid, recuperado en Washington en noviembre del mismo año, por los servicios del FBI y devuelto a la Biblioteca Nacional.

Existen dos ejemplares en el mundo y ambos en España, el coloreado es único, ya que está realizado enpintura aguada.

CUADRADOS MÁGICOS ( Boletín nº 7 )

LOS CUADRADOS MÁGICOS: Un cuadrado mágico es la disposición de números naturales en un cuadrado, de forma tal que ” la suma de los números por columnas, filas o diagonales sea la misma " la constante mágica. Su orden es el número de filas










■ El cuadrado mágico de Alberto Durero, de orden 4, tallado en su obra Melancolía ( se encuentra encima de la cabeza y del ala izquierda del ángel ) está considerado el primero de las artes europeas, su constante mágica es 34, ( como se observa en la ampliación de la derecha )
Esa constante también se encuentra si sumas :
a) Las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado ( por rectas que unen los puntos medios de los lados)
b) Los números de las esquinas.
c) Los cuatro números centrales.
d) Los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última.
e) etc.
Siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.


■ En la fachada de la Pasión de la Sagrada Famila (Barcelona) , hay otro cuadrado mágico , de constante mágica 33, la edad de Jesucristo en la Pasión.
Es parecido al anterior aunque hay repeticiones numéricas .

Si visitáis Barcelona, no olvidéis buscarlo.

RESUELVE CUADRADOS MÁGICOS

Colocar los números del 1 al 9 en la tabla de 3x3 de la izquierda de manera que la suma de los números de cada fila, columna y diagonal dé siempre el mismo resultado, sin repetir ningún número

El Tratado de Tordesillas y las Matemáticas (boletín nº 7)

El artículo publicado en el Boletín Sacit Ámetam nº 7 correspondiente al mes de diciembre de 2007 es el artículo publicado en este blog el día 17 de octubre que titulamos: Los Reyes Católicos: suspenso en matemáticas y donde lo puedes leer.
Fue propuesto por Federico López Carrión profesor de matemáticas del IES profesor Máximo Trueba en el curso 2006/2007.
En la foto de la izquierda figura la primera página de dicho tratado

El artículo, también lo puedes ver pulsando aquí (publicado 17/10/07)

Cita en el Boletín nº 7

Cita publicada en el Boletín nº 7 de diciembre de 2007.

" Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar."

Hypatia (Alejandría 360 -415). Matemática y directora del Museo de Alejandría en 400 símbolo del ideal griego reunía sabiduría, belleza, raz´çon y pensamiento filosófico, además era mujer científica y con un papel político importante en su época.

MINI-MATES ( boletín nº 7 )

Los problemas propuestos en el boletín Sacit Ámetam nº 7 son los siguientes

Si no lo consigues, espera más o menos un mes y verás las soluciones en este blog ¡¡ ÁNIMO !!

( solución publicada el 3 de enero ) (Ir a la solución)

HYPATIA: Una de las primeras mujeres matemáticas ( 360-415 ) ( Boletín nº 7 )

Nació en Alejandría, entre el 355 y 370 d. C. y murió en el año 415,  era hija de Teón, matemático , astrónomo y profesor y director del Museo de Alejandría que se preocupó de darle una buena formación introduciéndola en los fundamentos de las matemáticas, astronomía y filosofía, en una época en que era impensable que una mujer se apartara del papel de esposa y madre.

Hypatia (355-370 a 415 d.C.)

 Centró sus investigaciones matemáticas en la geometría de Euclides ( 325 – 265 a.C.) y en la aritmética de Diofanto (200? - 284?d.C.). Fue autora de un libro sobre las cónicas de Apolonio ( 262 – 190 a.C. ) , muy leído entre los matemáticos, y de unas Tablas Astronómicas sobre movimientos de astros, muy utilizadas en aquella época.

Era defensora del heliocentrismo (teoría que defiende que la tierra gira alrededor del sol). Contribuyó a la invención del astrolabio ( instrumento antiguo para medir el ángulo entre el horizonte y una estrella o planeta.) y de diversos instrumentos de medición... .. como el higrómetro, el aerómetro, un aparato para destilar agua,....

Astrolabio

Viajó por Italia y Atenas donde perfeccionó sus conocimientos, y al volver a Alejandría fue profesora durante 20 años en el Museo, del que fue elegida su directora , alrededor del año 400.

Enseñó matemáticas, astronomía, lógica, filosofía,... de todas partes del mundo llegaban estudiantes para aprender de ella.

El Museo era una institución, centro del saber griego, con siete siglos de antigüedad , y era visto en aquella época como un importante foco de paganismo.

Hypatia era el símbolo del ideal griego porque reunía sabiduría, belleza, razón y pensamiento filosófico y además era una mujer científica y con un papel político importante.

Faro de Alejandría

En el año 412, siendo Cirilo ( 376 – 444), patriarca cristiano de Alejandría , luchador infatigable contra la herejía y el paganismo, el Museo sufrió un incendio.

Se generó un clima y un ambiente de odio y fanatismo hacia Hypatia, su directora, tachándola de hechicera y bruja pagana.

Tres años después fue asesinada por fanáticos religiosos ya que ella era partidaria del racionalismo científico griego en contra de las ideas religiosas del momento.

P.D.: En octubre de 2009 se estrenó en España la película Ágora del director Alejandro Amenábar sobre la vida de Hypatia que ganó 7 Premios Goya en su XXIV edición.

Fotograma de Ágora protagonizada por Raqhel Weisz como Hypatia.

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¡¡ HA SALIDO YA EL BOLETÍN Nº 7 !!

Acaba de editarse el boletín nº 7 de Sacit Ámetam, en él podremos leer :

a) La biografía de Hypatia, una de las primeras mujeres matemáticas de la historia.

b) Un artículo sobre las matemáticas y el Tratado de Tordesillas.

c) Cuadrados mágicos en el arte ( grabados y arquitectura).

d) y unos problemillas de ingenio.

¡¡Hazte con uno de ellos !!
Descárgatelo en PDF pulsando en la portada del boletín 7 de la Página de Inicio de los boletines.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA NAVEGACIÓN: 499 cumpleaños del matemático y navegante Andrés de Urdaneta

Hoy 30 de noviembre, como vemos en la viñeta de Forges publicada en El País, Andrés de Urdaneta, matemático, científico, geógrafo, navegante, ... celebra su 499 cumpleaños.

¡¡¡ FELICIDADES!!!

Andrés de Urdaneta, nació en Ordizia el 30 de noviembre de 1508, recibió una esmerada educación, especialmente en ciencias exactas, además de otras disciplinas. Con sólo 17 años embarcó por primera vez.
El 24 de septiembre de 1559 Felipe II ordenó establecer una ruta estable entre México y Filipinas, en la primera expedición iba Andrés de Urdaneta como experto náutico y científico.
Para consolidar el dominio de Filipinas era necesario tener una ruta de vuelta desde Filipinas atravesando el Pacífico hasta Nueva España ( México). Cinco intentos anteriores de tornaviaje habían fracasado y Urdaneta era el hombre clave para resolver el desafío.
La expedición de ida zarpa, al mando de Legazpi, el 21 de noviembre de 1564 del puerto de La Navidad, en Nueva España siguiendo una de las tres alternativas propuestas por Urdaneta. Urdaneta dio pruebas sobradas de la precisión de sus cálculos y su conocimiento del inmenso Pacífico, llegaron a las islas Filipinas el 13 de febrero.
El regreso de Filipinas a México en 1565 marcó un hito en la historia de la navegación. Se trataba del viaje más largo, 7.644 millas, navegando por una ruta desconocida, de los realizados hasta entonces. Se inició el 1 de junio de 1565 y gracias a los conocimientos matemáticos aplicados a la navegación de Andrés de Urdaneta, se culminó con éxito el 8 de octubre de 1565 fue llamada la "Ruta de Urdaneta" o el "Tornaviaje"
No sólo se deshizo el extendido mito de su imposibilidad, sino que fue un tornaviaje rápido y sin contratiempos, en el que nada se improvisó. Los frutos directos de aquel viaje perduraron hasta marzo de 1815 en que zarpó el último galeón de Manila; los indirectos, se siguen materializando en una de las principales rutas marítimas del mundo moderno.

Problema de Einstein ( propuesto por Daniel Nicolás alumno de 3º de la ESO)

Albert Einstein fue quien propuso este problema, y mostró su convencimiento de que no más del 2% de la población del mundo podría resolverlo. Demuestra que estás dentro del 98% restante.

Condiciones iniciales:
- Tenemos cinco casas, cada una de un color.
- Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente.
- Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen una mascota diferente.
- Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

Condiciones:

1.- El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul.
2.- El que vive en la casa del centro toma leche.
3.- El inglés vive en la casa roja.
4.- La mascota del sueco es un perro.
5.- El danés bebe té.
6.- La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.
7.- El de la casa verde toma café.
8.- El que fuma Pall-Mall cría pájaros.
9.- El de la casa amarilla fuma Dunhill.
10.- El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos.
11.- El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill.
12.- El que fuma BlueMaster bebe cerveza.
13.- El alemán fuma Prince.
14.- El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

¿Quié tiene a los peces como mascota?

Puedes utilizar una tabla como la siguiente para saber en qué lado estás: si al lado del 2 % o al lado del 98 % ( la solución la pondremos en el blog dentro de un mes aproximadamente)




Mándanos tus soluciones a la dirección que figura al final del margen derecho del blog

una pista para su solución publicada el 7 de enero de 2008 ( Ir a la pista)

la solución final publicada el 7 de febrero de 2008 (Ir a la solución )

Solución al problema del peregrino del 18 de octubre

(Ir al enunciado)
Podemos resolver este problema. al menos, de dos formas:
Una por medio del Álgebra y otra "deshaciendo, hacia atrás" el problema.

1.1.- UTILIZANDO ÁLGEBRA

Llamamos x al dinero que lleva el peregrino al comienzo del camino y veamos qué pasa con esa x ( los reales que lleva al principio ) después de visitar las tres ermitas.

1.1.- Al inicio tengo x reales

1.2.- En la primera ermita se le dobla el dinero ( 2·x ) y se le resta 20 que deja de limosna.

1.3.- Al salir de la ermita tiene ( 2·x - 20 )reales

1.4.- en la segunda ermita se le dobla el dinero 2 · ( 2·x - 20 ) = 4 ·x - 40 y le restamos 20 reales de limosna 4·x - 40 - 20

1.5.- Al salir de la ermita lleva (4·x - 60) reales

1.6.- Última ermita: se le dobla el dinero 2·( 4·x - 60) = 8·x - 120 y le resto 20 reales: 8·x - 120 - 20.

1.7.- Al salir lleva ( 8 ·x - 140 ) reales que es precisamente 0 reales, pues, la bolsa está vacía.

Nos queda la ecuación 8·x - 140 = 0 despejamos x y queda 8x = 140. de donde x = 17,50 reales que es la solución

EL PEREGRINO LLEVABA AL INICIO 17,50 REALES

2.- DESHACIENDO HACIA ATRÁS EL CAMINO

2.1. Tercera ermita : como la bolsa se quedó vacía al dar una limosna de 20 reales, después de duplicar la cantidad de dinero llevaba 20 reales, luego al entrar en la ermita llevaba 10 reales.

2.2. Segunda ermita: Salió con 10 reales, entonces, antes de dar la limosna tendría, 30 reales, y antes de dupicarlos 15 reales, luego al entrar en la 2ª ermita llevaba 15 reales.

2.3. De la primera ermita slió con 15 reales, luego, antes de dar la limosna llevaría 35 reales y antes de duplicar llevaría la mitad: 17,5 reales.

2.4. Por consiguiente antes de entrar en la primera ermita llevaba 17,50 reales

Comprobación:

Primera ermita: 17,50 · 2 = 35 ; 35 - 20 = 15

Segunda ermita: 15 · 2 = 30 ; 30 - 20 = 10

Tercera ermita 10 · 2 = 20 ; 20 - 20 = 0 c.q.d.

Matemáticas y cine: "La habitación de Fermat"

Hoy se estrena una película de tema matemático: "La habitación de Fermat"
Cuatro matemáticos desconocidos entre sí son invitados por un misterioso anfitrión, al que le robaron la primicia de una teoría matemática, la invitación les presenta la siguiente pregunta:
Averigua que orden siguen los siguientes números:
5 ; 4 ; 10 ; 2 ; 9 ; 8 ; 6 ; 7 ; 3 ; 1.
¿ Lo sabes tú?
Una vez resuelta se reúnen en una sala que resulta ser un cuarto que va menguando a medida que no descubren en un tiempo determinado una sucesión de enigmas que se les va planteando. Con el riesgo de aplastarlos si no descubren a tiempo qué les une y por qué alguien quiere asesinarles.
Los personajes toman el nombre de grandes matemáticos como

- El actor Federico Luppi es Pierre de FERMAT ( 1601-1665) conocido por su célebre conjetura que se demostró en 1995, 350 años después de ser enunciada.

- Lluís Homar hace de David HILBERT, ( 1862-1943 ) es conocido por plantear en 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos un conjunto de problemas ( los 23 problemas de Hilbert) que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

- El actor Alejandro Saura representa a Evariste GALOIS ( 1811-1832 ) , desarrolló una teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con mucho los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de grupos llamada Toría de Galois

- Santi Millán es Blaise PASCAL ( 1623-1662) Se le considera uno de los primeros en hacer estudios sobre probabilidad y construyó la primera máquina sumadora de la historia, que se puede considerar precursora de las actuales calculadoras.

- Elena Ballesteros es Oliva SABUCO nació en 1562 en Alcaraz (Albacete ) científica y filósofa española del Renacimiento, Una gran desconocida en la actualidad.

-Luís Piedrahíta y Rodrigo Sopeña son los directores de esta película.

Matemáticas y Arte: Pablo Palazuelo ( propuesto por Alberto García Artal, profesor del IES Máximo Trueba)

Pablo Palazuelo ( 1916- 2007 ) " El poeta de la Geometría"

El 3 de octubre de 2007 sufrimos la pérdida de un notable artista madrileño y universal: Pablo Palazuelo. Pintor, escultor, grabador... fue, sin lugar a dudas, un artista con mayúsculas . Su obra destaca al abrir nuevas vías para la abstracción, utilizando formas geométricas en su expresión artística.

Entre 1933 y 1936 vivió en Inglaterra, donde realizó estudios de arquitectura en el Royal Institute of British Architects de Oxford pero , pronto abandona sus estudios y se dedica plenamente a la pintura. En el año 1948, llega a París donde tiene contacto con la obra de grandes artistas del momento (Kandinsky, Klee, Chillida, Mondrian...). en 1952 obtiene el Premio Kandinsky Allí construye un estilo propio que le lleva al reconocimiento internacional, exponiendo en las mejores galerías y museos del mundo.
Su obra, pulcra y minuciosa, desemboca en una concepción de tipo geométrico muy personal, y se caracteriza por una depuradísima técnica y un admirable sentido del color, constantes estas que estarán siempre presentes a lo largo de toda su carrera
En 1969 vuelve a España, en 1982 obtuvo la medalla de Oro de las Bellas Artes ,en el año 1999 el Premio Nacional de Artes Plásticas y en el 2004 obtiene el Premio Velázquez (el Cervantes de las Artes Plásticas) por su magnífica trayectoria artística.
Palazuelo es conocido como el “ Poeta de la Geometría” que se sorprende y emociona ante los patrones geométricos que aparecen en la Naturaleza. Esta emoción también nos sigue embargando cuando nos maravillamos de cómo la geometría, y la matemática en general, describen el mundo físico que nos rodea , desde lo microscópico hasta lo astronómico.
Son frases suyas:

“ ...En la corteza de esos árboles vi una serie de dibujos que se habían ido transformando de forma siempre distinta, de arriba abajo del tronco. Eran formas preciosas y geométricas, formaban una serie que yo podía entender ... es como las conchas y los caracoles, que son pura geometría...”

“...Cuando descubrí que la geometría es lo que está en el fondo de la vida, que es lo que la construye, ¿cómo iba a pensar que la geometría es fría? ¿Es fría una flor, una semilla, un caracol maravilloso de la playa? ¿Es fría una estrella de mar? La geometría no es fría; lo será la geometría escolar, ésa donde algunos se han quedado”.

Esto nos lleva a las siguientes reflexiones didácticas:

- ¿No sería posible que nuestros alumnos disfrutasen de la geometría?

- Que sintiesen emoción ante una demostración geométrica o matemática.

- ¿Podrán nuestros alumnos, como le pasaba a Pablo Palazuelo, emocionarse ante la belleza geométrica de la naturaleza?

- ¿Debemos seguir pensando que la geometría, como una enumeración de figuras, su clasificación, sus propiedades y las relaciones entre ellas, es la geometría , que debemos seguir enseñando?

- Lo único que no debemos prescindir es de los sueños, a los que sin duda nos transporta nuestro ya añorado Pablo Palazuelo.

( basado en un artículo de David Martín de Diego , SIMUMAT-CSIC)

Solución a " Un espía en la T.I.A." ( propuesto el 1 de octubre)

(Ir al enunciado)
Varios alumnos nos han dado la repuesta correcta , pero, para los que todavía no la habéis encontrado veamos que dicen Mortadelo y Filemón:

Agradecemos el interés que habéis puesto en hallar este pequeño enigma.

¡¡¡¡¡¡ FELICIDADES MORTADELO Y FILEMÓN !!!!!!

( El 14 de noviembre de 2007 se celebró, en Madrid, el 50 aniversario de la publicación de la primera historieta de Mortadelo y Filemón realizada por el humorista y dibujante Francisco IBAÑEZ)

Problemillas para pensar ( propuestos por Marta Ranz, alumna de 4º de ESO)

1.- Tienes dos relojes de arena. Uno de 4 minutos y otro de siete minutos. Se quieren medir exactamente 9 minutos. ¿ Qué se debe hacer?







2.- ¿ Cuánto valen siete barras y media de pan a euro y medio la barra y media?

3.- Cuando digo cinco por cuatro veinte más dos veintitrés , estoy diciendo algo cierto ¿por qué?

4.- Yendo yo para Villavieja me crucé con siete viejas, cada vieja llevaba siete sacos, cada saco siete ovejas, ¿ Cuántas viejas y ovejas iban a Villavieja?

( las soluciones las podéis mandar por correo electrónico, dentro de un mes las publicaremos en este blog)

( las soluciones han sido publicadas el día 6 de diciembre) (Ir a la solución)

Solución a los mensajes interplanetarios de 15/10/07 ( Obtenida por Miguel Tavera Pérez alumno de 3º de la ESO)

(Ir al enunciado)

Miguel Tavera Pérez, alumno de 3º de la ESO, da la siguiente solución al enigma de los mensajes interplanetarios planteado en el artículo publicado el día 15 de octubre de 2007:

El número de "almenitas" representa a los números naturales. También observa, que en los dos primeros mensajes el primer símbolo coincide con el símbolo de la suma y el segundo con el símbolo del igual. En los otros dos mensajes el símbolo desconocido coincide con el símbolo de la resta. En los dos siguientes con el símbolo del producto y en los otros dos con el de la división.

Siendo el último mensaje la sucesión de números primos.

¡¡¡ Enhorabuena !!!

2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
7 - 3 = 4
5 - 5 = 0
2 x 3 = 6
3 x 1 = 3

10 : 2 = 5

9 : 3 = 3

1, 2, 3, 5, 7,... son los números primos

( propuesto por Mariam Saleh alumna de 1º de la ESO)

A un paciente le recetan dos frascos de pastillas A y B, y debe tomar , cada día, una pastilla de cada frasco para mejorar de su enfermedad. Las pastillas de un frasco y otro son exactamente iguales, y cada frasco dispone de 50 pastillas.

El tratamiento exige:
a) Tomar, cada día, una pastilla de cada frasco. ( una del A y otra del B )
b) Tomar las 50 pastillas de cada frasco ( no puede desechar ninguna)

En caso de no cumplir una de estas condiciones ( o las dos ) el paciente empeoraría fatalmente de su enfermedad.

Compra los dos frascos y al abrirlos, sin darse cuenta se caen encima de la mesa tres pastillas exactamente iguales, cuenta las pastillas que quedan en cada frasco y en el A hay 48 y en el B hay 49. Debe tomar una de cada uno sin ninguna posibilidad de error.

¿ Qué debe hacer para tomar exactamente una pastilla de cada frasco sin equivocarse?
( la solución se publicará en este mismo blog dentro de un mes )

( tienes la solución publicada el 11 de diciembre) (Ir a la solución)

"La avaricia vacía la bolsa" ( propuesto por el abuelo de un alumno de 1º de ESO)

Un peregrino está realizando el Camino de Santiago, de su cinturón cuelga una bolsa donde se encuentra el dinero del que dispone para el viaje. Ve una ermita y entra, como no lleva mucho dinero le reza al santo de la ermita del siguiente modo: " santo bendito si me doblas el dinero que llevo en la bolsa te doy una limosna de 20 reales" , abre la bolsa y ve que tiene el doble de dinero que llevaba, le deja 20 reales y continua el camino.

Al pasar por delante de otra ermita entra y reza del mismo modo: " santo bendito si me doblas el dinero que llevo en la bolsa te doy una limosna de 20 reales" , abre la bolsa y comprueba que se le ha duplicado el dinero que llevaba, entonces, todo contento le deja de limosna 20 reales.

A lo lejos ve otra ermita, contento se acerca a ella y se encomienda al santo de la misma forma " santo bendito si me doblas el dinero que llevo en la bolsa te doy una limosna de 20 reales" el santo le dobla el dinero que lleva , le deja 20 reales y ante su sorpresa la bolsa se queda vacía.

¿ Cómo es posible? ¿Cuánto dinero llevaba el peregrino al principio?
( la solución en esta página, dentro de un mes)

( las unidades monetarias no importan, si los reales no te gustan cambialos por euros y halla los euros que debería llevar al inicio del camino)

Pregunta en tu casa ¿ qué es un real ? ¿ Alguien de tu casa ha conocido una moneda de real?¿ y una moneda de dos reales?

(puedes ver publicada la solución el 18 de noviembre) (Ir a la solución)

Trigonometía y Reyes Católicos: El Tratado de Tordesillas.

    El 7 de junio de 1494 se firmó el Tratado de Tordesillas, en virtud del cual, Isabel y Fernando , reyes de Castilla y Aragón, y Juan II rey de Portugal, establecieron  un reparto de las zonas de conquista y anexión del Nuevo Mundo mediante el trazado de una línea ( un meridiano completo) que dividía al mundo en dos zonas, a un lado la zona del Reino de Castilla al otro la zona del Reino de Portugal.

Tratado de Tordesillas, versión portuguesa y castellano-aragonesa

    A Castilla le corresponderían todos los territorios situados más allá de 370 leguas al Oeste de las islas de Cabo Verde y a Portugal los que estaban más acá.

    Una legua era una medida de longitud de aproximadamente tres millas.

    Una milla náutica es la unidad de longitud empleada en navegación y es la longitud de un arco de un minuto de arco de latitud terrestre. 

     Así, 60 millas náuticas de latitud equivalían a un grado de latitud. La milla náutica son 1.852 metros.


    El problema vino a la hora de determinar cómo establecer esa línea divisoria entre ambos territorios.

    Los navegantes, en aquella época, sabían encontrar con precisión la latitud donde se encontraba el barco.

Mirando la Estrella Polar
obtengo la latitud

    Cuando se trata de calcular la latitud Norte-Sur no hay ningún problema, pues, sólo hay que medir el ángulo que forma la Estrella Polar con la horizontal y ese ángulo era perfectamente medido con el astrolabio.( Ver la imagen).

        Entonces conociendo los grados que me desplazo hacia el norte y conociendo el el arco de circunferencia descrito puedo conocer  la distancia Norte-Sur sobre un meridiano que he recorrido.


    Ahora bien, medir la longitud Este-Oeste, es muy complicado, pues, no existe ninguna estrella que sirva de referencia ni ningún instrumento que la halle.

     Los Reyes Católicos plantearon el problema de encontrar la línea divisoria impuesta en el Tratado de Tordesillas a un matemático mallorquín llamado Joaquín Ferrer, que propuso la siguiente solución basada en sus conocimientos trigonométricos.  

    "En un triángulo rectángulo con un ángulo de 45º los catetos miden lo mismo.  Así que para obtener un cateto horizontal de 370 leguas se partiría de las islas de Cabo Verde con un ángulo de 45º respecto al paralelo con dirección Noroeste. Se navegaría en línea recta (por la hipotenusa del triángulo) observando siempre el desplazamiento Norte-Sur, y cuando éste sea de 370 leguas se llega  a la línea divisoria decidida en el Tratado".


    Como se ve el razonamiento es muy simple y factible  pero ¿Qué hicieron los Reyes Católicos?

    Los Reyes Católicos no creían en la trigonometría y lo resolvieron del modo siguiente:

        Tomaron 20 marineros de cada parte, de Castilla y de Portugal, los más honestos y responsables y se hicieron a la mar desde Cabo Verde. Cada uno indicaría, según su recto entender,  por donde pasaría ba la línea divisoria y luego se calcularía la media de las 40 opiniones.

        El nivel de las matemáticas de la primera potencia mundial da una idea del estado de las matemáticas por aquella época.

        Dependiendo de distintos autores que manejaban distintas distancias para el ecuador de la Tierra, se encontraba entre los meridianos 42º O y 45º O.
 
        Vemos  dos mapas de la época con el meridiano de Tordesillas trazado, uno español (1500)  y otro portugués (1502).

    1.- Mapa del  navegante y cartógrafo español Juan de la Cosa de 1500. Se puede admirar en  el Museo Naval de Madrid.

Mapa del cartógrafo español Juan de la Cosa (1500).

2.- Mapa de Cantino. Mapamundi atribuido a  un cartógrafo anónimo portugués de 1502.

Planisferio de Alberto Cantino (1502).

    Artículo propuesto por Federico López Carrión profesor de matemáticas del IES Máximo Trueba en el curso 2006/07).
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