Paradoja: El cuerno de Gabriel o La Trompeta de Torricelli.

El Cuerno de Gabriel, también, llamado Trompeta de Torricelli, es una figura geométrica que se caracteriza por tener una superficie infinita que encierra un volumen finito.


Esta figura, fue ideada por el matemático y físico Evangelista Torricelli,( 1608-1647) que demostró que la superficie generada por la hipérbola “y = 1/x”, al girar sobre el eje x , con x tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.



Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso para el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito que hizo intervenir almismísimo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

¿Puede una superficie infinita encerrar un volumen finito?
Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.
Si a tiende a infinito la superficie es infinita


Se dieron, en aquel tiempo, varias explicaciones a esta paradoja.
Una de esas soluciones es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Pero, esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura que contenga sea infinita.
También se barajaba, que una trompeta de estas características no se podría construir, que si alguien invetase una pintura con átomos o moléculas sin grosor necesitaríamos una cantidad infinita de tiempo para pintarla y llegar al fondo e infinita cantidad de pintura que necesitaría un infinito espacio para almacenarla......
¿Qué opinas tú?

Teorema de Viviani: elegante y sencillo

El Teorema de Viviani dice que la suma de las distancias, de un punto P situado en el interior de un triángulo equilátero, a los tres lados, con independencia de la situación donde esté el punto es igual a la altura del triángulo.

Este teorema debe su nombre al matemático italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) nacido en en Florencia. Galileo Galilei quedó tan impresionado por el talento de Viviani que lo contrató como colaborador con sólo 17 años, trabajaron juntos, en su villa de Arcetri, donde se había retirado al ser condenado por la Iglesia, hasta su muerte en 1642.

Tras la muerte de Galileo, Viviani recopiló y publicó su obra en 1655 y además escribió una biografía de Galileo que fue publicada póstumamente en 1717.

En el museo de Historia de Florencia se encuentra la pintura de Tito Lessi que muestra a Galileo Galilei junto a su asistente Vincenzo Viviani.

En 1690 publicó la versión italiana de los Elementos de Euclides y tradujo trabajos de Arquímedes y Apolonio.
También hizo estudios de ingeniería y resistencia de materiales. Junto con Borelli calculó la velocidad del sonido en el aire, que dio como resultado 350m/s. Esta aproximación era mucho mejor que la que se tenía hasta entonces que era de 478m/s y se aproxima a la actual de 331.29m/s.

También, Una curva lleva su nombre La curva de Viviani que está definida como la intersección de un cilindro y una esfera cuyo radio es igual al diámetro del cilindro, con la condición que el cilindro pase por el centro de la esfera.

El Teorema de Viviani es un teorema interesante por la cantidad de demostraciones que tiene y por su utilidad pedagógica a la hora de enseñar geometría, hay varios problemas de ingenio sobre este teorema: ¿En una isla con forma de triángulo equilátero ¿dónde colocar una cabaña de modo que la suma de las distancias a los tres playas sea mínima?....Es asombroso que da igual en qué punto esté. Todos los puntos del triángulo cumplen esa propiedad.

Veamos dos demostraciones: Demostración1, Mostración2

Este artículo participa en la Edición 2.6. del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasion se encuentra albergado en el blog anfitrión La vaca esférica.

Una demostración sencilla del Teorema de Viviani

Una demostración sencilla sería:
1..- Dado el triángulo equilátero ABC de lado a y un punto P en su “interior”.

2.- Construimos los triángulos ABP, ACP, y BCP

3.- El área del triángulo ABC será a•h/2 ( con h la altura del triángulo equilátero ABC)

3.- El área de ABP será a•n/2; la del ACP a •m/2 y la del BCP a •l/2

4.- Igualando a•h/2 = a•n/2 + a•m/2+a•l/2 = a•(l+m+n)/2

de donde se deduce que h = l + m + n siendo h la altura del triángulo ABC.

Esbozo de una "mostración" del teorema de Viviani

Vamos a esbozar geométricamente el Teorema de Viviani .
Como se verá no es una demostración rigurosa, ni siquiera demuestra sino "muestra" este teorema pero pensamos que puede dar bastante juego en alguna clase de la ESO para manipular y trabajar con triángulos equiláteros.


1.- Construimos un triángulo equilátero ABC y un punto P en su interior y trazamos las perpendiculares desde ese punto a los lados y la altura del ABC. (Fig. 1 )

2.- Construimos triángulos equiláteros con un vértice en P en los que esas perpendiculares, son las alturas. ( rayados en verde)

3.- En este ejemplo trasladamos el triángulo, rayado, más pequeño hacia el vértice C. ( también se podría trasladar el triángulo grande al vértice C).

4.- Observamos que la suma de las alturas de los tres triángulos rayados es igual a la altura del triángulo ABC.

Manipulación sencilla donde se nos "muestra" el Teorema de Viviani

Este teorema tiene un sinfín de demostraciones que son muy ilustrativas y que resultan un buen ejercicio de geometría para los alumnos.

La magia del 6.174. La constante y el número de Kaprekar

Leyendo este verano El club McLaurin de Félix Remirez Salinas, un relato matemático, finalista del concurso literario “Relatos Cortos RSME-ANAYA 2009” que está publicado en el libro La conjetura de Borges (2011), recopilación de relatos matemáticos finalistas de dicho concurso aparece el número 6.174 como la constante de Kaprekar.

Este número, que se llama así por el matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar, (1905–1986) que la descubrió en 1949 , tiene una interesante y casi mágica propiedad a saber:

1.- Tomamos un número de cuatro dígitos distintos. ( también sale si hay 2 ó 3 cifras repetidas, sólo con los cuatro repetidos no sale)

2.- Se ordenan de mayor a menor esos dígitos y obtenemos el mayor número que se obtiene de esos dígitos
3.- Ordenamos de menor a mayor obteniendo el menor número posible que se puede formar con esos dígitos.
4.- Los restamos
5.- Si el resto no da 6.174 volvemos a repetir los pasos anteriores, hallamos el mayor y menor número que se pueden formar con esos dígitos y restamos.
6.- y así sucesivamente entonces SIEMPRE se llaga al 6.174.

Ejemplo:
1.- Sea el 6.354
2.- Se forman el 6.543 y el 3.456 que restamos y da 3.0873.

3.- Con 3.087 se forma 8.730 y 0.378 que restados da 8.3524

4.- Con 8.352 se forma 8.532 y 2.358 y restados da 6.174

Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras y en un máximo de 7 pasos se llega al número 6.174. Curioso, ¿verdad?.

Si para los números de 4 cifras existe una constante de Kaprekar, ¿Existirá para los de tres, y de cinco…?

Para los de tres sí existe es el 495. Para los de 5 no existe.

Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otro número de dígitos no se llega a ninguno sino a ciclos,( con 5 cifras y 7) o por qué para complicar la cosa a veces se llega a varios números posibles ( con 8 y 9 cifras) y también a varios números y ciclos( para 6 cifras y 10) . ¿Habrá algún número con más dígitos que converja en un solo número parecido al 6174? No se sabe. Es uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, y bien podría ser simplemente algo puramente circunstancial: una gran coincidencia.El nombre de Kaprekar además de estar asociado a su constante está asociado a los números de Kaprekar.

Un número de Kaprekar es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original.

Ejemplos de números de Kaprekar

Ejemplo1: El 9, pues, 9 al cuadrado es 81 que se descompone en 1 + 8 = 9
Ejemplo2: El 297 su cuadrado es 88209 y vemos que 88 + 209 = 297
Ejemplo3: El 703 pues 703 al cuadrado es 494209 que se descompone en 494 + 209 = 703

En base 10 los primeros números Kaprekar son : 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, …
En base 2 todos los números perfectos son números de Kaprekar.
En cualquier base existen infinitos números de Kaprekar, en particular, dada una base b, todos los números que resultan de restar la unidad a b elevado a n , con n un número entero son números de Kaprekar.
Así en base 10 :
100 -1 = 99, también 1000-1 = 999; también 1000 -1=9.999;...

Sobre Espirales

ESPIRAL LOGARÍTMICA O ESPIRAL MARAVILLOSA

Es la espiral más común en la naturaleza. Esta forma geométrica se puede encontrar en las conchas de los moluscos, en las galaxias, en los patrones meteorológicos, en los patrones de vuelo de aves e insectos y en los patrones de construcción de las telarañas.

Fue investigada por Jakob Bernoulli, que la llamo Spira Mirabilis (Espiral Maravillosa). Impresionado por sus propiedades, pidió que fuera grabada en su tumba (Basilea 1782) con la máxima “eadem mutata resurgo”, aunque por error se grabó una espiral de Arquímedes.

La espiral logarítmica se distingue de la de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica.

Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. La Vía Láctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.

Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.

ESPIRAL HIPERBÓLICA O ESPIRAL RECÍPROCA.

Es también llamada Espiral Reciproca y es considerada la espiral inversa a la de Arquímedes. Es uno de los tipos de espiral más comunes en la naturaleza. Se halla generalmente en las conchas de los moluscos (en especial de la familia Gasterópoda) y en los centros de las flores.

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES O ESPIRAL ARITMÉTICA.

La espiral de Arquímedes fue descrita por Arquímedes en su libro De las Espirales en el siglo III antes de Cristo., se llama también espiral aritmética.

Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que a su vez gira alrededor de un punto de origen fijo con una velocidad angular constante.
Esta curva se distingue por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes.

Al hablar de espirales, la primer forma que se nos viene a la mente es este tipo de espiral. El matemático Arquimedes utilizo esta sencilla forma para crear la hélice y así poder inventar el "Tornillo de Arquimedes". mecanismo usado hoy en día para transportar líquidos a diferentes niveles verticales.

Las espirales representan la fuerza de vida. Muy típica de las espirales celtas es la espiral de tres brazos o "trisquel".

ESPIRAL DE CORNÚ O CLOTOIDE (véase boletín nº 15, junio 2009 ).

La espiral de Cornú o clotoide, en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.

Por ello, en el punto origen de la curva, el radio es infinito y se usa en la construcción de carriles de aceleración y deceleración en las autovías, autopistas, vías ferroviarias y montañas rusas.

Los loops (vueltas) son arcos de clotoide, ya que su forma alargada y simétrica evita la influencia de la fuerza centrípeta en los vehículos al tomar las curvas.

ESPIRAL DE FERMAT. ESPIRALPARABÓLICA

Espiral Parabólica es un tipo de espiral poco común en el mundo natural, la espiral de Fermat se halla más que todo en los cálculos y las ecuaciones para determinar coordenadas.

Llamada así en honor al científico y matemático Pierre de Fermat, la espiral de Fermat es considerada una versión más avanzada de la Espiral de Arquimedes. También es conocida como la Espiral Parabólica.

ESPIRALES EN EL ARTE: LA ESPIRAL DE DURERO

En 1525, Alberto Durero (1471-1528) famoso grabador y pintor del Renacimiento alemán, publica una obra titulada:” Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”.

En ella enseña varios métodos para construir diversas figuras geométricas. Entre esas figuras, destaca la construcción con regla y compás de algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero. Esta espiral es muy famosa en el arte ya que tras ella se encuentra el número de oro .Se construye a partir de los rectángulos áureos, que son aquellos en que la razón de sus lados es fi, ɸ, el número de oro.

CONSTRUYE TÚ PROPIA ESPIRAL DE DURERO

No es ni una espiral de Arquímedes ni una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás.

Sin embargo se aproxima más a la logarítmica.

Si a un rectángulo áureo le quitamos un cuadrado de lado, el lado menor del rectángulo, el rectángulo que queda es semejante al primero, luego, también, áureo.

Construimos una sucesión de rectángulos áureos y cuadrados encajados y unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, con centro otro vértice del mismo cuadrado, uniendo estos arcos obtenemos la Espiral de Durero.

SUCESIÓN DE FIBONACCI : La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales: 1,1,2,3,5,8,13,…….¿Sabrías continuarla?.Al construir rectángulos cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo y puedes dibujar la espiral de Durero.

¡¡ Ha salido el boletín nº 25 !!

El número 25 de los boletines Sacit Ámetam ya está en nuestras manos.

Este boletín está dedicado de forma monográfica a las espirales.
En él encontraremos:

- La espiral de Arquímedes.
- La espiral Logarítmica o Spira Mirabilis.
- La espiral de Cornú o clotoide.
- La espiral Hiperbólica.
- La espiral de Durero.


Con este número cerramos un ciclo de 5 años ininterrumpidos de editar los boletines Sacit Ámetam , en este tiempo hemos sacado 25 números. Este número te lo puedes descargar, en PDF, así como todos los anteriores en la página de boletines Sacit Ámetam.

Cita del boletín nº 25

En el boletín nº 25 figura la siguiente cita:

“ Eadem mutata resurgo”
Aunque cambiada resurgiré.

Esta frase quiso el matemático Jakob Bernouilli ( 1655 - 1705) que fuese grabada en su tumba como epitafio.

Lo curioso es que el cantero que debía grabarla no colocó la Spira Mirabilis, como deseaba Bernouilli, sino la Espiral de Arquímedes. No supo diferenciarlas.

Un libro de mates en 1º de la ESO

Presentamos un resumen realizado por los alumnos de 1º D de la ESO de la lectura del libro: El asesinato del profesor de matemáticas de Jordi Sierra i Fabra de editorial Anaya.
Durante el 2º trimestre cada alumno tenía que estudiar y luego presentar a toda la clase uno de los enigmas o pistas que aparecían en el libro.
El resultado es esta revista donde figuran los trabajos de los alumnos:
También se ha hecho un Power-Point de dicho trabajo.
(Hemos respetado la grafía y los dibujos, que nos perdonen los de Lengua y los de Plástica)

Matemáticas en el Arte Románico

"El esplendor del románico" es el títitulo de una exposición que podemos admirar en Madrid hasta el 15 de Mayo en la Fundación MAPFRE. Su contemplación nos lleva a ver cómo las matemáticas se encuentran entrelazadas con el arte románico.

El arte románico es la corriente estilística que se extiende en buena parte de la Europa cristiana desde finales del siglo X hasta bien entrado el XIII. Llamado así por su predecesor el arte romano y por la aparición de las lenguas románicas (evolucionadas del latín). Vamos a ver cómo las matemáticas influyen en:

1.- ARQUITECTURA : Los elementos de su arquitectura se traducen en el exclusivo uso de la geometría clásica, es decir, de las figuras geométricas más simples. Es una arquitectura de "escuadra y compás" donde cuadrados, círculos, cubos y cilindros… se disponen con un sentido estricto del orden y de la simetría.

La belleza y armonía que transmiten no es el resultado accidental del artista es un hecho calculado.

- El plano divino viene configurado por las formas circulares de las bóvedas, las cúpulas, los arcos de medio punto, arquivoltas y el ábside.

- El plano terrestre y humano, por las formas poligonales (cuadrados, rectángulos, etc.) de los tramos de las naves y del crucero, así como de los diferentes alzados de las fachadas.

2.- ESCULTURA: Sigue los mismos planteamientos que la arquitectura de sometimiento al orden racional y la lógica. La "Ley del Marco" y la "Ley del Esquema Geométrico" enunciadas por Henri Focillon lo reflejan.

Las figuras se organizan, no según formas naturalistas, sino adaptándose a formas geométricas, triángulos, cuadrados o bandas rectangulares, curvas de arcos. Por ello, en la escultura románica de portadas, cabeceras y ventanas podemos encontrar personajes o animales achaparrados o de altura excesiva, a menudo realizando escorzos imposibles, y frecuentemente con perspectivas absurdas para adaptarse al marco arquitectónico.

Dos ejemplos 1.- El Pórtico de la Gloria (fig 1), Santiago de Compostela, los 24 ancianos del Apocalipsis se acomodan en los radios de la semicircunferencia de la arquivolta y 2.- “La duda de Santo Tomas”, Monasterio de Silos (fig. 2)

3.- PINTURA: Figuras planas, no interesa la perspectiva, porque lo que se busca es trasladar al espectador a un universo simbólico, abstracto. Las figuras destacan por la geometría de sus formas, volúmenes geométricos, pliegues y composiciones simétricas. Fig 3: "Adoración de los pastores" en San Isidoro de León, “Capilla Sixtina del románico”.

También en la siguiente foto de la portada de un altar románico del siglo XII en la Seo de Urgel, que podemos contemplar en la exposición comprobamos las figuras geométricas fundamentales para la composición de dicha pintura. --------------------------------------------------------------
Esta entrada participa en la Edición 2.3. del Carnaval de Matemáticas de abril. En esta edición el blog anfitrión es Los Matemáticos no son gente seria donde se recopilarán todas las entradas que se publiquen en esta edición.

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¡¡ Ha salido el boletín nº 24 !!

Ha salido el Boletín Sacit Ámetam nº 24 correspondiente al mes de abil de 2011. En él encontrarás:
- Románico y Matemáticas, cómo las matemáticas determinan el estilo románico en arquitectura, escultura y pintura

- La prueba del nueve para comprobar si una división está bien hecha o no -

- Un cómic, realizado por Joao Penichet, alumno de 3º de la ESO de cómo son los matemáticos.



Te puedes descargar todos los boletines en PDF yendo a la página de Boletines Sacit Ámetam

Cita en el boletín nº 24

"La belleza de los colores recrea la vista, la amabilidad de la melodía deleita el oído, la frescura del olor el olfato, la dulzura del sabor el gusto y la proporción del cuerpo el tacto"

Hugo de San Víctor

Teólogo cristiano del Medievo, Sajonia (1096-1141)