Triángulo de Reuleaux

        El triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante es decir, la distancia entre cualquier punto de una de las curvas y el vértice opuesto es siempre la misma y además, tiene la propiedad de que puede rodar entre dos rectas paralelas tocando siempre un punto de una y otro punto.

         Esta curva fue desarrollada como una "forma de mecanismo útil" por  Franz Reuleaux (1829 – 1905) ingeniero alemán al que se considera el  padre de la cinemática.

Franz Reuleaux (1929-1905)

                                                       

       Construcción de un triángulo de Reuleaux:

        Se obtiene partiendo de un triángulo equilátero de lado L . Trazando, con centro en cada vértice, arcos de circunferencia de radio L entre los dos vértices opuestos.

    

        También se puede obtener como la intersección de tres circunferencias.
    Perímetro y Superficie de un triángulo de Reuleaux.

        El perímetro de dicho "triángulo" es la suma de los tres arcos de circunferencia de radio L, siendo L el lado del triángulo equilátero 

                                                         Perímetro  = Pi * L

        

        Es el mismo perímetro que el de todas las curvas de anchura constante L, 

    Coincide, pues, con el perímetro de una circunferencia de diámetro L (curva de anchura constante L).

       Coincide con el producto de PI por la distancia entre las paralelas, respecto a las que tiene longitud constante (Teorema de Barbier).

        La superficie de este "triángulo" de diámetro L es la menor de entre todas las figuras de un ancho constante dado: L , siendo el círculo, de diámetro L la figura de mayor superficie de todas ellas. (Teorema de Blaschke-Lebesgue).

        El área de dicho triángulo y el perímetro de dicha figura viene dado por las igualdades:

    Curiosidades del Triángulo de Reuleaux:

        1.- Alcantarillas con tapas que no caigan en el agujero.

        Debido a que todos las distancias de un vértice al arco opuesto son iguales , el triángulo Reuleaux, responde a la pregunta "Además de un círculo ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través del agujero?".

        En San Francisco (California) podemos encontrar este tipo de tapas de alcantarillas del Departamento de Aguas de San Francisco (SFWD).

    2.- Figuras de ancho constante utilizadas como rodillos.

        Existen figuras distintas del círculo con la propiedad de que en cualquier dirección que se tomen, su ancho es el mismo y por tanto, usadas como secciones de rodillos, funcionan tan bien como los rodillos circulares.

        La figura más sencilla después del círculo con esta propiedad es el triángulo de Reuleaux. El que sea de ancho constante, implica que si inscribimos el triángulo entre dos paralelas, siempre las tocará, giremos el triángulo como lo giremos.

        Si además de esas dos paralelas, pongo otras dos perpendiculares (formando un cuadrado en la intersección), el triángulo deberá SIEMPRE tocar las cuatro lineas, los cuatro lados del cuadrado, se le gire como se le gire:

        Aunque, no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotación, pues, el centro describe un pequeño círculo.


    3.- Brocas para hacer agujeros cuadrados:

            Puede resultar extraño, pero este triángulo permite construir brocas para hacer agujeros prácticamente cuadrados. El área que describe esta broca al girar cubre un 98,77 % del área de un cuadrado, con las esquinas ligeramente redondeadas, y permitiendo la realización de tan peculiar agujero. Esta broca fue inventada en 1914 por Harry Watt.




        Pero nos falta un detalle, que la taladradora tenga el eje descentrado, que describa un pequeño círculo en cada rotación, para que al girar la broca perfore un sección cuadrada,

        (Vemos en el siguiente video una animación de cómo funcionaría una "broca de Reuleaux" para hacer un agujero cuadrado).

4.- Motor Wankel

        El motor Wankel es un tipo de motor de combustión interna, que fue inventado por Félix Wankel en 1924 y que en vez de pistones como los motores convencionales utiliza un rotor, en forma casi de triangulo de Reuleaux. ( los vértices están un poquito curvados).

        

Aunque con algunos inconvenientes, se fabricaron motos Norton y Suzuki RE-5 con este tipo de motor y de manera ocasional se fabricaron, también, coches como el Ami M-35 de Citroën, entre 1961 y 1979, y el C-111 de Mercedes Benz también en los años 60 y 70 .

 

 
        Mazda es la marca que más modelos de coches a fabricado con este tipo de motores. Como curiosidad, en 1991, Mazda consiguió vencer en las 24 horas de Le Mans con el modelo 787B con un motor con cuatro rotores wankel.

         Hace pocos años, en 2003, Mazda relanzó el motor wankel con su modelo RX-8 con dos rotores, en la foto aparece el modelo fabricado en 2010.

5.- Arquitectura

        Esta figura por su elegancia y por la sencillez de su trazado (intersección de tres circunferencias) ha sido un motivo muy utilizado en arquitectura sobre todo en el periodo del Arte Gótico, vamos a destacar:

        En El Monasterio de Nuestra Señora de la Oliva , en Carcastillo, (Navarra) (foto izqda.) y en la Catedral de Ciudad Rodrigo (Salamanca) (Foto derecha) vemos dos ejemplos de este triángulo en la decoración de sus claustros.

        En el claustro de la Abadía cisterciense de Hauterive, fundada en 1138, en Posieux (Suiza) podemos también observar tres triángulos de Reuleaux inscritos en una circunferencia. Observemos la cantidad de geometría que hay en los distintos arcos de este claustro.

        En Madrid la Torre Sacyr , el tercer rascacielos más alto de España, con 52 plantas y una altura de 236 metros, acabada de construir en 2008 tiene planta de Triángulo de Reuleaux.

        Entre objetos con forma de Triángulo de Reuleaux están las pastillas Smint y lápices con esta forma por suponerla más ergonómica.


Incluso varias monedas, de distintos valores, se han acuñado en las Islas Bermudas tienen esta forma:

y otros muchos más que puedes ir descubriendo.

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Este artículo participa en la Edición 2.7. del Carnaval de Matemáticas de octubre de 2011, en esta edición el blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia