Esta figura, fue ideada por el matemático y físico Evangelista Torricelli,( 1608-1647) que demostró que la superficie generada por la hipérbola “y = 1/x”, al girar sobre el eje x , con x tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.
Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso para el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito que hizo intervenir
almismísimo Thomas Hobbes.La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.
¿Puede una superficie infinita encerrar un volumen finito?
Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral.
Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a
Si a tiende a infinito el volumen será finito.
Si a tiende a infinito la superficie es infinitaSe dieron, en aquel tiempo, varias explicaciones a esta paradoja.
Una de esas soluciones es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Pero, esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura que contenga sea infinita.
También se barajaba, que una trompeta de estas características no se podría construir, que si alguien invetase una pintura con átomos o moléculas sin grosor necesitaríamos una cantidad infinita de tiempo para pintarla y llegar al fondo e infinita cantidad de pintura que necesitaría un infinito espacio para almacenarla......
¿Qué opinas tú?
Mi explicación intuitiva a esta paradoja es que cuando el tamaño de algo (tenga la forma geométrica que tenga) disminuye, la relación superficie volumen aumenta. Un cubo de 1 metro de lado tiene una supercie de 6 metros cuadrados y un volumen de 1 m cúbico (1000 litros). Un cubo de 1 dm de lado tiene una superficie de 6 dm cuadrados, (100 veces menor que el cubo de 1 m de lado) y un volumen de 1 dm cúbico (1 litro) (1000 veces menor que el volumen del cubo de 1 m de lado). Por lo tanto, la relación superficie:volumen en el cubo pequeño es 10 veces mayor que en el grande. Esta es una propiedad física importantísima por ejemplo para todo el asunto de la nano y la microtecnología.
ResponderEliminarSi sigues el razonamiento, tiene lógica que cuando la asíntota tiende a infinito (el volumen se hace cada vez más pequeño), la relación superficie volumen también tiende a infinito, luego no es tan descabellado pensar que siendo el volumen finito (pi), la superficie sea infinita. A la intuición, a veces hay que alimentarla un poco y dirigirla un poco, simplemente.