Método egipcio de "Regula falsi" para resolver ecuaciones

El Papiro de Rhind o también llamado el Papiro de Ahmes, es un documento de unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho, que contiene una recopilación de 87 problemas de matemáticas entre los que hay fracciones, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, una aproximación del número pi, regla de tres,..... representa una fuente de información valiosísima sobre las matemáticas de aquella época,y aunque hay algunos errores de cálculo, los métodos de resolución son de gran valor, como el que expondremos aquí.

Fue escrito por un escriba llamado Ahmes alrededor del año 1.650 a.C. recogiendo escritos anteriores.

Se encontró en el siglo XIX, fue comprado por el anticuario escocés Henry Rhind en 1858 y se encuentra depositado desde 1865 en el Museo Británico en Londres.

MÉTODO DE "REGULA FALSI":

Lo que nos interesa, en este artículo, de ese papiro es el procedimiento que tenían, los egipcios, para resolver sencillas ecuaciones algebraicas del tipo

x + ax = b y también del tipo x + ax + bx = c,

Muchos siglos antes de  que Al-Kwaritzmi ( 780-850 ), escribiera  el primer tratado de  Álgebra y  estudiase metódicamente la resolución de ecuaciones hasta de segundo grado.

Este procedimiento de resolución se encuentra en los problemas números 24 y el 30 de dicho papiro.

El problema 24 dice "Calcula el valor del montón si el montón y un séptimo del montón es igual a 19" .

El problema nº 30 tiene un enunciado mucho más complejo.

El método que utilizaban los egipcios fue llamado de "regula falsi" o de "falsa posición" y consistía en lo siguiente:

1.- Daban como solución un número al azar y desarrollaban todos los pasos del enunciado con ese número. ( Equivale, en la actualidad,  a sustituirlo en la ecuación)

2.- El resultado que obtenían lo comparaban con el resultado que figuraba en el enunciado del problema.

3.- Ajustaban la solución errónea que obtenían con la que daba el enunciado que era la correcta, mediante una proporción.

4.- Y obtenían la solución correcta:

Resolvamos dos ejemplos, con la notación actual, utilizando este método.

Ejemplo1 : Halla un número tal que si le sumamos su quíntuplo da 36. ( En 1º de la ESO, ya se plantea la ecuación: sería resolver x + 5x = 36).

Veamos como aplicaban este procedimiento:

1.- Daban un número al azar como solución , sea x = 2 esa "solución falsa", al sustituirlo en la ecuación vemos que la suma de 2 con su quíntuplo ( 2 · 5 = 10) es 12 "resultado falso".

2.- El resultado que debería dar es 36. (Como 36 se obtiene multiplicando el resultado falso y ahora como 12 es la tercera parte del dato correcto, 36, entonces el 2 debe ser la tercera parte de la solución. por 3 ).

3.- Luego la solución verdadera se obtendrá multiplicando la "solución falsa" por 3 y da 6.

Por tanto, 6 es la solución de la ecuación inicial.

( Este tercer paso es sencillamente resolver la igualdad 12/36 = 2/x ).

Ejemplo 2: Si a un número le sumo su tercera parte y su doble nos da 40. ¿Cuál es ese número? ( Sería resolver x + x/3 + 2x = 40).

1.- Damos una solución "al azar" sea el 3 (solución falsa).

2.- Sustituimos ese 3 en la ecuación: a 3 le sumo su tercera parte, 1, y le sumo su doble, 6, nos da 3 + 1 + 6 = 10 ( resultado falso).

3.- Pero debería dar 40 ( resultado correcto ) que es 4 veces más que el falso.

4.- Luego "la solución correcta" debe ser 4 veces más que "la solución falsa".

5.- Es decir 3 · 4 = 12 que es la solución correcta.

Ingenioso método y unos 2.500 años antes de que se "descubriera el Álgebra"

Como se ve con una sencilla proporción entre el resultado falso y el correcto, y la solución falsa y la correcta (que no conocemos)  obtendremos la solución. 

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