Construcción de un reloj de sol VI (1/2): Longitud del gnomon.

 Queremos hallar la longitud del gnomon:

Hemos de hallar la longitud que debemos dar al gnomon para que las líneas que nos marquen los días no se salgan de la “esfera del reloj" y que queden más o menos centradas.

Líneas de los días en la "esfera del reloj"

Las líneas de los días, vienen determinadas por el recorrido del extremo de la sombra en un día concreto.

Elegiremos el día 21 de cada mes. El 21 de diciembre la línea de los días será la más alejada y el 21 de junio será la más cercana al gnomon. 


Así, cuando veamos la sombra del sol sobre el reloj su extremo nos marcará el  día del año en que estamos,aproximadamente.

Queremos centrar las líneas que nos marcará de los días en el círculo que va a ser el reloj.

Método para hallar la longitud del gnomon :

Representamos en la siguiente imagen el gnomon, en negro, y los rayos de sol en los solsticios y en los equinocios

Longitudes de la sombra en el equinocio y los solsticios.

a)    Así el solsticio de invierno (Si)  la línea que marque el día será la más alejada al gnomon (el peligro que existe es que se salga del círculo del reloj).

b)    En el solsticio de verano (Sv) la línea que marque ese día será la más cercana al gnomon

c)    En los equinoccios (Se)  la línea estará centrada y es una recta.


 Cálculo de la longitud del gnomon:

En cualquier día del año se forma el siguiente triángulo entre el gnomon, la sombra  y el rayo de sol

Triángulo con la longitud del gnomon, de la sombra y ángulos en cualquier día.

Siendo:

l : longitud del gnomon en cm.
S: longitud de la sombra de ese gnomon a las 12:00 hora solar.
 δ:  la declinación del sol.
Ψ : la latitud del lugar.

Si queremos hacer las medidas en cualquier otro día debemos tener en cuenta la declinación mirándola en una tabla astronómica ( véase el artículo de hallar la latitud del lugar: justificación teórica)
En  esta tabla vemos la declinación los días 21 de cada mes en grados minutos y segundos

Tabla con la declinación que hay  los días  21 de cada mes

Por el teorema del seno vamos a relacionar las longitudes de la sombra con las del gnomon.
 Mirando el triángulo tenemos que:

Teorema del seno aplicado  nuestro triángulo.

  Utilizando ángulos complementarios, como  α + Ψ + β = 180º, se deduce que:

  

Ahora estamos en disposición de encontrar la relación entre las longitudes que queremos:

 1.- Solsticio de verano: la declinación es 23º26´6´´

 Así en el solsticio de verano para la latitud del reloj  φ= 40,407360 º N  =  40º  24´  26,46´´ N tendríamos que la longitud de la sombra en función de la longitud del gnomo será:
Utilizaremos como declinación es  δ= 23,435º =  23º 26´ 6´´ (dato tabla protección civil).

Relación entre la longitud del gnomon y de la sombra en el solsticio de verano.

2.- Equinocios de primavera y otoño: la declinación es 0º

En los equinoccios, de primavera y de verano la longitud de la sombra en la "esfera" del reloj y  la longitud del gnomon mantiene la siguiente relación:

Relación de la longitud del gnomon y la sombra en los equinocios.

3.-Solsticio de invierno la declinación es de  - 23º26´6´´

  En el solsticio de invierno, el sol está más bajo, y la relación entre las dos longitudes, de la sombra y del gnomon, será:

En el solsticio de invierno la longitud del gnomon es "casi" la mitad de la longitud de la sombra.

Con estos cálculos averiguamos la longitud que debemos darle al gnomon para que la sombra no se nos salga del círculo del reloj de sol


LONGITUDES DE LA SOMBRA EN RELACIÓN A LA LONGITUD DEL GNOMON
Para nuestra latitud 40,407360º las longitudes de la sombra serían( En cm y redondeado a las centésimas)

Distintas longitudes del gnomon y de las sombras

Como nuestro reloj es un círculo de 146 centímetros de diámetro consideramos que la  longitud idónea del gnomon sería la de 50 cm. así la línea más alejada estaría a 104,12 cm. "dentro" de la esfera del reloj

Vamos ha realizar todas las pruebas con un gnomon de 50 cm.



Cronología del Proyecto SEMPER AMICIS HORA:

I.- Proyecto SEMPER AMICIS HORA de un reloj de sol horizontal :  Ir al artículo publicado el 17 de septiembre.

En este artículo figurarán TODOS los pasos que se hagan hasta la conclusión del reloj solar el 21 de junio de 2015.
 

  II.- Hallar la latitud del lugar para saber cual debe ser la inclinación del gnomon.

    II.1.- Justificación teórica:   Ir al artículo publicado el 21 de septiembre.
    II.2.- Actividad con los alumnos:  Ir al artículo publicado el 28 de septiembre.

III.- Encontrar la ubicación del lugar idóneo:    Ir al artículo publicado el 8 de octubre.

IV.-   Construcción del triángulo-gnomon :  Se puede ver en el  artículo del 7 de noviembre.

V.- Construcción de la plataforma "esfera". Ir al artículo publicado el 22 de noviembre.
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VI.- Hallar la longitud del gnomon:

       VI.1. Fundamento teórico . Ir al artículo publicado el 18 de diciembre.

       VI.2. Los alumnos comprueban la línea del solsticio con esa longitud. Ir al artículo publicado el 22 de diciembre.


VII.- Construcción del gnomon.
      
       En el mes de enero, una herrería en Majadahonda, nos construyen el gnomon con las medidas encontradas:  Longitud: 50 cm y Ángulo de 40,40 grados. (Ir a artículo del 19/01/2015 )


VIII.- Dibujar las líneas de los meses. 
     (unos alumnos la harán sobre el reloj (1º ESO) otros sobre papel (4º ESO).
       Las medidas sobre el reloj se tomarían  los 21 de cada mes y son fundamentales las líneas del
      equinoccio de  primavera ( que será una recta) y solsticio de invierno ( la más alejada del gnomon).

P.D.- Cada mes colocaremos el artículo correspondiente
-  Línea del 20 de enero  ( Ir a artículo 26/01/2015)
-  Línea 20 de febrero  (Ir a artículo 01/03/2015)
-  Línea 20 de marzo  ( Ir a artículo 22/03/2015).

P.D.  Cálculo trigonométrico de la distancia del gnomon a las líneas de los meses y comprobación sobre el reloj. (Ir a artículo publicado el 2 de mayo de 2015).


IX.- Comprobar la línea Sur-Norte:  El 15 de abril, día en que la Ecuación del Tiempo es 0  comprobaremos la línea que determoina la dirección Sur-Norte.

P.D.- El 15 de abril realizamos la comprobación : (Ir al artículo de 19/04/2015)

X.- Dibujar las líneas horarias.
       (unos alumnos la harán sobre el reloj (1º ESO) a lo largo de un día y otros sobre papel (4º ESO).

P.D.- X.1.- Base teórica por trigonometría, alumnos de 4º. (Artículo publicado el  20/04/2015).

P.D.- X.2.- Marcar sobre la esfera las líneas horarias el 15 de abril, donde la Ecuación delTiempo es 0, (Artículo publicado el 21/04/2015).

 XI.- Por último "hacer bonito" el reloj: Una vez conseguidas todas las líneas sólo nos queda grabar los números, las líneas,... hacerlas de metal, alicatadas,.....construir un gnomon de metal,...... grabar alguna inscripción....

P.D.- XI.1.- Pintar la esfera del reloj, fijar el gnomon, dibujar línea del 21 de mayo, dibujar cícunferencia exterior y líneas de los meses. (Ir al artículo publicado el 25 de mayo de 2015).

P.D..- XI.2.- Construir las letras y los números en una plantilla y dibujarlos sobre la esfera del reloj. (Ir al artículo publicado el 30 de mayo de 2015).

P.D.- XI.3.- Pintar las líneas horarias y colocar solsticio de invierno y línea de los equinocios.
              ( Artículo publicado el 13 de junio de 2015).
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XII. - Taller para que cada alumno construya su Reloj de Sol ecuatorial de mesa.
         (Ir al artículo publicado el 14 de junio de 2015)

P.D: XIII.-  Video-resumen  del proyecto  (Ir al artículo del 28 de junio de 2015)

P.D: XIII.-  Video-resumen  del proyecto  (Ir al artículo del 28 de junio de 2015)

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