Melancolía de Durero y las matemáticas

Del 6 de febrero al 5 de mayo de 2013 podemos admirar el grabado Melancolía de Alberto  Durero , en la Biblioteca Nacional, en Madrid, en una exposición de 122 grabados del  artista más importante del  Renacimiento Alemán.

Melancolía de Durero

El grabado  Melancolía que se expone (240 mm. x 185 mm.), está  considerado como una obra maestra del buril, sobre metal.

Melancolía es una obra misteriosa de gran simbolismo que ha admitido distintas interpretaciones, a nosotros nos interesa desde el punto de vista matemático,  nos fijaremos en  los objetos  e instrumentos matemáticos que figuran en el grabado,  más que fijarnos en el  perfecto estudio y gran dominio que hace Durero de la  perspectiva.

Se observa una regla, un compás, una esfera, un poliedro y un cuadrado mágico, además de instrumentos de medida: una balanza y un reloj de arena.

Nos fijamos sobre todo El Cuadrado Mágico y el Poliedro de Durero


Cuadrado Mágico:

Cuadrado mágico de Durero

Es un cuadrado de 4 x 4 en el que se colocan los 16 primeros números naturales de modo que la suma de sus filas, la suma de sus columna y la suma de las diagonales siempre dan el mismo número 34.
Además, las dos casillas centrales de la fila de abajo están ocupadas por el  15 y  el 14 , nos indica el año en que se realizó  el grabado 1514.
Ahora bien, hay múltiples combinaciones de 4 casillas situadas simétricamente en  el cuadrado que suman 34, como las 4 casillas de las esquinas, las cuatro casillas centrales…..en la siguiente imagen vemos  varias disposiciones, pudiéndose encontrar algunas más en que la suma de las cuatro casillas es 34.

Distribución de cuadrados vistos en la web de Ciencia en Acción

El Poliedro de Durero

Como dato curioso y que suele pasar  inadvertido, sobre una de las caras del poliedro que vemos  se encuentra difuminado un rostro humano

Rostro difuminado sobre una cara.

Era muy frecuente que en las pinturas y grabados del Renacimiento  figurasen poliedros y figuras geométricas, (Leonardo da Vinci, Luca Paccioli, … ) ya sea como elementos decorativos o sobre todo como ilustraciones en estudios de perspectiva.

El que aparece en este grabado  recibe el nombre de  “Poliedro de Durero” y admite varias interpretaciones  el experto en arte del Renacimiento, el alemán  Erwin Panofsky  considera que es un romboedro  truncado , un  poliedro semiregular  que se obtiene  a partir del romboedro por truncamiento de dos de sus vértices diagonalmente opuestos.
Se puede observar que los ángulos de las caras del romboedro de origen no son ángulos rectos por lo que este experto considera que no es un cubo.

Reconstrucción de un romboedro truncado hecha por  J.M. Valero Navarro

Otros autores, sin embargo, tienen claro que es un simple cubo ditorsionado  y truncado en  dos vértices opuestos.
Proyectado  adecuadamente el poliedro resulta un cuadrado como muestra la imagen.

En la Plaza de Brujas de Valencia se encuentra un Poliedro de Durero, en el fondo de la imagen se ve el busto de Luis Vives.
Es un estanque  hexagonal  con el Poliedro de Durero en el centro, las caras superior e inferior son triángulos equiláteros cuyas proyecciones forman una estrella de David, como se ve en la imagen de la reconstrucción del romboedro anterior.

Fuente de Jiménez Iranzo y Soler García con el Poliedro de Durero

Este poliedro es de piedra de Borriol con vetas grises y blancas el recercado, 120 piezas hexágonales y 66 triangulares del fondo del estanque son de mármol de Carrara, otros 120 triángulos del fondo son de  mármol azul macauba.

Cristal Trigonal Romboédrico

Por otra parte hay autores, incluido el mismo Panofski, que  consideran el Poliedro de Durero un  enorme   cristal de alunita , mineral que cristaliza en el sistema trigonal del tipo romboédrico, con cristales que se asemejan a romboedros cúbicos.

Este mineral en aquellos tiempos era de gran importancia económica y  estratégica. 
La mina más importante se encontraba en la ciudad de Tolfa en los Estados Pontificios, y algunos expertos interpretan, este poliedro, como un símbolo del poder del Vaticano de aquella época.

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El triángulo de Morley: otra maravilla geométrica

El teorema de Morley  (triángulo de Morley), como la circunferencia de 9 puntos de  Feuebarch, es otra de las maravillas de la Geometría.
Un teorema sencillo de gran belleza plástica digno de la Grecia Clásica.

Frank Morley

El teorema establece que los puntos de intersección de las tisectrices interiores de los ángulos de un triángulo, situadas cerca de los tres lados, respectivamente, forman un triángulo equilátero , llamado triángulo de Morley.

Frank  Morley (1860-1937) lo concibió en 1899  como un sencillo  ejemplo de una teoría geométrica que estaba desarrollando en ese momento  y  lo planteó como una  conjetura que no demostró.
Apareció publicado en 1900 en el primer número de la revista Anales de la Sociedad Americana de  Matemática
Una década más tarde se publicaron dos demostraciones, una trigonométrica de Satyanarayana y otra de geometría elemental de Naraniengar, en la actualidad existen numerosas demostraciones.

Lo que verdaderamente sorprendió a Morley era cómo no había sido descubierto antes y que hubiese pasado inadvertido durante tantos siglos. Quizá porque la trisección de un ángulo (uno de los tres problemas clásicos de los griegos) no se podía realizar sólo con regla y compás.

El teorema de Morley:
El teorema dice:
Sea ABC un triángulo arbitrario. Trazamos las trisectrices de cada uno de los ángulos A, B y C. Entonces las trisectrices de A y B  próximas al lado c se cortan en un punto K,  análogamente se determinan L y M.   Entonces el triángulo KLM  es siempre equilátero.

Triángulo equilátero de Morley (azul)

Curiosidades:

Lo curioso de este teorema es que numerosas construcciones distintas con las trisectrices dan  el mismo resultado: un triángulo equilátero.


Si consideramos las trisectrices exteriores de un ángulo del modo que se indica la figura de la derecha , podemos encontrar nuevos triángulos equiláteros combinando trisectrices interiores y exteriores.

Veamos varios casos:

1.- Las tres trisectrices exteriores

Triángulo de Morley (azul) con  trisectrices exteriores a los ángulos A, B y C.

Entonces podemos encontrar un triángulo de Morley:
  Podemos tomar  las trisectrices externas del triángulo ABC del modo:
Si tomo las dos trisectrices del ángulo A,  una con una del C da el vértice L y  la otra con con una del B da el vértice K y así con los otros vértices B y C obtengo el triángulo KLM equilátero. (véase la imagen)

2.-  Podemos tomar trisectrices externas de un ángulo e internas de los otros dos.
Tomando las trisectrices externas en el ángulo A y las internas del B y C obtenemos también un triángulo KLM equilátero.

Trisectrices externas de A e internas de B y C. Triángulo de Morley (azul)

 3.- Todas las externas y todas las internas de los tres vértices.

Tomando todas las  externa ( en fucsia) e internas ( en verde) de los tres vértices  nos salen tres triángulos equiláteros (en azul).
Además el triángulo formado por los vértices de estos triángulo PQR, también es equilátero.

     Como detalle observamos que los lados de todos los triángulos que se obtienen sólo "señalan" en tres direcciones.

Combinando trisectrices internas y externas salen cuatro triángulos de Morley, es más, PQR también es equilátero.

Debemos hacer notar que no se pueden tomar las trisectrices externas e internas de cualquier modo, depende como se tomen puede que no salga un equilátero.
Se ha conseguido identificar 27 triángulos obtenidos de las distintas  combinaciones de tomar las trisectrices  de los cuales 18 son equiláteros. ( según los matemáticos Oakley y Baker).

Nos fijamos en la plasticidad de las figuras y su posible aplicación en la asignatura de Plástica de la ESO, las demostraciones  se pueden obtener siguiendo las mismas pautas que en el primer caso de las trisectrices interiores.

Frank Morley en  Haverford College

Frank Morley nacido en Woodbrige (Inglaterra), se graduó en Cambridge, en 1887 se trasladó a Pennsylvania, Estados Unidos, dio clases en el Haverford College hasta 1900 año en que fue nombrado jefe del departamento de matemáticas en la Universidad de Johns Hopkins. Fue editor de la revista American Journal of Mathematics de 1900 a 1921 y presidente de la American Mathematical Society en 1919-1920.
Fue un excelente jugador de ajedrez llegando incluso a ganar alguuna partida al también matemático y campeón del mundo de de ajedrez entre 1894 y 1921  Emanuel Lasker.


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Esta entrada participa en la edición 4.1. del Carnaval de Matemáticas del mes de febrero 2013 cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron Dixit

Fibonacci y Tartaglia ( o Pascal)

Curiosa relación entre el triángulo de Pascal o de Tartaglia con la sucesión de Fibonacci.

Sucesión de Fibonacci y triángulo de Pascal o Tartaglia. Curiosa relación.

(Vista en la página 472 el libro Alex en el País de los Números de Alex Bellos. Grijalbo 2011).
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Esta entrada participa en la edición 3,1415926535  del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia)

La siempre fascinante circunferencia de 9 puntos. El Teorema de Feuerbach.

Siempre es un buen momento para dejarse llevar por la fascinación de la  geometría, y aunque mires  mil veces  una figura, un proceso, una construcción geométrica.... jamás se pierde ese hechizo.

Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834)

Un ejemplo es la  conocida circunferencia de los 9 puntos  o de Feuerbach, considerada “como una de las más bellas coincidencias de la geometría  donde todo  encaja con perfecta armonía” y que nunca nos cansaremos de contemplarla y admirar sus propiedaes.

Esta circunferencia es atribuida al matemático alemán Karl W. Feuerbach (1800-1834) y aunque  fue estudiada  conjuntamente  por los franceses Brianchon y Poncelet  en un artículo en la revista  matemática  Annales de Gergonne  (Nimes  1820-1821), recibió  el nombre de  Feuerbach  porque de manera independiente en 1822 publicó un libro en el que aparecía  la circunferencia de los 9 puntos  y además,  el  Teorema de Feuerbach y numerosas propiedades geométricas de triángulos y circunferencias asociadas a las demostraciones.

CIRCUNFERENCIA DE LOS 9 PUNTOS.

(Se puede hacer como actividad de Matemáticas y Plástica en 1º de la ESO)

Dibujamos  un triángulo cualquiera  ABC

1.- Trazamos las tres alturas que  se cortan en el Ortocentro  O.

2.-  Las alturas cortan a los lados del triángulo en  tres puntos .

3.- Por estos tres puntos, como sabemos,  sólo hay una circunferencia que pasa por los tres.

Pues asómbremonos

 Esta circunferencia que pasa por los pies de las alturas (1, 2 y 3 en la imagen).

1.- Pasa por los puntos medios de los lados del triángulo ( 4, 5 y 6).

2.- Pasa por los puntos medios de los segmentos que une el Ortocentro (O) con cada uno de los vértices del triángulo (7, 8 y 9).

Una circunferencia que pasa por nueve puntos determinados.

Dicho de otra manera:

La única circunferencia que pasa por los tres pies de las  alturas.

La única circunferencia que pasa por los tres puntos medios de los lados.

La única circunferencia que pasa por los tres puntos medios de los segmentos que une O con cada vértice.

COINCIDEN,  Las tres, son la misma circunferencia.

Esta circunferencia que fue conocida por Brianchon y Poncelet se llama de Feuerbach  porque además  demostró:

1.- El centro de esta circunferencia está en la recta de Euler (recta que contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo) y es además El Punto Medio (M) del segmento formado por el Ortocentro (O) y  Circuncentro (P)  (véase  la imagen) !!

2.- La circunferencia de los 9 puntos (en rojo en la imagen) es tangente a la circunferencia inscrita (azul) al triángulo ABC  (en el punto 1 de la imagen) y a sus tres circunferencias  exinscritas  (violetas) ( en los puntos 2, 3 y 4 de la imagen)  este enunciado constituye el  TEOREMA DE FEUERBACH.

(El punto donde se corta la circunferencia de los 9 puntos y la inscrita (1) se llama punto de Feuerbach).

CURIOSIDADES:
En los  pasos previos a la demostración de este teorema se van obteniendo resultados sorprendentes como:

(sólo vamos a enunciar los resultados, dejamos las demostraciones para otra ocasión, sólo nos interesa mostrar la sencillez de las relaciones entre radios de circunferencias , lados y área de triángulos.
También hacemos notar que aunque aquí lo vemos con triángulos acutángulos, también se verifican en los obtusángulos con pequeñas observaciones).

Notación que utilizaremos:
a)  A, p , a, b y c son el área, el semiperímetro y los lados del triángulo ABC
b)  R y r radios de las circunferencias circunscrita e inscrita a ABC
c)  ra, rb y rc radios de las circunferencias exinscritas a los lados a, b y c respectivamente

OTROS RESULTADOS SORPRENDENTES:

1.- La relación entre el  radio (R)  de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC , el radio (r)  de la inscrita y las longitudes de los lados del triángulo , siendo p el semiperímetro del triángulo es:

2.- El Área del triángulo ABC en relación a los lados del triángulo y

    2.1.-Al  Radio ( R )de la circunferencia circunscrita es

   2.2.-Al radio ( r ) de la circunferencia inscrita es   A = p · r  

3.- El triángulo formado por los puntos-pie de las alturas MNP se llama triángulo órtico y tiene las siguientes propiedades:

         3.1.- Es el triángulo de menor perímetro entre los triángulos inscritos en el triángulo ABC y su perímetro es (véase imagen)

         3.2.- El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo órtico MNP  ( la circunferencia de los nueve puntos) es igual a la mitad del radio (R) de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. ( Esta comprobación es un buen ejercicio par los alumnos de 1º de la ESO)

4.- La relación entre los radios de la circunferencia inscrita a ABC y las exinscritas cumplen las siguientes relaciones:

                 

 Y como r = A / p  ( véase apartado 2.2.) se tiene  también que

                   

5.- Y sumando las tres relaciones se obtiene fácilmente:

     o también

6.-  El Área del triángulo ABC  sería       

y más y más relaciones que nos recuerda las relaciones entre las figuras de los Sangakus que ya publicamos a principio de este año y animo ver los ejemplos.

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Esta entrada participa en la edición 3,141592653  del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión se aloja en el Blog Que no te aburran las M@tes