Juan de Aguilera - matemático salmantino - introductor del heliocentrismo en España.

Juan de Aguilera matemático, astrónomo, médico y natural de Salamanca  aunque se desconoce la fecha de nacimiento, sí se sabe que murió en 1560 en su ciudad natal.

"Cielo de Salamanca" de Fdo. Gallego

Se licenció en  Medicina en 1532,  aunque desde su juventud se interesó más por las Matemáticas y la Astronomía gracias a la influencia de Abraham Zacut (1452-1510) y Rodrigo de  Basurto profesores de la Universidad de Salamanca.

Cuando era bachiller en Medicina se imprimió la primera edición de la que sería su gran obra Canones  astrolabii universalis (1530). En 1538 ocupó una sustitución en la cátedra de Astronomía de Salamanca. 

De 1540 a 1551 se trasladó a Roma donde atendió como médico a los papas Pablo III (1468- 1549) y Julio III (1487-1555),  pero sin abandonar su estudio de las Matemáticas. También  viajó por toda Italia visitando bibliotecas, consultando libros, conociendo a hombres de ciencia y aumentando sus conocimientos tanto médicos como matemáticos. Se tiene constancia de que acudía habitualmente a las reuniones científicas que, en aquella época, se celebraban en el Palazzo Colonna.

Allí,  entra en contacto con las teorías heliocéntricas del universo y estudia el libro De Revolutionibus orbium coelestium, de Nicolás Copérnico (1473-1543),   publicado póstumamente en 1543 y  es considerado el punto inicial de la astronomía moderna.

Sistema heliocéntrico de Copérnico

Con la adquisición de estos nuevos conocimientos  completa  y perfecciona  su obra  Canones astrolabii universalis (1530)  y el resultado fue su  segunda edición en 1554 impresa por Andrés de Portonaris en Salamanca.

Este libro alcanzó gran fama en su época  porque reunió la resolución de todos los problemas de astronomía y de geometría práctica, explicándolos con gran sencillez y ordenándolos del modo más adecuado para facilitar su aprendizaje.

En  1551,  Juan de Aguilera regresó a Salamanca, y  obtuvo  la cátedra de Astronomía de su Universidad,  hasta su muerte en 1560.  En ella enseñaba  aritmética, geometría, astronomía y cosmografía, y las nuevas teorías científicas que se estaban desarrollando por  Europa. Por lo que se le considera el introductor del sistema heliocéntrico de Copérnico en España.

Canones astrolabii (1554)

Durante estos años reorganizó los estudios salmantinos (Universitas Studii Salmanticensis)  y consiguió introducir de manera oficial, la obra de Copérnico,  en los Estatutos de la Universidad de Salamanca, único centro, en el siglo XVI, que lo hizo, rubricándolos  Felipe II el 15 de Octubre de 1561, justo al año siguiente de su muerte.

 Según consta en estos  Estatutos  se permitía  al  “voto de los oyentes”,  dedicar su exposición  bien al sistema clásico de  Ptolomeo, o bien al entonces muy reciente sistema de Copérnico. Los alumnos elegían leer el Almagesto o leer el De Revolutionibus...

Estos estudios continuaron impartiéndose hasta 1616 año en que la Iglesia condenó a Galileo (1564-1642).

La introducción del estudio  de Copérnico  no   supuso  ningún conflicto ideológico, pues se fijaba más en lo avanzado de los  cálculos astronómicos para la elaboración de tablas de navegación y efemérides   que   en el aspecto  teórico y significado teológico.

Biblioteca Universidad de Salamanca

Hasta 1616, la  obra de Copérnico fue muy  utilizada por los astrónomos y cosmógrafos españoles como una nueva técnica matemática de cálculo muy precisa  y no se cuestionaban nada más.
Incluso había quien  consideraba  que las teorías heliocéntricas no estaban en contra de las Sagradas Escrituras.

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Esta entrada participa  en la edición 3,14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es PI-MEDIOS.

Don Juan o El amor a la Geometría

En la librería Central de Callao me llama la atención un libro con el título Don Juan o El amor por la Geometría, publicado en marzo de 2012 por Cátedra.
 Don Juan o El amor a la Geometría es el título de una obra de teatro del dramaturgo suizo Max Frisch (1911-1991), publicada en 1953 y estrenada el 5 de mayo del mismo año en Berlín.
Fue considerada por los críticos la mejor obra de M. Frisch, “la más elegante y mundana”.
 La obra es una excelente parodia de este personaje clásico; además, es una curiosa visión irónica y burlesca del mito de don Juan.
Es una obra original y sugerente ya que el don Juan de Frisch no es el seductor insaciable de Tirso o de Zorrilla, al don Juan de Frisch no le interesan las mujeres, lo único que de verdad le importa es el estudio de la geometría que, para él, es una ciencia clara, precisa y de gran belleza plástica.

Pero al don Juan de Frisch las mujeres le persiguen, sus maridos le retan y se ve obligado a entablar duelos y duelos y nadie entiende esa pasión por la geometría. Para liberarse de este destino, desprenderse de su papel de mito, busca una salida: fingir su muerte y así dedicarse a lo que verdaderamente ama, La Geometría.
¿Interesante su  lectura?

Toscanelli: matemático en el descubrimiento de América y en la construcción de un gnomon en Florencia.

        Paolo Dal Pozzo TOSCANELLI (1397-1482) matemático, astrónomo, cartógrafo y geógrafo florentino al que recordamos por dos hechos históricos: por un lado, su intervención en el descubrimiento del Nuevo Mundo y por otro, en la construcción del gnomon en la cúpula de la Basílica de Santa María del Fiore en Florencia.

        Estudió matemáticas en la Universidad de Padua y como astrónomo, hizo anotaciones y cálculos sobre órbitas de cometas, ya  en 1456 observó el cometa Halley.

Además, también es recordado por colaborar con Brunelleschi , en la realización de los cálculos para la construcción de la cúpula de Santa María del Fiore


 PARTICIPACIÓN EN EL DESCUBRIMIENTO DE AMÉRICA

        En 1471, Toscanelli se puso en contacto con el canónigo lisboeta Fernào Martins para convencerle de que, si navegaban hacia el oeste, la distancia entre Lisboa y las Indias Orientales sería más corta que si lo hacían como los portugueses, hacia el este por la costa africana y atravesando el Índico.

        Martins, impresionado, expuso estas ideas al rey portugués Alfonso V. Al pedirles má detalles,  Toscanelli le respondió con una carta, fechada el 25 de junio de 1474, en la que  incluía un esquema o mapa del Océano Atlántico.

        Aquí se explicaba que la distancia de Lisboa a Quinsay, “ciudad del cielo”, capital de la China Meridional  y considerada por Marco Polo como la mayor ciudad del mundo, era de unos 26 espacios de 250 millas y se llegaría a ella antes navegando hacia el oeste.

        En esta nueva ruta se encontrarían  dos grandes islas: La Isla Antilia, a 10 espacios de Lisboa, y la isla de Cipango (Japón) a otros 10 espacios y entre ellas habría una serie de islas menores que facilitarían la navegación, tal como se reflejaba en su mapa.
(En este mapa en azul clarito está la silueta de América en lugar real que le corresponde).

(Como dato curioso las primeras islas que se descubrieron en el Caribe recibieron el nombre de la mítica Isla Antilia )


        Más tarde, una copia de esta carta cayó en manos de Cristóbal Colón  que la utilizó en su primer viaje. Se sabe porque fray Bartolomé de Las Casas la menciona en su “Historia de las Indias”, donde se habla de la  ruta a la India por Occidente.

        También esta carta náutica de Toscanelli aparece pegada en la contraportada de uno de los libros que, según Hernando Colón utilizó su padre para preparar el Primer Viaje.

        El error en los cálculos de la distancia de Lisboa a Cipango se debía a que Toscanelli, basándose en los cálculos de Ptolomeo, consideraba que la tierra tenía una circunferencia de unos 29.000 km, en lugar de los 40.000 reales. ( Parece ser, que en el mapa,  también estiró un poco Asia para que la distancia fuese menor).

        Este error de cálculo tuvo un efecto relevante en el descubrimiento de América ya que Colón pudo obtener el apoyo económico de los Reyes Católicos, que no hubiese recibido si se hubiera conocido la distancia real a Cipango.  Eso sí, se mantuvo el error de que las nuevas tierras descubiertas eran de Asia Oriental.

         Toscanelli  falleció en su ciudad natal, Florencia,  en 1482 con 85 años, diez años antes de que Colón pudiera por fin hallar las tan deseadas Indias  por la ruta del oeste sugerida por aquél.


GNOMON EN SANTA MARIA DE FIORE


        Toscanelli colaboró con Brunelleschi en la construcción de la cúpula de Santa María de Fiore en Florencia. Alrededor de 1468 Toscanelli, una vez terminada la cúpula instaló, en lo alto, a 90 metros, un  gnomon que aún puede verse en la actualidad, para efectuar mediciones y cálculos, .

Cúpula de Santa Mª del Fiore con el gnomon, placa de bronce con orificio.

        A diferencia de un gnomon clásico, cuya sombra se mueve sobre un cuadrante graduado, lo construyó con una placa de bronce “bronzino” con un orifcio circular por el cual pasan los rayos del sol  y se reflejan en el piso interior del duomo en una losa circular de mármol blanco.

        Este rayo de sol deslizándose por una escala graduada en el suelo de la Basílica, fue utilizado por Toscanelli para determinar las horas del día, los puntos solsticiales, las variaciones del tiempo debidas a la precesión u oscilación de la eclíptica, y también  para corregir las tablas alfonsinas, utilizadas hasta ese momento para representar el movimiento solar.

         Tal era la precisión de este gnomon que a finales del siglo XX se utilizó para averiguar la inclinación del plano de la órbita de los planetas en relación al plano solar, comparando los cálculos tomados a lo largo del siglo.

        Toscanelli utilizó también estas observaciones para calcular las medidas de la Tierra, y perfeccionar sus cálculos cartográficos, lo que le permitió corroborar que la distancia de Europa hasta Asia oriental era más corta navegando hacia el Oeste en vez de navegar hacia el Este.


        En el siguiente video de 21 segundos vemos que, en el solsticio de verano , 21 de junio, el rayo de sol se coloca encima de la  losa circular de mármol en el suelo, en la meridiana que existe en dicha basílica.

En este otro video,  de 1 minuto 57 segundos, vemos como se mueve el rayo de sol, que entra por el orificio de la placa de bronce en lo alto de la cúpula, entre el suelo cosmatesco de Santa María del Fiore y es observado por numerosos visitantes de la Basílica.



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Este artículo participa en la edición 3,1415926  del Carnaval de Matemáticas siendo, en esta edición su blog anfitrión Series Divergentes

Geometría en Roma

Un viaje a Roma o a cualquier parte puede enseñarte que las matemáticas están en numerosos lugares, aprende a buscarlas y a disfrutar con ellas.

En esta presentación  te mostramos diferentes lugares de Roma donde las hemos descubierto, haciendo un recorrido desde lo más alto, sus cúpulas, hasta los adoquines que pavimentan las calles romanas.

Numerosos artistas a lo largo de los siglos nos las han ido trasmitiendo con su arte: Miguel Ángel y su bella y grandiosa cúpula.
Bernini y Borromini en su lucha geométrica por las formas como puedes ver en sus escaleras y en sus iglesias barrocas
Los Cosmati,con sus geometrías planas que recuerdan a la Alhambra y decoran los suelos en un sin parar de formas geométricas.
Esto es solo un resumen del contenido de esta presentación  que esperamos os despierte la inquietud por las matemáticas.

Ángulo de oro: cómo gira la naturaleza.

        El  número de oro, lo solemos encontrar como una proporción entre un segmento dado y los dos segmentos en que le dividimos.

 

        Sabemos, además, que un  rectángulo es áureo  si el cociente entre sus dos longitudes, la mayor entre la menor es el número de oro (φ).

        ¿Se podría  extender de forma análoga esta relación de segmentos a una relación entre ángulos de un círculo, o entre arcos de una circunferencia? 

     ¿Se podría encontrar un ángulo de oro?

            

Recordamos  la relación que debe cumplir  un segmento con otros dos en que lo dividimos  para que estén en proporción áurea.

        

            De manera análoga, podemos extender esta relación  y encontrar el ángulo de oro.

             El ángulo de oro  se define, como el ángulo que se obtiene al dividir el círculo en dos ángulos tales que el cociente entre el mayor y el menor sea el número fi.

ñ

 

        Al resolver esa ecuación, los valores resultantes son 222,5º y 137,5º  (redondeados a las décimas), que como era de prever, su suma es de 360º.

                El ángulo de 137,5º es conocido como ángulo áureo.

             -  ¿Podremos encontrar  ángulos de oro en la naturaleza?

        1.- Ángulo de oro y Filotaxis. 

            En el crecimiento de algunas plantas,  las hojas se distribuyen alrededor de un tallo en ángulos áureos.  (Filotaxis: disposición de las hojas en un tallo).

            Las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad posible de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo.

        A medida que el tallo va creciendo, cada hoja  brota con un ángulo fijo respecto a la hoja anterior.

        Curiosamente, el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas  y que éstas no se solapen unas con otras es el ángulo de oro de 137,5º.

        En la siguiente imagen, la de la derecha vista desde arriba,  vemos la distribución de las hojas alrededor de un tallo y observamos que ninguna hoja está completamente sobre otra anterior.

            El porqué el ángulo áureo produce la mejor disposición de las hojas alrededor de un  tallo está ligado al concepto de número irracional.

            Pues, si un ángulo es irracional por muchas veces que lo desplaces alrededor de un eje nunca regresará a la posición inicial.

            Si observamos esta imagen, en  la que vamos añadiendo hojas con un ángulo de 137,5º desde la hoja  anterior:

        a) Las dos primeras hojas están separadas el número áureo, 137,5º en un sentido o 222,5º en el otro.

        b) Las tres primeras hojas   están  bastante distanciadas unas de otras (la 2ª de la 1ª y la 3ª de la 2ª tienen una separación de 137,5º, el ángulo áureo).

     c)  Las tres siguientes, la 4,  la 5 y la 6 tienen una separación de 52,5º respecto a las más cercanas (la 1ª, la 2ª y la 3ª respectivamente).

        d) La 7ª tiene un ángulo respecto a la más cercana la 2 de 32,5º y respecto de la 4 de 52.5º así ... observamos que  ninguna hoja tapa a una inferior.

        El  video encontrado en YOUTUBE:   Ángulo de oro y FILOTAXIA subido por  C. R. IPIÉNS. nos ayuda a clarificar todo esto.

 

        A partir de 1:50 minutos tenemos la obtención del  ángulo áureo por medio de arcos de circunferencia y a partir del minuto  2:23 se explica con detalle  la distribución de las hojas alrededor de un tallo según la proporción áurea.



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Esta es la contribución de Sacit Ámetam a la edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, en esta edición el blog anfitrión es ZTFNews 

Ecuación Matemáticas ¿causa de la crisis financiera?

¿Una  ecuación matemática es la causa de la crisis financiera?

 ¿Es la ecuación de  Black-Scholes  la causa del crecimiento desmesurado de los mercados financieros, que  al estallar produjeron  la crisis actual?

En  1973 el economista americano  Robert  C. Merton (n. 1944)   publicó "Theory of Rational Option Pricing", donde explicaba un  modelo matemático de valoración de los contratos de opción, un derivado financiero,  al que llamó modelo de Black-Scholes. 
Este modelo que se basó en una ecuación que revolucionó el sistema financiero  se utiliza para estimar el valor  actual de una opción europea para la compra (Call), o venta (Put), de acciones en una fecha futura y que fue publicada poco antes en el  The Journal of Political Economy  de Chicago por  los economistas  Fisher Black (1938-1995) también americano y el canadiense   Myron Scholes (n. 1941).

R.C. Merton contribuyó a este  modelo introduciendo el cálculo estocástico en la economía financiera, lo que permitió que el comportamiento de los precios fuese descrito con el lenguaje preciso de la probabilidad.

En 1997, Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel en Economía por su trabajo; Black, el otro creador de la fórmula no lo pudo recibir debido a haber fallecido dos años antes.

La ecuación Black-Scholes:

 La ecuación Black-Scholes se aplica a las opciones, que son acuerdos o contratos de compraventa sobre futuros, por los cuales el comprador adquiere el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender cierta cantidad de un activo o mercancía  a un precio determinado en una fecha futura.

Los mercados financieros no solo establecen contratos de compra y venta a un vencimiento determinado, sino que permiten también comprar y vender esos mismos contratos antes de su vencimiento, como si fueran mercancías de pleno derecho.

La ecuación Black-Scholes  determina qué precio se debe pedir  basado en el valor probable de la mercancía en su vencimiento y calcula el precio en el que se elimina el riesgo al comprar una opción.

¿Contribuyó la ecuación a la crisis?

La  mala utilización de la  ecuación Black-Scholes, junto a otras  causas, en cierta manera, contribuyó  a la crisis del sistema financiero.

La ecuación  facilitó un crecimiento exagerado del mercado, ofreciendo precios estándar a opciones y otros derivados que funcionaban bien en condiciones normales de mercado, lo que alentó a los bancos a usarla pero se creció demasiado y muy  rápido, y  se perdió el control.

Los banqueros se olvidaron de las limitaciones de la ecuación,  no detectaron  las desviaciones de las variables que en ella intervienen, ni se dieron cuenta de la poca  precisión al medir el comportamiento de los mercados, utilizaban la ecuación como algo mágico e infalible al suponer que las  excepciones eran poco frecuentes y que existían otras maneras  de reducir o eliminar el riesgo asociado.

Los ejecutivos de los bancos no entendían de matemáticas y trataron al modelo Black-Scholes como si fuera  una certeza incuestionable y los  analistas  matemáticos no entendían qué hacían  sus jefes, pero el sistema funcionaba y generaba beneficios. Hubo falta de comunicación.

Si hay algún tipo de responsabilidad  de la crisis achacable a esta ecuación es una responsabilidad indirecta,  no por ella en sí mismo sino por  la mala utilización de personas ajenas a las matemáticas.

En la actualidad  sigue siendo válida y se sigue utilizando la ecuación  de Black-Scholes.  Pero siempre que sea utilizada lo sea  por analistas matemáticos y no por ejecutivos que se preocupan sólo de obtener grandes beneficios sin importarles que los arruinados además de quedarse sin nada deben contribuir, como contribuyentes, a  tapar los agujeros producidos en estas  entidades financieras o bancos.

Una expresión de la ecuación es

Siendo
•    C es el valor de una opción de compra, opción europea (Call)
•    P es el valor de una opción de venta, opción europea (Put).
•    S es la tasa a la vista de la divisa que constituye el objeto de la opción.
•    K es el precio marcado en la opción (Strike price).
•    T es el tiempo expresado en años que aún faltan por transcurrir en la opción.
•    rd es la tasa de interés doméstica.
•    re es la tasa de interés extranjera.
•    σ  es la desviación típica de los cambios proporcionales en las tasas de cambio.
•    N es la función de distribución acumulativa de la distribución normal.
•    N (di) y N (dz) son los valores de las probabilidades de los valores de di y dz tomadas de las tablas de la distribución normal del modo:

Esta ecuación es una de las 17 ecuaciones que se encuentran en el libro publicado recientemente de  Ian Steward titulado  “En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo”.

(A instancias del eminente inquiridor Julio Muriel, experto en ensayos  et semper fidelis al “wir müssen wissen, wir werden wissen” (Debemos saberlo, lo sabremos) del Gran  Hilbert)


    
         

Mandorla, geometría sencilla de gran simbolismo.

Visitando, este verano, el románico ilerdense del valle de Bohí (La vall de Boí)  escuché por primera vez, en Tahull,  la palabra mandorla, geometría sencilla con gran fuerza artística y simbólica.

Mandorla (del italiano mandorla, almendra),  es una figura geométrica lenticular formada por la intersección de dos círculos con el mismo radio de tal manera que el centro de cada círculo está situado en la  circunferencia del otro círculo.

Como curiosidad matemática la razón entre la altura y la anchura de la almendra es 1,7320508... = Raíz de 3.

También la mandorla se la conoce, en Arte, con el nombre de vesica piscis.

La mandorla es el marco o aureola oval o lenticular donde se insertan personajes sagrados, sobre todo  Jesucristo o La Virgen,  para darles mayor realce y majestad. Se empleó principalmente en el arte románico y en el arte bizantino.

En Tahull, el ábside de  la iglesia de San Clemente admiramos una reproducción del Pantocrátor dentro de una mandorla perlada y en el ábside de Santa María, en el centro del pueblo, otra copia de una mandorla con la Virgen y el Niño. Los originales de estas pinturas murales se encuentran en  MNAC (Museo Nacional de Arte de Cataluña).

Observamos en estas imágenes que en Santa María parece que se cumple que los centros están  en la otra circunferencia y en San Clemente no lo parece. Ahora bien hemos de tener en cuenta que la foto es un plano y el ábside no.

Simbolismo: 

Se consideraba el círculo como la figura más perfecta, la mandorla como  intersección de dos círculos que se cortan representaría la unión  de los dos mundos: el terrenal y el celestial.

Dando a entender el carácter humano y divino de la figura enmarcada, casi siempre Jesucristo.
También, si la  mandorla se encuentra en el dintel de la puerta de una iglesia,  se puede entender como el paso de lo terrenal a lo celestial de los fieles que entran en ella. Un ejemplo de este tipo de mandorla se encuentra  cerca de Tahull,  en la iglesia de Santa María de Covet, también en la provincia de Lérida.

Curiosidad Matemática:

1.-  La relación entre la altura y la anchura de la mandorla  es raíz de 3

Como otra curiosidad ambas iglesias se consagraron el mismo año, en  1123, fueron declaradas Bien de Interés Cultural en 1931 y Patrimonio de la Humanidad de la UNESCO en 2000, junto al románico del valle del Bohí.

Hay numerosos ejemplos de mandorlas, entre todos destacamos el  magnífico ejemplo de mandorla que se encuentra  en la bóveda central del Panteón de los Reyes  en San Isidoro de León que enmarca un Pantocrátor.
Las pinturas murales, del siglo XII,  en las bóvedas de este Panteón,  forman un conjunto artístico que es considerado por los expertos como  “La Capilla Sixtina del Románico”.

En este también se observa que los centros están en la otra circunferencia.

Altura que alcanza una cometa

Mi amigo  J. A. Muñoz  se ha reencontrado con lo que siempre soñó,  la utilización de cometas, que él mismo construye, en las que instala cámaras digitales de fotografías, para conseguir excelentes fotos aéreas y en las que introduce observadores de peluche protagonistas de sus experimentos.
Me hace partícipe de la historia de la utilización de  cometas para el estudio de la atmósfera  a  finales del siglo XIX y principios del  XX y de los  métodos que se  utilizaban para  el cálculo de  la altura que alcanzaban dichas cometas, por medio de procesos matemáticos y trigonométricos.

Cometa de Harry C. Sauls

El estudio de la atmosfera con ayuda de cometas consistía en elevar una meteorógrafo, a distintas alturas, que registraba datos y que luego se analizaban.
Para conseguir grandes alturas, se utilizaba  un tren de cometas, con una principal que llevaba el aparato registrador, una de seguridad y varias auxiliares encargadas de soportar el peso del cable de sujeción.

Las ventajas  que tenían  las cometas para el estudio de las capas bajas y medias de la atmósfera, en aquellos tiempos, eran :

  -  Economía de gastos de instalación y experimentación
   - Seguridad en la altura que se verifican las observaciones
   - Perfecta ventilación de los meteorógrafos utilizados.

Cometa ideado por  A.Graham Bell 

El único inconveniente era el que se precisaba  el concurso del viento.
Los primeros estudios con cometas se hicieron en el Observatorio de Blue Hill (Massachusetts) a finales del siglo XIX. El 4 de agosto de 1894, siendo A Lawrence Rotch director de dicho observatorio,  se consigue elevar un meteorógrafo en una cometa a una altura de 430 metros. A partir de ese momento se empiezan a perfeccionar  las cometas y los instrumentos meteorológicos y ya en 1900 se consigue elevar un meteorógrafo a 7.000 metros.
Pronto se extiende a Europa este modo de  estudio de la atmósfera y se realizan los primeros levantamientos de cometas en Francia, por Leon Teisserenc de Bort (1855-1913)  en el Observatorio de Trappes,  en  Alemania por Richard Assman (1845-1918) en los Observatorios de Tegel, Hamburgo y Lindenberg  y en   Inglaterra.

El  26 de julio de 1900 en el observatorio metereológico de Tegel, en Berlín, se  alcanzó una altura de 4.300 metros con una longitud de cable de 7.325 metros con un tren de cometas.

El 1 de agosto de 1919  se consiguió elevar un tren de ocho cometas en  Lindenberg  alcanzando 9.740 metros de altitud, con 15 km. de cable. Record que se mantiene hasta la actualidad.

Observación desde barcos

Samuel Franklin Cody (1861-1913) americano al servicio del ejército inglés inventó el sistema "man-lifting-sistem" para elevar por medio de cometas a un observador provisto de un telescopio, un teléfono, una máquina de fotos y un arma de fuego para observación artillera. Este método fue utilizado también desde barcos para avistar otros navíos y protección de convoyes.
Durante la I Guerra Mundial se utilizan las cometas con fines militares para observación del campo enemigo.
En la década de los años 30 se dejaron de utilizar las cometas dando paso a los mejorados  Globos-Sonda y a los primeros aviones para el estudio meteorológico.

MÉTODOS PARA HALLAR LA ALTURA ALCANZADA POR UNA COMETA:

    I.- Por la fórmula de nivelación barométrica
    II.-  Fórmula de Saconney
    III.-  Por triangulación

I.- Por Nivelación Barométrica

Es una fórmula que proporciona la diferencia de altura  entre dos puntos conocidas en esos puntos la temperatura y la presión en el mismo instante. Se precisa un meteorógrafo en tierra análogo al de la cometa para conocer en cada instante presión y temperatura en tierra y en la cometa.

II.- Fórmula de Saconney:

Observador militar

El capitán del ejército francés Jacques Theodore  Saconney (1874-1935) experimentó con cometas para uso militar, como método para la observación del campo enemigo e inicio de la fotografía  aérea durante  la I Guerra Mundial.

Este innovador científico y matemático estableció  una fórmula para hallar la altura de una cometa basándose en  la forma que adquiría el cable  al  elevarse  que  es semejante a un  arco de  circunferencia comose explica en la figura

 Dcha fórmula es:

Se obtiene del modo:

Entonces

Y por último la

III.- Método de  triangulación

Este método se utiliza cuando la cometa sea visible desde tierra.
1.- Se fijan dos observatorios  O  y O´ desde los que se ve la cometa y cuya distancia conocemos.
2.- Se hallan los ángulos de elevación desde cada observatorio a la cometa,  α  y α´
3.- Se hallan los  ángulos, sobre el suelo, formado por  la línea que une  OO´ con las líneas desde cada observatorio a P , el pie de la perpendicular de la cometa,  β  y β´ respectivamente.

 
Conocidos estos cuatro ángulos y la distancia entre los dos observatorios OO´ y utilizando trigonometría básica de 4º de la ESO.


1.- Se halla OP y O´P  lados  del triángulo OPO´ 

2.- Conocido OP se halla PC  en el triángulo OPC por la tangente.
3.- Análogamente conocida O´P se halla CP  en el triángulo O´CP y deberán coincidir.

Este método es el más exacto pero presenta el inconveniente de visualizar la cometa siempre desde los dos observatorios.

(A Juan Antonio Muñoz  biólogo,  informático y sobre todo excelente persona y a  Luís Peña, químico, que me ayudó a entender y deducir la fórmula de nivelación barométrica) 

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Este artículo participa en la edición 3,14159 del Carnaval de Matemáticas alojado en el blog anfitrión de Scientia

Templos a la geometría

En Roma y aledaños, podemos encontrar numerosos templos a la geometría.

Sta. María in Trastevere

 En la época medieval, a finales del siglo XII una familia romana de artesanos del mármol , Los Cosmati,  comenzaron a elaborar unos de los suelos más característicos de aquella época  en las iglesias de Roma  y  ciudades cercanas,  los llamados suelos  cosmatescos.

Suelos cosmatescos

El estilo cosmatesco va evolucionando, partiendo de influencias del arte bizantino (mosaicos), del islamista (geometría)  y del gusto clásico de aquella época. Durante cuatro generaciones de arquitectos, escultores y artistas de la familia Cosmati, desde Lorenzo (1140-1210) a Giovanni  (1231-1303), se cuentan  siete,  llenaron los templos del área de Roma, de bella geometría.

Sus pavimentos, con  formas y  diseños de carácter  geométrico,  se forman a base de teselas, normalmente de mármol y otras piedras, raramente vidrio,  de formas y tamaños diferentes y de variados colores que van desde el rojo oscuro de pórfido, al verde de serpentina, dejando el blanco del mármol de Carrara para el fondo. Muchas de estas teselas eran extraídas de las ruinas romanas.

Suelo de la Capilla Sixtina

El motivo principal suele ser círculos en los que se inscriben figuras geométricas de distintas formas: triángulos, paralelogramos, polígonos, círculos…y que se entrelazan entre sí por  características  bandas, formando un conjunto de extraordinaria belleza y armonía.
 
Se pasa, de forma gradual,  de las figuras redondas a las rectangulares, por medio de mosaicos semi-irregulares.

El estilo cosmatesco  fue muy imitado por otros artistas a lo largo de los siglos y en diversos lugares.  El cuadro de Los Embajadores  de Hans Holbein, el Joven, es un ejemplo.
También en la abadía de Westminster se encuentran pavimentos cosmatescos.

El interés matemático de estos mosaicos es, como cabe imaginar, indudable.

Los Embajadores de Hans Holbein

Pavimentos de este tipo se encuentran entre otras muchas en  las basílicas de  San Pedro Extramuros, Santa María de Aracoeli , San Lorenzo Extramuros, Santa María Mayor,  en Santa María in  Cosmedin , y en Santa María in Tratevere, estos últimos rehechos  y restaurados por el arquitecto Virginio Vespignani  (1808-1882) en el siglo  XIX, parece ser que respetando los dibujos y motivos originales.


 Entre las figuras aparecen triángulos de Sierpinski en rojo con pórfido y verde de  serpentina , incluso aunque no fuese un motivo original sino procedente de su restauración,  estos triángulos fuero  anteriores al nacimiento de Waclacw Sierpinski (1882-1969).

Pavimentos cosmatescos con el Triángulo de Sierpinski. En el primero aparecen en la orla exterior, en el segundo en las puntas de la estrella y en el tercero en el centro.

( El tercero, con el Sierpinski en el centro,  se encuentra en Santa María in Trastevere).

Cuando visitemos las basílicas de Roma, no miremos sólo de frente y hacia arriba, miremos también hacia abajo.

(A mis amigos de Arte: Toño Bonet, Rafa Berenguer y Joaquín Agudo)

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Esta entrada participa en la edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, siendo, en esta ocasión el blog anfitrión Gaussianos.