Revista Digital de Matemáticas Sacit Ámetam

Sangaku: matemática japonesa

2012-01-24T08:00:00.008+01:00

El nombre de Sangaku o San Gaku se refiere a unas tablillas de madera en las que se grababan problemas matemáticos, principalmente geométricos, y que creadas durante el periodo Edo (1603-1867) en Japón.

Durante este periodo Japón se encontraba aislado del mundo occidental, periodo en el que no mantuvo ninguna relación ni con el pensamiento ni con las ideas científicas ni matemáticas desarrolladas en occidente.

Los Sangaku eran unas tablillas de madera que contenían problemas, principalmente de geometría, con figuras de vivos colores, que es lo que llama más la atención y que colgaban en los santuarios sintoístas y templos budistas como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y visitantes para encontrar su solución.

La pretensión de los matemáticos japoneses era que con la contemplación de estas tablillas se llegara a una percepción estética que nos hace sentir la existencia de una armonía y que nos lleva a poner en funcionamiento la razón para intentar explicar dicha armonía.

Muchas de estas tablillas se perdieron. En la actualidad se conservan algunas más de 800. La tablilla Sangaku más antigua que se conserva es de 1686 en Tochigi.

Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas Sangaku, en 1789, y una segunda parte en 1806.

En 1989 el matemático japonés H. Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.

La mayoría de los sangaku trata de la geometría euclidiana y específicamente sobre triángulos, cuadrados, círculos, elipses, esferas, figuras inscritas en otras figuras. También , podemos encontrar, cálculo de volúmenes de distintos cuerpos geométricos, para lo que se requiere el cálculo integral.

Encontramos, también, sangakus que tratan sobre ecuaciones diofánticas, además de problemas algebraicos y aritméticos.

Gran parte de los problemas entrarían en la categoría de matemáticas recreativas o educativa pero algunos son versiones japonesas de teoremas como

1.- El Teorema de Malfatti ( inscribir tres círculos en un triángulo de modo que todos los círculos sean tangentes entre sí y también tangentes, cada uno, a dos lados del triángulo),

2.- El Teorema de Casey (nos da unla condición necesaria y suficiente para que cuatro circunferencias sean tangentes a una quinta circunferencia, generaliza el teorema de Ptolomeo).

3.- El Teorema de los círculos tangentes de Descartes, también llamado "fórmula de Descartes" ( en la que halla le relación entre los radios de cuatro círculos , todos tangentes entre sí. ) y

4.- El Teorema de Soddy ( tres circunferencias tangentes entre sí, sólo tienen dos circunferencias, tangentes a las tres, que luego generalizó a esferas).

Ejemplos de Sangakus:

Hemos elegido 13 sangakus, para hacernos una idea de qué tipo de problemas se encontraban en esas tablillas. También hemos puesto la solución, para animaros a intentar resolverlos.

Algunos de los 10 primeros sangakus se podrían intentar resolver en una clase de secundaria, los tres últimos tienen la categoría de teoremas.

- Cinco Sagakus ( 1 a 5 ).

- Más sangakus (6 al 10 ).

- Tres últimos sangakus (11,12 y 13).

-----------------------------------------------------------

---

Esta entrada participa en la edición 2.X. del Carnaval de Matemáticas. Esta edición tiene como blog anfitrión al blog Resistencia Numantina.

-------------------------------------------------

Cinco sangakus ( del 1 al 5)

2012-01-24T07:45:00.006+01:00

Sangaku nº 1
Proviene de la prefectura de Gumma en 1824
Tres circunferencias tangentes entre sí y a una recta como se ve en la figura.
Se pide determinar el radio de la circunferencia más pequeña (t) conocidos los radios de las otras dos circunferencias ( r y s)

Sangaku nº 2

En una circunferencia inscribimos un triángulo rectángulo.
Trazamos tres círculos tangentes a los lados del triángulo y a la circunferencia exterior.

Encuentra la relación entre los radios R1 (círculo rojo) , R2 (círculo verde) y R3 (círculo amarillo) de los tres círculos inscritos respectivamente entre la hipotenusa, cateto vertical y cateto horizontal y la circunferencia

Sangaku nº 3

Curioso problema escrito en una tablilla en la prefectura de Miyagi en 1913.

Tres cuadrados azules se trazan según la figura adjunta, dentro de un triángulo rectángulo.

Trazamos, luego, tres círculos tangentes.

¿Qué relación hay entre los radios de los tres círculos verdes?

Sangaku nº 4
Hallado en la prefectura de Gumma en 1803.

Tenemos un círculo C3 que contiene

1.- Un círculo C1(rojo) cuyo centro est á en el diámetro del círculo C3 y del que es tangente interior.
2.- Un triángulo isósceles T (azul) cuya base está en el diámetro de C3.
3.- Un círculo C2(verde) tangente exterior a T y C1 y tangente interior a C3.

Entonces, el segmento desde el centro de C2 y el punto donde se tocan T y C1 es perpendicular al diámetro.

Sangaku nº 5

Tenemos un triángulo equilátero de lado l y dentro de él:

Dos círculos, con el mismo radio, inscritos entre el triángulo equilátero y los dos segmentos.

Halla la relación entre el radio de los círculos, r, y el lado del triángulo, l.

Otros cinco sangakus ( del 6 al 10)

2012-01-24T07:40:00.001+01:00

Sangaku nº 6

En un triángulo rectángulo inscribimos :
Un triángulo equilátero, un cuadrado y un círculo tangente a las tres figuras anteriores.
Encuentra la relación entre el lado del triángulo equilátero l y el cateto vertical c

Sangaku nº 7

En un cuadrado de lado l, trazamos sobre los vértices de la base dos arcos de circunferencia de radio l, hasta los vértices superiores.
Trazamos dos círculos tangentes al lado del cuadrado y esos dos arcos.

Encuentra la relación entre el radio R del círculo grande (azul) y el lado del cuadrado.
Así mismo halla la relación entre el radio r del círculo pequeño (verde) y el lado del cuadrado l.

Sangaku 8
En un círculo de radio A trazamos una cuerda, dos círculos pequeños (verdes) del mismo radio r y otro círculo inscrito de radio R (rojo).

Encuentra el valor del radio r, de los círculos pequeños, en función del radio R y de A

Sangaku nº 9
Trazamos dos sectores de círculos concéntricos tales que el radio del mayor sea el doble del radio del menor.

Y dentro de él :
Inscribimos los círculos de la figura.
La figura es simétrica respecto un eje vertical que pasa por el centro de los sectores.

Encuentra la razón entre los radios de los círculos más pequeños r y R (Azules y rojos)

Sangaku nº 10
Tenemos cinco círculos inscritos en una circunferencia de radio R del modo que se indica en la figura.
Los tres círculos pequeños (azules) tienen el mismo radio, r, y los dos más grandes (verdes) tienen, también el mismo radio.

Halla la relación entre R, radio del círculo mayor, y r
.

Tres interesantes sangakus (del 11 al 13)

2012-01-24T07:36:00.000+01:00

Sangaku nº 11 . “Primer Teorema Japonés”.
.
Llamado también “Primer Teorema de Mikami-Kobayashi” y dice:

"Si en una circunferencia de radio r inscribimos un polígono convexo de n lados y desde un vértice cualquiera trazamos todas las diagonales que parten de ese punto. La suma de los radios de todas las circunferencias inscritas en los triángulos formados es independiente de la triangulación elegida, es decir, del vértice que elijamos para realizar la triangulación”.

Veamos el enunciado en una figura:

1.- Construimos un hexágono inscrito en un círculo.
2.- Hacemos una triangulación desde A ( figura de la izquierda) y otra desde F (figura de la derecha)
3.- Inscribimos en cada triángulo obtenido un círculo

Entonces por este teorema la suma de los radios de los cuatro círculos de la figura de la derecha coincide con la suma de los radios de los cuatro círculos de la izquierda.

La pista para su demostración es utilización del Teorema de Carnot en cada uno de los triángulos inscrito en el polígono.

Teorema de Carnot: En un triángulo cualquiera trazo la circunferencia inscrita y la circunscrita, entonces la suma de las distancias del circuncentro a los tres lados es igual a la suma de los radios de las dos circunferencias.

Sangaku nº 12 "Segundo teorema de Mikami-Kobayashi”

También llamado Segundo Teorema Japonés, este teorema nos dice
que al unir los incentros de los triángulos formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se forma un rectángulo.

Mirando la figura:

1.- Inscribo un cuadrilátero ABCD en una circunferencia, obtengo cuatro triángulos: ADC, DCB, CBA y BAD
2.- Hallo los incentros de cada uno de estos triángulos, que equivale a hallar los centros de las circunferencias inscritas en cada uno de los triángulos.
3.- Uniendo dechos centros abcd obtengo un rectángulo

La idea básica de la demostración es probar que los ángulos del cuadrilátero formado por los incentros son rectos y por lo tanto es un rectángulo.

Sangaku nº 13 Collar de esferas o Collar de Soddy

Este problema de la prefectura de Kanagawa de 1822 colgado en el santuario de Kōzagun por Yazawa Hiroatsu, se anticipa en más de cien años al trabajo del químico Frederick Soddy (1877-1956) premio Nobel de Química en 1921 .

Dos esferas A y B ( roja y naranja) tangentes entre sí están inscritas en una gran esfera C.

El problema es determinar el número de esferas que forman el collar, o sea, esferas de distintos tamaños tangentes a las dos que están a su lado y a las tres esferas dadas A B y C.

Además se pide encontrar los radios de las esferas que forman el collar en función de los radios de A, B y C.

La solución viene dada por el teorema del Sexteto de Soddy (1937) que nos dice que habrá sólo 6 esferas.

Persistencia de la Geometría. Exposición en Madrid

2012-01-03T10:20:00.016+01:00

Desde el 16 de diciembre hasta el 25 de marzo de 2012 podemos admirar en en CaixaForum, Madrid, la exposición titulada La persistencia de la geometría, en la que se hace un recorrido que explora el uso de las formas geométricas en el arte del siglo XX, siglo en que la geometría ha sido compañera inseparable del arte de vanguardia.

La geometría nunca ha dejado de estar presente en el arte, aunque ha sido en el siglo XX cuando más se ha teorizado sobre su uso.
En las primeras décadas estuvo íntimamente ligada a los conceptos de abstracción y modernidad, y fue vehículo de idealismos y utopías, su empleo facilitó el alejamiento de la representación de la realidad y alentó a crear un nuevo lenguaje visual que encarnara las ideas de belleza perfección y armonía.
A mitad de siglo, las obras que caen bajo las categorías del minimalismo, posminimalismo y arte conceptual comparten la necesidad de reducir la obra a una forma elemental (cubo, círculo, etc.), un sistema matemático (retícula, serialidad) o un gesto repetitivo. Sus artífices purgaron el arte abstracto de contenidos simbólicos y lo bajaron del pedestal idealista para situarlo al mismo nivel que las cosas del mundo.
En la época de los 60 las formas geométricas de la escultura se extendieron a otras prácticas- que abarcaban instalaciones, películas, vídeos y fotografías- con las que exploraron distintos aspectos de la construcción de la obra de arte: su naturaleza performativa, el proceso, las propiedades de luz, el carácter temporal de la percepción…
A partir de entonces y hasta la actualidad, los caminos de la geometría se despliegan en diferentes propuestas para adentrarse tanto en lo sensorial como a una reflexión de índole cultural, y adquirir una dimensión social y política.

LA EXPOSICIÓN: Persistencia de la Geometría

La exposición muestra que la geometría ha sido en todas las épocas un símbolo de pureza, inteligencia y perfección, y que en la época actual su presencia condiciona toda nuestra vida, tanto en la realidad física del espacio urbano y los productos industriales, como en las pantallas que nos trasladan a la virtualidad del ciberespacio.

La geometría ha proporcionado, en estas últimas décadas, formalizaciones a un amplio espectro de prácticas artísticas.

En esta exposición encontramos una selección de 96 obras de 31 artistas procedentes de las colecciones del (Museo de Arte Contemporáneo de Barcelona) MACBA y de la Fundación ”la Caixa”.
Se presentan siete aspectos de la geometría:
1.-Formas esenciales: que partir de un vocabulario esencial de formas geométricas silencia la expresión emocional del artista y se centra en su propia materialidad y forma con obras de Hans Haacke, Donald Judd, Richard Long, James Turrell
2.- Geometría en acción, la geometría se entiende como algo en constante transformación interactuando con el espacio hay obras de Eleanor Antin, Bruce Nauman, Angels Ribé, Francesc Torres,..
3.- Dibujar el espacio, la línea es la unidad básica a partir de la cual se crean nuevas estructuras con obras de Armando Andrade, Waltercio Caldas, León Ferrari, Gego,…
4.- Geometría Poética, con un acercamiento a los ideales de orden y perfección a partir de los componentes básicos de la pintura: el color, la forma, la luz y la textura. Con la obra de Ettore Spalletti.
5.- Minimalismo en expansión, utilizando formas geométricas sencillas y repeticiones modulares dotan de un nuevo sentido a las formas del minimalismo con obras de Absalon, Sergi Aguilar, Jordi Colomer, Rodney Graham, Pello Irazu,…
6.- Estrategias geométricas la obra expuesta de Damián Ortega se desvincula las formas geométricas del idealismo y las convierte en protagonista de una narración.
7.- Intersecciones en arquitectura, exploración de la arquitectura a partir de la geometría y su papel en la organización de los espacios tanto privados como públicos. Con obras de Mat Mullican, David Maljkovic Dan Grahamm..

Matemáticas y literatura: Raymond Queneau

2011-12-22T15:04:00.028+01:00

La semana pasada la Editorial Demipage presentó el libro Cien mil millones de poemas, como homenaje, en el 50º aniversario, a la obra Cent mille milliards de poèmes de Raymond Queneau

Raymond Queneau escritor y matemático francés nació en 1903 en Le Havre, murió en París en 1976.
En 1924 tuvo su primer encuentro con los surrealistas. Su relación con André Breton , Jacquet Prévert, Georges Duhamel e Yves Tanguy contribuyó de manera decisiva a su vocación literaria.
Aunque su filiación al surrealismo no fue muy duradera ya que Raymond Queneau inició una evolución más personal, que se caracterizó por la tendencia a tomar el lenguaje como elemento de experimentación formal y que le hizo inclinar hacia un pensamiento matemático de la literatura. Queneau utilizó la matemática para trabajar la palabra como estructura aritmética y de intercambio lo que le llevó a alejarse del surrealismo.

Su pasión por las matemática, los enigmas y los juegos estratégicos, le sirvió para construir mundos científicos imaginarios que el denominaba “patafísicos” como en Les temps mélés (1941) y Saint Glinglin (1948).
Pero es con Ejercicios de Estilo (1947) cuando alcanza el culmen de esta forma de literatura, en ella se presenta hasta 99 formas distintas de contar un suceso simple y cotidiano ocurrido en un autobús, relato que sorprende al lector y que es difícil de clasificar dentro de la literatura.

Como matemático, participó en el colectivo Nicolás Bourbaki, en concreto en la elaboración de los Elementos de la Historia de las Matemáticas.

En 1960 creó el grupo OULIPO ( OUvroir de LIterature POtentielle, Taller de Literautra Potencial), grupo que contempla la introducción de las estructuras matemáticas en la creación literaria y cuya intervención era explorar los juegos y las combinatorias posibles dentro de las reglas convencionales de la literatura.
A este grupo pertenecieron los escritores Italo Calvino y George Pérec.

Este movimiento se caracterizó por la estrecha colaboración entre matemáticos y literatos. Dos de sus fundadores, Raymond Queneau y François le Lionnais eran matemáticos, entre las incorporaciones posteriores destacamos a la catedrática de la Universidad de Estrasburgo especialista en Geometría Simpléctica Michêle Audin.

Para OULIPO la matemática es cultura en sí misma, como objeto y como construcción abstracta del pensamiento generadora de lenguajes para la ciencia, o como materia prima de técnicas capaces de revolucionar todo tipo de campos.

OULIPO no genera normas artísticas, sino procedimientos de creación como la matemática.

"La idea era la de inventar nuevas formas poéticas o novelescas, a través de un intercambio de técnicas entre matemáticos y escritores" . Numerosas personas en la actualidad, sin pertenecer de manera oficial al Taller, generan literatura oulipiana y han escrito sorprendentes textos sujetos a constricciones de tipo matemático.

CIEN MIL MILLARDOS DE POEMAS

La semana pasada la Editorial Demipage presentó el libro Cien mil millones de poemas, como homenaje , en el 50º aniversario de la obra mítica Cent mille milliards de poèmes de Raymond Queneau publicada por la Editorial Gallimard en 1961
Cent mille milliards de poèmes es la obra más representativa del Taller de Literatura Potencial (OULIPO), colectivo de poetas y matemáticos que investigaban nuevas formas de creación.

En Cent mille milliards de poèmes se proponen 10 sonetos, cuyos versos son combinables, al estar cada uno en tiras distintas y que permiten hasta 100.000 millardos de combinaciones posibles, 100 millones de millones de sonetos distintos.
Todos los poemas obtenidos son auténticos sonetos, las estructuras gramaticales de los poemas origen son idénticas, isomorfas, lo que hace que todos los poemas distintos que se obtienen tengan sentido.
Este libro se considera una máquina de hacer sonetos.

Con este motivo, 10 autores y poetas de la élite de la literatura hispana homenajean a Raymond Queneau creando cada uno un soneto con la misma estructura y rima para dar lugar a este mismo número de combinaciones, es decir 10 elevado a la 14 sonetos distintos, y “dar vida a este objeto imposible” que ya constituye una joya de la literatura contemporánea.

Los encargados de firmar este libro son: Jordi Doce ; Marta Agudo; Fernando Aramburu; Rafael Reig; Pilar Adón; Julieta Valero; Javier Azpeitia; Santiago Auserón; Francisco Javier Irazoki; Vicente Molina Foix.

CURIOSIDADES DE CENT MILLE MILLARDS DE POÉMES

1.- ¿Es correcto el título?
El hecho de que en francés se utilice la palabra milliard para mil millones da sentido al título. Lo curioso es que la Real Academia de la Lengua Española admite el término millardo para mil millones desde 1995, por ello no comprendemos que el título del libro publicado, la semana pasada, sea Cien mil millones de poemas cuando debería ser cien mil mlillardos de poemas, el título sacrifica la exactitud semántica en aras de la analogía fonética con el libro francés.

2.-¿Cuántos poemas se forman y cuánto tardariamos en leerlo todos?

En Cent mille milliards de poèmes, Queneau escribe 10 sonetos, que se imprimen sobre 10 páginas –uno por página–, y los 14 versos se recortan en tiras. De esta manera, se puede hojear el libro y encontrarse leyendo el primer verso del tercer poema, seguido del segundo verso del octavo, del tercero del primero, etc.

Son Cien mil millardos de poemas, porque hay 10 elecciones para el primer verso, 10 para el segundo y así hasta el decimocuarto verso, por lo tanto 10 elevado a 14 que es lo mismo que la unidad seguida de 14 ceros, o 100.000 veces mil millones es decir, cien mil millardos o también 100 billones de poemas.
Leerlos todos supondría, más de un millón de siglos de lectura, como calcula el propio Queneau.

Contando 45 segundos para leer un soneto y 15 segundos para cambiar las tiras, 8 horas de lectura al día, 200 días de lectura al año, se tiene para un millón de siglos de lectura.

Todos los poemas obtenidos tienen sentido, porque Queneau los compone siguiendo unas determinadas reglas: se trata de un libro-objeto, con el que cada persona tiene la posibilidad de combinar por si misma los versos para componer su propio soneto.

Queneau consolidó su popularidad con el libro Zazie dans le métro con el que obtuvo un obtuvo un importante premio por su humor negro, y fue llevada a la gran pantalla al año siguiente por el gran director de cine francés Louis Malle.

Raymond Queneau como Jorge Luis Borges nos muestran la dificultad de enfrentarse con el infinito, incluso con las mejores herramientas: la poesía y las matemáticas.
( En recuerdo a Rodrigo López Carrillo, gran conocedor de la obra de Queneau y con quien "compartí" su tesis doctoral sobre Zazie dans le métro)
--------------------------------------------------------------------------------
Esta entrada participa en la edición 2.9. de Carnaval de Matemáticas de diciembre de 2011.
En estaedición el blog anfitrión es Que no te aburran las m@tes

-------------------------------------------------------

Nicanor Parra, poeta y matemático, Premio Cervantes 2011

2011-12-01T18:39:00.013+01:00

Hoy 1 de diciembre el poeta y matemático chileno Nicanor Parra Sandoval ha obtenido el Premio Cervantes de la Lengua Española.

Nació en 1914 en San Fabián de Alico Chile. En 1932 Parra marchó a Santiago para finalizar sus estudios secundarios, ingresando al año siguiente al Instituto Pedagógico de la Universidad de Chile, donde estudió matemáticas y física.

En esta época comienza a tomar contacto con las vanguardias literarias y artísticas, principalmente con el surrealismo, y a relacionarse con otros poetas como Pablo Neruda (1904-1973) y Vicente Huidobro (1893-1948).
En 1935 comenzó a publicar, junto a Jorge Millas y Carlos Pedraza, la Revista Nueva, donde apareció su primer anticuento Gato en el camino. En ese mismo año publicó su primer libro Cancionero sin nombre.
En 1937 regresó a Chillán, cerca de su pueblo natal, donde fue profesor de matemáticas y física en el liceo donde había estudiado. Al año siguiente obtiene el Premio Municipal de Santiago por su contribución a la física y la matemática.

Viaja a Estados Unidos, en 1943, con una beca para realizar estudios de postgrado de Mecánica en la Brown University (Rhode Island). Regresa a Chile en el 45 y tres años después es nombrado director de la Escuela de Ingeniería de la Universidad de Chile.

Viaja a Inglaterra y comienza a gestar sus antipoemas como oposición a la poesía tradicional de Neruda.
En 1952 regresa a Estados Unidos donde continua sus estudios en el campo de la física, lo que le supuso una intensa actividad investigadora.

En 1954, Nicanor Parra publica Poemas y Antipoemas, su segundo libro, obra fundamental que produce un corte radical en la poesía chilena e hispanoamericana, y marcó la irrupción del modelo antipoético, donde la poesía se caracteriza por el uso de lenguaje coloquial donde abundan los absurdos, los clichés y la burla acerca del lenguaje, el objeto y el autor.

La década de 1960 fue especialmente activa en cuanto al número de publicaciones y su nivel sobresaliente. Entre las numerosas distinciones que le fueron otorgadas a Nicanor Parra, se destacan el Premio Nacional de Literatura (1969) y el internacional Juan Rulfo en su primera entrega (1991) y el Reina Sofía (2001).

En el año 2006 presentó su libro Obras Completas I & algo +, que llegó a ser el libro más vendido en la Feria del Libro chilena.

Es hermano de la cantautora chilena Violeta Parra, fallecida en 1967.

Ha salido el boletín nº 26

2011-11-30T09:40:00.001+01:00

Acaba de salir el boletín nº 26 correspondiente a diciembre de 2011.

Este boletín es un monográfico del Triángulo de Reuleaux
en el veremos.

1.- ¿Cómo construir un triángulo de Reuleaux?
2.- Figuras de ancho constante tapas de alcantarillas que no caen por el agujero.
3.- ¿Existen brocas para realizar agujeros cuadrados?
4.- Aplicaciones mecánicas de este triángulo: Motor Wankel.
5.- Triángulo de Reuleaux como elementos decorativos en claustros góticos.
6. -Edificios actuales con planta de este triángulos.
7.- Otros objetos con esta forma.

Puedes leer el artículo del Blog sobre el Triángulo de Reuleaux

Puedes descargarte este boletín en la Página de Boletines. de Sacit Ámetam donde encontrarás los 26 editados.
.
.

Cita del Boletín nº 26

2011-11-30T09:00:00.005+01:00

La cita que figura en el boletín nº 26 es de Pitágoras

" Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres"
Pitágoras ( 528 a. C. - 507 a.C. )

Elecciones Generales y Matemáticas

2011-11-04T07:54:00.012+01:00

El próximo 20 de noviembre tenemos elecciones generales.

Con motivo de las elecciones del año 2008 dimos respuesta a las siguientes preguntas. Respuestas que son válidas para las próximas elecciones y de interés para conocer cómo es el sistema electoral español.

1.- Qué es una ci rcunscripción y cual es la Ley Orgánica de Régimen Electoral General que rige las elecciones .

2.- ¿Cuántos diputados se asignan por circunsc ripción o provincia y cómo se hace?

y una vez realizadas las votaciones cuántos y como se eligen los diputados por circunscripción

3.- ¿Cuántos diputados le corresponden a cada partido en una provincia?

Arte contemporáneo y Matemáticas

2011-10-25T20:00:00.021+02:00

¿Qué tienen en común los directores de cine David Lynch y Takhesi Kitano, la cantante Patti Smith, los fotógrafos Hiroshi Sugimoti y Raymond Depardon, la artista plástica Beatriz Milhazes y las Matemáticas?

El 21 de octubre La Fundación Cartier de París, inauguró la exposición Mathématiques un dépaysement soudain que se podrá disfrutar hasta el 18 de marzo de 2012.

Durante tres años la colaboración entre artistas de la talla de David Lynch, Patti Smith, Raymond Depardon, Takeshi Kitano o Hiroshi Sugimoto, y científicos y matemáticos como Misha Gromov, Don Zagier, Michael Atiyah o Cédric Villani han hecho realidad esta exposición.

Se pretende, "convertir el pensamiento abstracto de las matemáticas en una experiencia sensible e intelectual apta para todos" según palabras del director de la Fundación Hervé Chandès.

"Su objetivo es convertir las matemáticas en una especie de experimento sensorial, que los artistas imaginen su obras inspiradas en la lógica científica, y encontrar maneras nuevas de ilustrar lo abstracto" explica uno de los comisarios de la exposición, Thomas Delamarre.

Se busca provocar en el visitante esa "desconexión repentina" (dépaysement soudain) que da título a la exposición expresión con la que el matemático Alexandre Grothendieck (nacido en Berlín 1928, medalla Fields en 1966)) define esta disciplina.

La idea de que esté instalada en la Fundación Cartier y no en un Museo de las Ciencias es porque no se quiere explicar conceptos o teorías matemáticas, sino transmitir el gusto por el pensamiento matemático a través de un lenguaje estético. Queremos demostrar que las matemáticas pueden ser elegantes y divertidas como asegura Delamarre.

Pese a lo inédita y especializada que pueda parecer, la muestra se dirige al gran público, no es necesario saber matemáticas. Los artistas elegidos para participar son ampliamente conocidos, abiertos y curiosos y han aceptado este reto de buscar respuestas estéticas a las matemáticas.

Participantes en la exposición:

1.- Entre ellos figura el director de cine David Lynch (nacido en Montana, 1946), Lynch ha imaginado una estructura en forma de cero, que conduce al visitante hacia la denominada Biblioteca de los Misterios. En su interior, Lynch repasa, a través de vídeos y sonidos sugerentes, la historia de las matemáticas. Los grandes matemáticos pasan por el filtro lynchiano, que convierte sus teorías y hallazgos en inquietantes proyecciones de caleidoscopio.

En la sala contigua, Lynch junto a Takeshi Kitano, cineasta japonés nacido en 1947, y Beatriz Milhazes han ideado la escenografía de la Sala de los Cuatro Misterios, en la que se exponen los últimos avances de la investigación matemática a través de otro vídeo filmado por Lynch en el CERN de Ginebra.

2.- La cantante y compositora estadounidense Patti Smith, ( nacida en Chicago, 1946) se suma al proyecto cantando textos del gran matemático Misha Gromov, ( matemático ruso nacido en 1943, recibió el premio Abel en 2009).

"Siempre he adorado la perfección de la geometría, aunque mi relación con ella es de orden estético. Esta exposición celebra ese tipo de belleza intrínseca y nos recuerda que la matemática es la reina de las ciencias", asegura Smith.

3.- Por su parte, el artista conceptual japonés Hiroshi Sugimoto, (fotógrafo japonés nacido en 1948) el más familiarizado de los presentes con el universo matemático, contribuye a este exposición de las ciencias exactas con una escultura de tres metros de altura que traduce la abstracción matemática.

4.- El fotógrafo y documentalista francés Raymond Depardon, (nacido en 1942) realiza para la muestra un documental en blanco y negro, como una tiza sobre la pizarra, donde se entrevista a varios matemáticos y se comprueba la pasión por esta ciencia y la plasticidad de sus diagramas y teoremas. Se concluye de manera directa que las matemáticas son una experiencia de gran valor estético .

5.- la artista brasileña Beatriz Milhazes, nacida en 1960, inspirándose en las tablillas de Sangaku que los japoneses en el siglo XVIII colocaban en sus templos con ilustraciones de figuras geométricas , ha compuesto un collage en el que las ecuaciones que gobiernan fenómenos como la irisación, el vuelo de las aves o la morfogénesis hacen entreveer la matemática que hay detrás. "incluso el fuego se rige por los números".

En esta exposición se consigue ver el gran poder estético y sensorial de las matemáticas en manos de grandes artistas, se visualiza los grandes conceptos y teorías para crear belleza.

Una buena razón para visitar París. este invierno.

( de un artículo de Público de Alex Vicente París publicado el 21/10/2011))

Triángulo de Reuleaux

2011-10-17T08:06:00.004+02:00

El triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante, es decir, la distancia entre cualquier punto de una de las curvas y el vértice opuesto es la misma y que tiene, además, la propiedad de que puede rodar entre dos rectas paralelas tocando siempre un punto de una y otro punto de la otra.
Esta curva fue desarrollada como una forma de mecanismo útil por Franz Reuleaux (1829 – 1905) ingeniero alemán al que se considera el padre de la cinemática.

Construcción de un triángulo de Reuleaux:
Se obtiene partiendo de un triángulo equilátero de lado L .
Trazamos, con centro en cada vértice, arcos de circunferencia de radio L entre los dos vértices opuestos.
También se obtiene como la intersección de tres circunferencias.
Perímetro y Superficie de un triángulo de Reuleaux.

El perímetro de dicho "triángulo" es la suma de los tres arcos de circunferencia de radio L, siendo L el lado del triángulo equilátero, y es el mismo perímetro que el de todas las curvas de anchura constante L, igual a la longitud de una circunferencia de diámetro L y coincide con el producto de la distancia entre las paralelas, respecto a las que tiene longitud constante, multiplicada por PI (Teorema de Barbier) .

La superficie de este "triángulo" de diámetro L es la menor de entre todas las figuras de un ancho constante dado: L , siendo el círculo de diámetro L la figura de mayor superficie de todas ellas. ( Teorema de Blaschke- Lebesgue).

El área de dicho triángulo y el perímetro de dicha figura viene dado por las igualdades:

Curiosidades del Triángulo de Reuleaux:

1.- Alcantarillas con tapas que no caigan en el agujero.
Debido a que todos las distancias de un vértice al arco opuesto son iguales , el triángulo Reuleaux, responde a la pregunta "Además de un círculo, ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través del agujero?"
En San Francisco (California) podemos encontrar este tipo de tapas de alcantarillas del Departamento de Aguas de San Francisco (SFWD).

2.- Figuras de ancho constante utilizadas como rodillos.
Existen figuras distintas del círculo con la propiedad de que en cualquier dirección que se tomen, su ancho es el mismo y por tanto, usadas como secciones de rodillos, funcionan tan bien como los rodillos circulares.
La figura más sencilla después del círculo con esta propiedad es el triángulo de Reuleaux. El que sea de ancho constante, implica que si inscribimos el triángulo entre dos paralelas, siempre las tocará, giremos el triángulo como lo giremos.
Si además de esas dos paralelas, pongo otras dos perpendiculares (formando un cuadrado en la intersección), el triángulo deberá SIEMPRE tocar las cuatro lineas, los cuatro lados del cuadrado, se le gire como se le gire:
Aunque, no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotación, el centro describe un pequeño círculo.

3.- Brocas para hacer agujeros cuadrados
Puede resultar extraño, pero este triángulo permite construir brocas para hacer agujeros prácticamente cuadrados. El área que describe esta broca al girar cubre un 98,77 % del área de un cuadrado, con las esquinas ligeramente redondeadas, y permitiendo la realización de tan peculiar agujero. Esta broca fue inventada en 1914 por Harry Watt.

Pero nos falta un detalle, que la taladradora tenga el eje descentrado, que describa un pequeño círculo en cada rotación, para que al girar la broca perfore un sección cuadrada,
(Vemos en el siguiente video una animación de cómo funcionaría una "broca de Reuleaux" para hacer un agujero cuadrado).

4.- Motor Wankel

El motor Wankel es un tipo de motor de combustión interna, que fue inventado por Félix Wankel en 1924 y que en vez de pistones como los motores convencionales utiliza un rotor, en forma casi de triangulo de Reuleaux. ( los vértices están un poquito curvados)
Aunque con algunos inconvenientes se fabricaron motos Norton y Suzuki RE-5 con este tipo de motor y de forma ocasional coches como el Ami M-35 de Citroën entre 1961 y 1979 o el C-111 de Mercedes Benz también en los años 60 y 70 .
Mazda es la marca que más modelos de coches a fabricado con este tipo de motores, como curiosidad en 1991 Mazda consiguió vencer en las 24 horas de Le Mans con el modelo 787B con un motor con cuatro rotores wankel . Hace pocos años, en 2003, Mazda relanzó el motor wankel con su modelo RX-8 con dos rotores, en la foto aparece el modelo fabricado en 2010.

5.- Arquitectura

Esta figura por su elegancia y por la sencillez de su trazado ( intersección de tres circunferencias) ha sido un motivo muy utilizado en arquitectura sobre todo en el periodo del Arte Gótico, vamos a destacar:
En El Monasterio de Nuestra Señora de la Oliva , en Carcastillo, (Navarra) (foto izqda.) y en la Catedral de Ciudad Rodrigo (Salamanca) (Foto derecha) vemos dos ejemplos de este triángulo en la decoración de sus claustros.

En el claustro de la Abadía cisterciense de Hauterive fundada en 1138, en Posieux (Suiza) podemos también observar tres triángulos de Reuleaux inscritos en una circunferencia. Observemos la cantidad de geometría que hay en los distintos arcos de este claustro.

En Madrid la Torre Sacyr , el tercer rascacielos más alto de España, con 52 plantas y una altura de 236 metros, acabada de construir en 2008 tiene planta de Triángulo de Reuleaux.

Entre objetos con forma de Triángulo de Reuleaux están las pastillas Smint y lápices con esta forma por suponerla más ergonómica.

y otros muchos más que puedes ir descubriendo.

===============================================

Este artículo participa en la Edición 2.7. del Carnaval de Matemáticas de octubre de 2011, en esta edición el blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia

Paradoja: El cuerno de Gabriel o La Trompeta de Torricelli.

2011-10-01T12:04:00.017+02:00

El Cuerno de Gabriel, también, llamado Trompeta de Torricelli, es una figura geométrica que se caracteriza por tener una superficie infinita que encierra un volumen finito.

Esta figura, fue ideada por el matemático y físico Evangelista Torricelli,( 1608-1647) que demostró que la superficie generada por la hipérbola “y = 1/x”, al girar sobre el eje x , con x tomando valores desde 1 a infinito, es infinita, y sin embargo, el volumen definido por dicha superficie es finito.

Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como una paradoja increíble, incluso para el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito que hizo intervenir almismísimo Thomas Hobbes.

La paradoja sin más era: puesto que la superficie interior es infinita, para pintarla necesitaríamos una cantidad infinita de pintura, sin embargo sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura que pintaría esa superficie.

¿Puede una superficie infinita encerrar un volumen finito?
Esta paradoja se dio antes de la existencia del cálculo integral.

Hallemos la superficie y el volumen con integrales, en principio, entre 1 y a

Si a tiende a infinito el volumen será finito.
Si a tiende a infinito la superficie es infinita

Se dieron, en aquel tiempo, varias explicaciones a esta paradoja.
Una de esas soluciones es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Pero, esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura que contenga sea infinita.
También se barajaba, que una trompeta de estas características no se podría construir, que si alguien invetase una pintura con átomos o moléculas sin grosor necesitaríamos una cantidad infinita de tiempo para pintarla y llegar al fondo e infinita cantidad de pintura que necesitaría un infinito espacio para almacenarla......
¿Qué opinas tú?

Teorema de Viviani: elegante y sencillo

2011-09-21T10:18:00.001+02:00

El Teorema de Viviani dice que la suma de las distancias, de un punto P situado en el interior de un triángulo equilátero, a los tres lados, con independencia de la situación donde esté el punto es igual a la altura del triángulo.

Este teorema debe su nombre al matemático italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) nacido en en Florencia. Galileo Galilei quedó tan impresionado por el talento de Viviani que lo contrató como colaborador con sólo 17 años, trabajaron juntos, en su villa de Arcetri, donde se había retirado al ser condenado por la Iglesia, hasta su muerte en 1642.

Tras la muerte de Galileo, Viviani recopiló y publicó su obra en 1655 y además escribió una biografía de Galileo que fue publicada póstumamente en 1717.

En el museo de Historia de Florencia se encuentra la pintura de Tito Lessi que muestra a Galileo Galilei junto a su asistente Vincenzo Viviani.

En 1690 publicó la versión italiana de los Elementos de Euclides y tradujo trabajos de Arquímedes y Apolonio.
También hizo estudios de ingeniería y resistencia de materiales. Junto con Borelli calculó la velocidad del sonido en el aire, que dio como resultado 350m/s. Esta aproximación era mucho mejor que la que se tenía hasta entonces que era de 478m/s y se aproxima a la actual de 331.29m/s.

También, Una curva lleva su nombre La curva de Viviani que está definida como la intersección de un cilindro y una esfera cuyo radio es igual al diámetro del cilindro, con la condición que el cilindro pase por el centro de la esfera.

El Teorema de Viviani es un teorema interesante por la cantidad de demostraciones que tiene y por su utilidad pedagógica a la hora de enseñar geometría, hay varios problemas de ingenio sobre este teorema: ¿En una isla con forma de triángulo equilátero ¿dónde colocar una cabaña de modo que la suma de las distancias a los tres playas sea mínima?....Es asombroso que da igual en qué punto esté. Todos los puntos del triángulo cumplen esa propiedad.

Veamos dos demostraciones: Demostración1, Mostración2

Este artículo participa en la Edición 2.6. del Carnaval de M atemáticas que en esta ocasion se encuentra albergado en el blog anfitrión La vaca esférica.

Una demostración sencilla del Teorema de Viviani

2011-09-21T09:35:00.003+02:00

Una demostración sencilla sería:
1..- Dado el triángulo equilátero ABC de lado a y un punto P en su “interior”.

2.- Construimos los triángulos ABP, ACP, y BCP

3.- El área del triángulo ABC será a•h/2 ( con h la altura del triángulo equilátero ABC)

3.- El área de ABP será a•n/2; la del ACP a •m/2 y la del BCP a •l/2

4.- Igualando a•h/2 = a•n/2 + a•m/2+a•l/2 = a•(l+m+n)/2

de donde se deduce que h = l + m + n siendo h la altura del triángulo ABC.

Esbozo de una "mostración" del teorema de Viviani

2011-09-21T09:27:00.000+02:00

Vamos a esbozar geométricamente el Teorema de Viviani .
Como se verá no es una demostración rigurosa, ni siquiera demuestra sino "muestra" este teorema pero pensamos que puede dar bastante juego en alguna clase de la ESO para manipular y trabajar con triángulos equiláteros.

1.- Construimos un triángulo equilátero ABC y un punto P en su interior y trazamos las perpendiculares desde ese punto a los lados y la altura del ABC. (Fig. 1 )

2.- Construimos triángulos equiláteros con un vértice en P en los que esas perpendiculares, son las alturas. ( rayados en verde)

3.- En este ejemplo trasladamos el triángulo, rayado, más pequeño hacia el vértice C. ( también se podría trasladar el triángulo grande al vértice C).

4.- Observamos que la suma de las alturas de los tres triángulos rayados es igual a la altura del triángulo ABC.

Manipulación sencilla donde se nos "muestra" el Teorema de Viviani

Este teorema tiene un sinfín de demostraciones que son muy ilustrativas y que resultan un buen ejercicio de geometría para los alumnos.

La magia del 6.174. La constante y el número de Kaprekar

2011-09-13T17:36:00.012+02:00

Leyendo este verano El club McLaurin de Félix Remirez Salinas, un relato matemático, finalista del concurso literario “Relatos Cortos RSME-ANAYA 2009” que está publicado en el libro La conjetura de Borges (2011), recopilación de relatos matemáticos finalistas de dicho concurso aparece el número 6.174 como la constante de Kaprekar.

Este número, que se llama así por el matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar, (1905–1986) que la descubrió en 1949 , tiene una interesante y casi mágica propiedad a saber:

1.- Tomamos un número de cuatro dígitos distintos. ( también sale si hay 2 ó 3 cifras repetidas, sólo con los cuatro repetidos no sale)

2.- Se ordenan de mayor a menor esos dígitos y obtenemos el mayor número que se obtiene de esos dígitos
3.- Ordenamos de menor a mayor obteniendo el menor número posible que se puede formar con esos dígitos.
4.- Los restamos
5.- Si el resto no da 6.174 volvemos a repetir los pasos anteriores, hallamos el mayor y menor número que se pueden formar con esos dígitos y restamos.
6.- y así sucesivamente entonces SIEMPRE se llaga al 6.174.

Ejemplo:
1.- Sea el 6.354
2.- Se forman el 6.543 y el 3.456 que restamos y da 3.0873.

3.- Con 3.087 se forma 8.730 y 0.378 que restados da 8.3524

4.- Con 8.352 se forma 8.532 y 2.358 y restados da 6.174

Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras y en un máximo de 7 pasos se llega al número 6.174. Curioso, ¿verdad?.

Si para los números de 4 cifras existe una constante de Kaprekar, ¿Existirá para los de tres, y de cinco…?

Para los de tres sí existe es el 495. Para los de 5 no existe.

Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otro número de dígitos no se llega a ninguno sino a ciclos,( con 5 cifras y 7) o por qué para complicar la cosa a veces se llega a varios números posibles ( con 8 y 9 cifras) y también a varios números y ciclos( para 6 cifras y 10) . ¿Habrá algún número con más dígitos que converja en un solo número parecido al 6174? No se sabe. Es uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, y bien podría ser simplemente algo puramente circunstancial: una gran coincidencia.El nombre de Kaprekar además de estar asociado a su constante está asociado a los números de Kaprekar.

Un número de Kaprekar es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original.

Ejemplos de números de Kaprekar

Ejemplo1: El 9, pues, 9 al cuadrado es 81 que se descompone en 1 + 8 = 9
Ejemplo2: El 297 su cuadrado es 88209 y vemos que 88 + 209 = 297
Ejemplo3: El 703 pues 703 al cuadrado es 494209 que se descompone en 494 + 209 = 703

En base 10 los primeros números Kaprekar son : 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, …
En base 2 todos los números perfectos son números de Kaprekar.
En cualquier base existen infinitos números de Kaprekar, en particular, dada una base b, todos los números que resultan de restar la unidad a b elevado a n , con n un número entero son números de Kaprekar.
Así en base 10 :
100 -1 = 99, también 1000-1 = 999; también 1000 -1=9.999;...

Sobre Espirales

2011-06-02T10:31:00.008+02:00

ESPIRAL LOGARÍTMICA O ESPIRAL MARAVILLOSA

Es la espiral más común en la naturaleza. Esta forma geométrica se puede encontrar en las conchas de los moluscos, en las galaxias, en los patrones meteorológicos, en los patrones de vuelo de aves e insectos y en los patrones de construcción de las telarañas.

Fue investigada por Jakob Bernoulli, que la llamo Spira Mirabilis (Espiral Maravillosa). Impresionado por sus propiedades, pidió que fuera grabada en su tumba (Basilea 1782) con la máxima “eadem mutata resurgo”, aunque por error se grabó una espiral de Arquímedes.

La espiral logarítmica se distingue de la de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica.

Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. La Vía Láctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.

Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.

ESPIRAL HIPERBÓLICA O ESPIRAL RECÍPROCA.

Es también llamada Espiral Reciproca y es considerada la espiral inversa a la de Arquímedes. Es uno de los tipos de espiral más comunes en la naturaleza. Se halla generalmente en las conchas de los moluscos (en especial de la familia Gasterópoda) y en los centros de las flores.

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES O ESPIRAL ARITMÉTICA.

La espiral de Arquímedes fue descrita por Arquímedes en su libro De las Espirales en el siglo III antes de Cristo., se llama también espiral aritmética.

Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que a su vez gira alrededor de un punto de origen fijo con una velocidad angular constante.
Esta curva se distingue por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes.

Al hablar de espirales, la primer forma que se nos viene a la mente es este tipo de espiral. El matemático Arquimedes utilizo esta sencilla forma para crear la hélice y así poder inventar el "Tornillo de Arquimedes". mecanismo usado hoy en día para transportar líquidos a diferentes niveles verticales.

Las espirales representan la fuerza de vida. Muy típica de las espirales celtas es la espiral de tres brazos o "trisquel".

ESPIRAL DE CORNÚ O CLOTOIDE (véase boletín nº 15, junio 2009 ).

La espiral de Cornú o clotoide, en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.

Por ello, en el punto origen de la curva, el radio es infinito y se usa en la construcción de carriles de aceleración y deceleración en las autovías, autopistas, vías ferroviarias y montañas rusas.

Los loops (vueltas) son arcos de clotoide, ya que su forma alargada y simétrica evita la influencia de la fuerza centrípeta en los vehículos al tomar las curvas.

ESPIRAL DE FERMAT. ESPIRALPARABÓLICA

Espiral Parabólica es un tipo de espiral poco común en el mundo natural, la espiral de Fermat se halla más que todo en los cálculos y las ecuaciones para determinar coordenadas.

Llamada así en honor al científico y matemático Pierre de Fermat, la espiral de Fermat es considerada una versión más avanzada de la Espiral de Arquimedes. También es conocida como la Espiral Parabólica.

ESPIRALES EN EL ARTE: LA ESPIRAL DE DURERO

En 1525, Alberto Durero (1471-1528) famoso grabador y pintor del Renacimiento alemán, publica una obra titulada:” Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”.

En ella enseña varios métodos para construir diversas figuras geométricas. Entre esas figuras, destaca la construcción con regla y compás de algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero. Esta espiral es muy famosa en el arte ya que tras ella se encuentra el número de oro .Se construye a partir de los rectángulos áureos, que son aquellos en que la razón de sus lados es fi, ɸ, el número de oro.

CONSTRUYE TÚ PROPIA ESPIRAL DE DURERO

No es ni una espiral de Arquímedes ni una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás.

Sin embargo se aproxima más a la logarítmica.

Si a un rectángulo áureo le quitamos un cuadrado de lado, el lado menor del rectángulo, el rectángulo que queda es semejante al primero, luego, también, áureo.

Construimos una sucesión de rectángulos áureos y cuadrados encajados y unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, con centro otro vértice del mismo cuadrado, uniendo estos arcos obtenemos la Espiral de Durero.

SUCESIÓN DE FIBONACCI : La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales: 1,1,2,3,5,8,13,…….¿Sabrías continuarla?.Al construir rectángulos cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo y puedes dibujar la espiral de Durero.

¡¡ Ha salido el boletín nº 25 !!

2011-06-01T21:25:00.003+02:00

El número 25 de los boletines Sacit Ámetam ya está en nuestras manos.

Este boletín está dedicado de forma monográfica a las espirales.
En él encontraremos:

- La espiral de Arquímedes.
- La espiral Logarítmica o Spira Mirabilis.
- La espiral de Cornú o clotoide.
- La espiral Hiperbólica.
- La espiral de Durero.

Con este número cerramos un ciclo de 5 años ininterrumpidos de editar los boletines Sacit Ámetam , en este tiempo hemos sacado 25 números. Este número te lo puedes descargar, en PDF, así como todos los anteriores en la página de boletines Sacit Ámetam.

Cita del boletín nº 25

2011-06-01T20:09:00.002+02:00

En el boletín nº 25 figura la siguiente cita:

“ Eadem mutata resurgo”
Aunque cambiada resurgiré.

Esta frase quiso el matemático Jakob Bernouilli ( 1655 - 1705) que fuese grabada en su tumba como epitafio.

Lo curioso es que el cantero que debía grabarla no colocó la Spira Mirabilis, como deseaba Bernouilli, sino la Espiral de Arquímedes. No supo diferenciarlas.

Un libro de mates en 1º de la ESO

2011-05-31T18:41:00.006+02:00

Presentamos un resumen realizado por los alumnos de 1º D de la ESO de la lectura del libro: El asesinato del profesor de matemáticas de Jordi Sierra i Fabra de editorial Anaya.
Durante el 2º trimestre cada alumno tenía que estudiar y luego presentar a toda la clase uno de los enigmas o pistas que aparecían en el libro.
El resultado es esta revista donde figuran los trabajos de los alumnos:
También se ha hecho un Power-Point de dicho trabajo.
(Hemos respetado la grafía y los dibujos, que nos perdonen los de Lengua y los de Plástica)

Matemáticas en el Arte Románico

2011-04-13T16:58:00.016+02:00

"El esplendor del románico" es el títitulo de una exposición que podemos admirar en Madrid hasta el 15 de Mayo en la Fundación MAPFRE. Su contemplación nos lleva a ver cómo las matemáticas se encuentran entrelazadas con el arte románico.

El arte románico es la corriente estilística que se extiende en buena parte de la Europa cristiana desde finales del siglo X hasta bien entrado el XIII. Llamado así por su predecesor el arte romano y por la aparición de las lenguas románicas (evolucionadas del latín). Vamos a ver cómo las matemáticas influyen en:

1.- ARQUITECTURA : Los elementos de su arquitectura se traducen en el exclusivo uso de la geometría clásica, es decir, de las figuras geométricas más simples. Es una arquitectura de "escuadra y compás" donde cuadrados, círculos, cubos y cilindros… se disponen con un sentido estricto del orden y de la simetría.

La belleza y armonía que transmiten no es el resultado accidental del artista es un hecho calculado.

- El plano divino viene configurado por las formas circulares de las bóvedas, las cúpulas, los arcos de medio punto, arquivoltas y el ábside.

- El plano terrestre y humano, por las formas poligonales (cuadrados, rectángulos, etc.) de los tramos de las naves y del crucero, así como de los diferentes alzados de las fachadas.

2.- ESCULTURA: Sigue los mismos planteamientos que la arquitectura de sometimiento al orden racional y la lógica. La "Ley del Marco" y la "Ley del Esquema Geométrico" enunciadas por Henri Focillon lo reflejan.

Las figuras se organizan, no según formas naturalistas, sino adaptándose a formas geométricas, triángulos, cuadrados o bandas rectangulares, curvas de arcos. Por ello, en la escultura románica de portadas, cabeceras y ventanas podemos encontrar personajes o animales achaparrados o de altura excesiva, a menudo realizando escorzos imposibles, y frecuentemente con perspectivas absurdas para adaptarse al marco arquitectónico.

Dos ejemplos 1.- El Pórtico de la Gloria (fig 1), Santiago de Compostela, los 24 ancianos del Apocalipsis se acomodan en los radios de la semicircunferencia de la arquivolta y 2.- “La duda de Santo Tomas”, Monasterio de Silos (fig. 2)

3.- PINTURA: Figuras planas, no interesa la perspectiva, porque lo que se busca es trasladar al espectador a un universo simbólico, abstracto. Las figuras destacan por la geometría de sus formas, volúmenes geométricos, pliegues y composiciones simétricas. Fig 3: "Adoración de los pastores" en San Isidoro de León, “Capilla Sixtina del románico”.

También en la siguiente foto de la portada de un altar románico del siglo XII en la Seo de Urgel, que podemos contemplar en la exposición comprobamos las figuras geométricas fundamentales para la composición de dicha pintura. --------------------------------------------------------------
Esta entrada participa en la Edición 2.3. del Carnaval de Matemáticas de abril. En esta edición el blog anfitrión es Los Matemáticos no son gente seria donde se recopilarán todas las entradas que se publiquen en esta edición.

------------------------------------------------------------

¡¡ Ha salido el boletín nº 24 !!

2011-04-11T08:16:00.010+02:00

Ha salido el Boletín Sacit Ámetam nº 24 correspondiente al mes de abil de 2011. En él encontrarás:
- Románico y Matemáticas, cómo las matemáticas determinan el estilo románico en arquitectura, escultura y pintura

- La prueba del nueve para comprobar si una división está bien hecha o no -

- Un cómic, realizado por Joao Penichet, alumno de 3º de la ESO de cómo son los matemáticos.

Te puedes descargar todos los boletines en PDF yendo a la página de Boletines Sacit Ámetam

Cita en el boletín nº 24

2011-04-10T19:46:00.003+02:00

"La belleza de los colores recrea la vista, la amabilidad de la melodía deleita el oído, la frescura del olor el olfato, la dulzura del sabor el gusto y la proporción del cuerpo el tacto"

Hugo de San Víctor

Teólogo cristiano del Medievo, Sajonia (1096-1141)

Usted es matemático ¿verdad?

2011-04-02T19:58:00.002+02:00

En este cómic realizado por Joao Penichet, alumno de 3º de la ESO, se nos presenta una visión de los matemáticos.

" Dos hombres hacen una excursión en globo. De repente se levanta un viento huracanado. El globo se va a la deriva. Amaina la tempestad. Los tripulantes del globo se han salvado por los pelos. No tienen ni idea de a dónde han ido a parar. Se disponen a aterrizar en un prado. Abajo ven un paisano que les observa. El globo está a unos 20 metros del suelo.

- Oiga buen hombre le pregunta uno de los tripulantes, ¿nos podría decir dónde estamos?

El hombre se queda pensando, callado, un minuto, dos...

- Ustedes están en un globo , contesta por fin.

El otro tripulante le hace una pregunta, casi afirmando. - Oiga, usted es matemático ¿verdad?

El paisano se queda sorprendido. Sí, ¿por qué lo dice?

Por tres razones, le explica el del globo.

Una, porque lo que nos ha dicho es cierto.

Dos, porque le ha costado mucho tiempo responder.

Y tres, porque su contestación no nos sirve absolutamente para nada."

Del libro Todo por demostrar, antología de relatos matemáticos (2010)

Marie Sophie Germain: aniversario de su nacimiento. Primera mujer en la Academia Francesa de las Ciencias

2011-03-31T18:15:00.007+02:00

Marie-Sophie Germain, mañana, 1 de abril cumpliría 235 años, nació en París en 1776.

Inició sus estudios matemáticas a la edad de trece años, después de leer la Historia de las Matemáticas de Jean-Baptiste Montucla, (le impresionó la muerte de Arquímedes, asesinado por un soldado romano, mientras estaba absorto en sus cavilaciones, a pesar de una orden del general Marcelo de respetar la vida del gran matemático) . Sus padres se opusieron e intentaron persuadirla de que se dedicara a una actividad "reservada a los varones". Eran los años convulsos de la Revolución Francesa.

Pero ella seguía leyendo a escondidas y de noche, mientras sus padres dormían. Fue tal su tenacidad venció la resistencia de sus padres que aunque no comprendían su dedicación a las Matemáticas terminaron por dejarla libre para estudiar.

Tenía 18 años en 1794, cuando se fundó la Escuela Politécnica de París. Como las mujeres no eran admitidas, (la Escuela Politécnica no admitirá mujeres hasta 1972), seguía estudiando por medio de los apuntes que conseguía de algunos cursos. Al final del período lectivo los estudiantes podían presentar sus investigaciones a los profesores, Sophie presentó un trabajo firmándolo con el pseudónimo de Antoine-Auguste Le Blanc. El trabajo impresionó al gran matemático Joseph Louis Lagrange (1736-1813) por su originalidad y quiso conocer a su autor.

Al saber su verdadera identidad, la felicitó personalmente y le predijo éxito como matemática, animándola de esta forma a seguir estudiando. Lagrange reconoció el talento matemático por encima de los prejuicios y decidió convertirse en su mentor.

Entre 1804 y 1809, comenzó a cartearse con Carl Friedrich Gauss (1777-1855) después de leer su famoso Disquisitiones Aritmeticae (1801), de nuevo bajo pseudónimo. Con motivo de la conquista de Prusia por Napoleón en 1806, y recordando la muerte de Arquímedes, temió por la vida de Gauss y se puso en contacto con un militar amigo de su familia, el general Pernetti, para pedirle que velara por su seguridad ante la ocupación de Brunswick (Braunschwig) ciudad natal de Gauss. El militar le comunicó que había contactado con él y que Gauss agradecía su mediación, pero que afirmaba no conocer a Sophie Germain. En la siguiente carta que le escribió tuvo que revelarle la verdad: ella era M. Le Blanc .

Gauss contesto lo siguiente: “Pero cómo describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr. Le Blanc se metamorfosea […] cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior”.

En 1816 consiguió el “Prix Extraoirdinaire”, de la Academia Francesa de las Ciencias, después de haber sido rechazada en dos ocasiones anteriores ( 1811 y 1813), A partir de entonces consiguió el respeto y el reconocimiento por parte de la comunidad científica fue la primera mujer que asistió a las sesiones de dicha Academia junto a los grandes matemáticos de la historia.

En 1830, a instancias de Gauss, la Universidad de Göttingen acordó otorgar a Germain un grado honorífico; pero antes de que ella pudiera recibirlo, murió de cáncer de mama un 27 de junio de 1831.

APORTACIONES MATEMÁTICAS:

Hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la elasticidad. Los primeros trabajos en Teoría de Números los conocemos a través de su correspondencia con Gauss . En 1808 comunicó a Gauss su más brillante descubrimiento en Teoría de Números. Demostraba que si x, y, z son números enteros, tales que x^5 +y^ 5 +z^ 5 =0 entonces, al menos uno de los números x, y o z debe ser divisible por 5. Más tarde generalizó este resultado en el teorema que hoy lleva su nombre. El Teorema de Germain : demuestra que si n es un número primo tal que 2n +1 es primo, entonces el primer caso del teorema de Fermat es verdadero.

Lo que que constituyó un paso importante para demostrar el último teorema de Fermat (demostrado en 1995).

En Teoría de Números se dice que un número natural es un número primo de Germain si se cumple que cuando el número n es primo entonces, 2n + 1 también lo es. Los números primos de Sophie Germain inferiores a 200, son: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191.

En 1809 comienza con el estudio de la elasticidad intenta descubrir las ecuaciones diferenciales de las superficies vibrantes y describir el comportamiento estático y dinámico de las placas en puntos del interior, obtuvo una ecuación en derivadas parciales de sexto orden en la que buscaba soluciones regulares, en casos particulares, mediante series trigonométricas.

Descartes matemático : aniversario de su nacimiento

2011-03-28T08:52:00.004+02:00

El próximo jueves, 31 de marzo, René Descartes cumpliría 415 años.

Descartes matemático.

En su tiempo Descartes fue conocido como matemático. Sus contemporáneos le consideraban el primero de los grandes matemáticos, en segundo lugar figuraba Pierre de Fermat (1601-1665) y en tercer Guilles P. Roberval

(1602-1675).

Parece ser que lo que decidió a Descartes inclinarse por las matemáticas fue su encuentro con el matemático holandés Isaac Beeckman (1588-1637). Cuentan que, siendo soldado en Breda, Descartes se encontraba mirando un cartel en el que un joven matemático dispuesto a ganar dinero desafiaba a los aficionados a resolver el problema que él planteaba. El interesado anotaba su nombre en el cartel y, si resolvía el problema, el retador le pagaba una suma fija.

Descartes le pidió a un hombre, a su lado, que le tradujera el problema. Ese hombre era Isaac Beeckman, quien accedió de buen humor y pidió al joven soldado que le mostrara el resultado si lo resolvía. Horas después, Descartes fue a verle y le mostró la prueba. Beeckman quedó tan asombrado de su solución que reconoció, al instante, el inmenso talento de Descartes y lo adoptó como discípulo.

Beeckman se dedicaba a la física matemática, y poseía unos cuadernos con refinados problemas y maravillosos dibujos y gráficas. Descartes tuvo acceso a ellos y pronto comprendió que se podía lograr algo grandioso mediante la aplicación de la matemática a los problemas mecánicos y prácticos de la física. A Descartes le entusiasmó tanto esta amistad casual, que en menos de cuatro meses informó a su amigo el descubrimiento de una nueva manera de estudiar la geometría: La Geometría Analítica.

Geometría Analítica:

A Descartes le inquietaban los métodos de los geómetras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas, pero se dio cuenta que carecían de un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y representación de curvas en unos ejes de gráficas.

Dibujó dos líneas una horizontal (eje x) y otra línea vertical (eje y); así, cualquier punto de la gráfica podía describirse con dos números. El primer número representaba una distancia en el eje x y el otro número representaba una distancia en el eje y (coordenadas cartesianas de un punto) a dichos ejes en la actualidad se les llaman ejes cartesianos en su honor.

Así ecuaciones algebraicas tenían una representación en unos ejes y viceversa, fue el primero en unir el álgebra y la geometría, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geometría analítica.

Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen, y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Usando esta técnica, podemos resolver problemas geométricos mediante el álgebra y problemas algebraicos mediante la geometría.

A Descartes se debe la utilización de las últimas letras del alfabeto ( x, y, z) para las incógnitas y las primeras ( a, b, c,..) para los coeficientes. También fue el primero que utilizó superíndices para expresa las potencias. Este método analítico contribuyó a que Newton (1642-1727) y a Leibniz (1646-1716) lograsen sintetizar el cálculo infinitesimal.

Descartes pensaba que: "En nuestra búsqueda del camino directo a la verdad, no deberíamos ocuparnos de objetos de los que no podamos lograr una certidumbre similar a las de las demostraciones de la aritmética y la geometría". Por eso trató de aplicar a la filosofía de entonces, los procedimientos racionales inductivos de la ciencia, y en concreto de las matemáticas. Y determinó no creer ninguna verdad hasta haber establecido las razones para creerla.

El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometría analítica como un apéndice modesto de su obra maestra Discurso del Método. Con un enorme éxito.

El método cartesiano no era del todo nuevo. Había un antiguo método de análisis matemático atribuido a Apolonio de Perga, que Descartes pulió

Descartes murió en 1650 en Estocolmo donde había sido llamado por la Reina Cristina de Suecia y está enterrado desde 1819 en la iglesia de Saint Germain des Prés, en Paris.

Curiosamente, justo enfrente del célebre café “Les deux Magots” lugar de encuentro de numerosos artistas desde Verlaine, Rimbaud y Mallarmé hasta Gide, Picasso, Sartre, Simone de Beauvoir….

¿Recuerdas la prueba del 9?

2011-03-18T16:14:00.010+01:00

---------------------------------------------------------------
Esta entrada colabora en la Edición 2.2. del Carnaval Matemático de marzo. En esta edición el blog anfitrión es Gaussianos donde se recopilarán todas las entradas que se publiquen en esta edición.

--------------------------------------------------
PRUEBA DEL NUEVE PARA LA DIVISIÓN:

Hace ya bastante tiempo, cuando nuestros padres iban "a escuela" o quizá nuestros abuelos... y un alumno quería saber si había hecho una "cuenta de dividir" bien o mal realizaba la siguiente operación llamada “prueba del nueve”.

Pregunta a tus padres y abuelos seguro que se acordarán.

Vamos a ver en qué consistía con un ejemplo: Queremos dividir 4.856 entre 35

Hagamos la división:

Tenemos que

- El Dividendo (D ) es 4856

- El divisor (d) es 35
- El Cociente (C) es 138
- y el Resto (R) es 26

Con cada uno de estos cuatro números:

1.- Vamos a hallar su valor módulo 9

Para ello, primero sumamos sus cifras y si da un número de 2 ( o más) cifras volvemos a sumarlas y así.... El número que da al final, de una sóla cifra, es su módulo 9 y coincide con el resto de la división del primer número entre 9.

( se dice que el número inicial es el final módulo 9.

Veamos

1.- Con D que es 4.856 ; sumo 4 + 8 + 5 + 6 = 23 ; 2 + 3 = 5 entonces 4.856 equivale a 5 (mód 9).

2.- Con C, que es 138, sumamos 1+ 3+ 8 = 12 ; 1 + 2 = 3; entonces 138 equivale a 3 (mód 9)
3.- Con d: 35, sumamos sus cifras y 3 + 5 = 8; luego 35 equivale a 8 (mód 9)
4.- Con R : 26 ,sumamos sus cifras y da 6 + 2 = 8 ; entonces 26 equivale a 8 (mód 9)
Construimos un aspa y vamos colocando los números de la siguiente forma:

2.- Comprobamos si la división está bien o no

Dibujamos un aspa y:
1.- Colocamos el divisor en la parte inferior d=8

2.- En la parte superior coloco el cociente c = 3

3.- en la izquierda coloco el dividendo D = 5
4 .- y ahora en la derecha coloco el resultado de multiplicar d • c (es decir casilla inferior por casilla superior 8 • 3 = 24 ) y le sumo el resto R = 26 da 50 que equivale al 5 módulo 9 ( es decir, 5 + 0 = 5 ) .
( o también multiplico d·c y le sumo r (mód 9), es decir, 8 · 3 + 8 = 32 que equivale a 5 (mód 9)

5.- Si coincide con el de la izquierda (el del dividendo) entonces hemos hecho bien la división.

Aquí coincide el 5 luego bien hecha la cuenta de dividir.

En resumen:

LA DIVISIÓN ESTÁ BIEN HECHA SI EL NÚMERO DE LA CASILLA DE LA IZQUIERDA COINCIDE CON EL DE LA DERECHA.
Lo que estamos haciendo es comprobar la siguiente igualdad:

Dividendo = Divisor por Cociente más el Resto

_________________________________________
P.D. Como nos indica Tito Eliatron en su comentario esta prueba no es infalible. Se puede asegurar, en general, que si una división está bien, supera la prueba del nueve y su equivalente si una división no supera la prueba del nueve no está bien. En resumen, esta prueba sólo nos sirve para detectar si hemos dividido mal.

Podemos ver su magnífico y completo post sobre este tema de mayo de 2009.

Sacit Ámetam en Carnaval Matemático Edición 2.2.

2011-03-18T16:00:00.000+01:00

El Carnaval Matemático es una iniciativa con la que se pretende fomentar la divulgación de las matemáticas a través de los blogs. En cada edición del Carnaval un blog ejerce de anfitrión y se encarga de recopilar todas las entradas publicadas en dicha edición

Del 14 al 25 de marzo se ha convocado la Edición 2.2. ( año 2, edición 2) y en esta edición el blog anfitrión es Gaussianos donde se recopilarán todas las entradas que se publiquen en esta edición.

Puesto que los objetivos son los mismos de Sacit Ámetam, nos proponemos colaborar con esta iniciativa que nos parece muy interesante para hacer llegar las matemáticas al mayor número de personas.

Método egipcio de "Regula falsi" para resolver ecuaciones

2011-02-22T08:31:00.002+01:00

El Papiro de Rhind o también llamado el Papiro de Ahmes, es un documento de unos 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho, que contiene una recopilación de 87 problemas de matemáticas entre los que hay fracciones, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, una aproximación del número pi, regla de tres,..... representa una fuente de información valiosísima sobre las matemáticas de aquella época,y aunque hay algunos errores de cálculo, los métodos de resolución son de gran valor, como el que expondremos aquí.

Fue escrito por un escriba llamado Ahmes alrededor del año 1.650 a.C. recogiendo escritos anteriores.

Se encontró en el siglo XIX, fue comprado por el anticuario escocés Henry Rhind en 1858 y se encuentra depositado desde 1865 en el Museo Británico en Londres.

MÉTODO DE "REGULA FALSI":

Lo que nos interesa en este artículo de ese papiro es el procedimiento que tenían, los egipcios, para resolver sencillas ecuaciones algebraicas del tipo
x + ax = b y también del tipo x + ax + bx = c,
mucho antes que Al-Kwaritzmi ( 780-850 ), "inventase" el Álgebra y estableciese el método general para la resolución de ecuaciones algebraicas de primer grado.

Este procedimiento de resolución se encuentra en los problemas números 24 y el 30 de dicho papiro.
El problema 24 dice " calcula el valor del montón si el montón y un séptimo del montón es igual a 19" .
El problema nº 30 tiene un enunciado mucho más complejo.

El método que utilizaban los egipcios fue llamado de "regula falsi" o de "falsa posición" y consistía en lo siguiente:

1.- Daban como solución un número al azar.

2.- Lo comparaban con el resultado que debía dar y que figuraba en el enunciado del problema.

3.- Ajustaban la solución erronea que les daba con la correcta, mediante una proporción.

4.- Y obtenían la solución correcta:

Resolvamos dos ejemplos, con la notación actual, utilizando este método.

Ejemplo1 : Halla un número tal que si le sumamos su quíntuplo da 36. ( En 1º de la ESO, ya se plantear la ecuación: sería resolver x + 5x = 36).

Veamos como aplicaban este procedimiento:

1.- Daban un número al azar como solución , sea x = 2 esa "solución falsa", al sustituirlo en la ecuación vemos que la suma de 2 con su quíntuplo ( 2 · 5 = 10) es 12 "resultado falso".

2.- El resultado que debería dar es 36. ( Como 36 se obtiene multiplicando el resultado falso (12) por 3 ).

3.- La solución verdadera se obtendrá multiplicando la "solución falsa" por 3 y da 6. Luego 6 es la solución de la ecuación inicial.

( Este tercer paso es sencillamente resolver la igualdad 12/36 = 2/x ).

Ejemplo 2: Si a un número le sumo su tercera parte y su doble nos da 40. ¿Cuál es ese número? ( sería resolver x + x/3 + 2x = 40).

1.- Damos una solución "al azar" sea el 3 ( solución falsa).
2.- A 3 le sumo su tercera parte, 1, y le sumo su doble, 6, nos da 3 + 1 + 6 = 10 ( resultado falso).
3.- Pero debería dar 40 ( resultado correcto ) que es 4 veces más que el falso.
4.- Luego "la solución correcta" debe ser 4 veces más que "la solución falsa".
5.- Es decir 3 · 4 = 12 que es la solución correcta.

Ingenioso método y unos 2.500 años antes de que se "descubriera el Álgebra"

Angela Merkel y las Matemáticas

2011-02-15T09:19:00.009+01:00

Angela Merkel, con 17 años, participó en la X Olimpiada Matemática celebrada en Teterow en 1971.

El domingo 13 de febrero, en el diario ABC, vemos un artículo titulado Kasi, la "jefa" en matemáticas, donde relaciona a Merkel con las matemáticas.

"Angela Merkel era la primera de su clase en matemáticas, sin esfuerzo aparente, dominaba los números y tenía preferencia por las cuentas claras" dice Hans Ulrich Beskow, antiguo profesor de matemáticas de la actual canciller alemana.

Merkel se doctoró en Física Cuántica en la Universidad de Leipzig en 1986. Había nacido en Hamburgo en 1954 pero, se trasladó a vivir con pocos meses a la Repúplica Democrática Alemana (RDA), despues de su doctorado, fue investigadora en la Academia de Ciencias de la RDA, y entró en política en 1989, después de la caída del muro de Berlín y desde noviembre de 2005 es Canciller de Alemania

En la siguiente foto aparece, con 17 años, en la X Olimpiada Matemática celebrada en 1971 en Teterow.

"Junto a tus compañeros, alcanza un alto rendimiento para honrar a la RDA" pone el cartel.

Angela Merkel es la del círculo.

Sofía Kovalevskaya: 120º aniversario de su muerte

2011-02-12T10:41:00.011+01:00

La matemática Sofía Kovalévskaya nació en Moscú en 1850 y murió el 10 de febrero de 1891, hace 120 años. Fue la primera mujer que se doctoró en Matemáticas y consiguió una plaza de profesora universitaria en Europa (Suecia, 1881).

A los trece años empezó según escribió en sus memorias "Comencé a sentir una atracción tan intensa por las matemáticas, que empecé a descuidar mis otros estudios". Como no entendía las igualdades trigonométricas las dedujo.

En 1865, la familia de Sofia se trasladó a San Petersburgo para que ella y su hermano menor pudieran seguir estudiando. Estudió geometría analítica y cálculo infinitesimal con el profesor Strannoliubski. Que quedó asombrado por la rapidez con la que comprendía complejos conceptos matemáticos
Hasta entonces a las mujeres se les impedía el acceso a la universidad, por lo que para seguir estudiando se casó con Vladimir Kovalevski y pudieron viajar a Heildelberg (Alemania) en 1869, donde tampoco la dejaron acceder a la universidad más que como oyente.
Pronto atrajo la atención de los profesores, que la recomendaron para estudiar en la Universidad de Berlín con Karl Weierstrass, considerado el padre del Análisis Matemático y el mejor matemático de la época. Allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las universidades, pero Weierstrass accedió a trabajar con ella y darle clases en privado entre 1871 y 1874.
En 1874 Weierstrass consideró que los trabajos de Sofia eran suficientes para obtener un doctorado.

Como en Berlín era imposible, lo solicitó en la Universidad de Göttingen, para que se le concediera el doctorado sin examen oral, sólo con los trabajos entregados.
Después de una enorme cantidad de gestiones, la Universidad aceptó y Sofia presentó tres tesis: dos sobre temas de matemáticas , ecuaciones en derivadas parciales y funciones abelianas reducidas a integrales elípticas y una tercera de astronomía sobre la estabilidad de los anillos de Saturno.

Su primer trabajo fue aceptado como tesis doctoral y se le concedió el grado de doctora “cum laude" en 1874. Primera doctora en Matemáticas.

Aunque Weielstrass trató de conseguirle trabajo, ninguna universidad quiso contratar los servicios de una mujer como docente.
Gracias a Mittag-Leffer, alumno de Weierstrass, Sofía pudo dar clases en la Universidad de Estocolmo al conseguir un nombramiento provisional por un año. El 30 de enero de 1884 da su primera clase y el curso siguiente fue nombrada oficialmente profesora por un periodo de cinco años. En mayo de 1889 fue nombrada profesora vitalicia en Estocolmo.
Durante este tiempo Sofia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos.

1.- Sus investigaciones se centran en el Análisis Matemático. Su nombre ha pasado a la historia por el Teorema de Cauchy-Kovaleskaya que formaba parte de una de sus tesis para obtener el doctorado fue publicado en Crelle´s Journal. Es un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales de orden k con condiciones iniciales para funciones analíticas.

2.- Fue reconocida en toda Europa por el estudio de los casos en los que las funciones abelianas pueden reducirse a integrales elípticas que fue publicado en el Acta Mathematica. Las funciones abelianas eran uno de los temas de investigación más importantes del siglo XIX,

3.- Su trabajo sobre los anillos de Saturno, publicado en la revista de Astronomía Astronomische Nachrichten en 1885. representa su aportación a la matemática aplicada.

4.- Su mayor éxito matemático fue su investigación “sobre la rotación de un sólido alrededor de un punto fijo” en el que resolvió las ecuaciones de Euler y por el que obtuvo el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París en 1888, fue la primera mujer que lo obtuvo y más tardeobtuvo el premio de la Academia de Ciencias de Suecia.

Sofia Kovalévskaya muere a los cuarenta y un años, de una enfermedad (gripe).

Según cuenta ella misma en su autobiografía:
"No entendía el significado de los conceptos, pero actuaban sobre mi imaginación, inspirándome un respeto por las matemáticas como una ciencia excitante y misteriosa que abría las puertas a sus iniciados a un mundo de maravillas, inaccesible al resto de los mortales".
Se han emitidos sellos y monedas en recuerdo a esta gran matemática.

Mini-Mates del boletín nº 23

2011-02-04T07:59:00.008+01:00

Estas son las Mini-mates que aparecen en el boletín nº 23 .

1.- PARADOJA DEL INFINITO

Tenemos el conjunto de números Naturales y lo
dividimos en dos mitades. Por un lado, los números
Pares y por otro, los números Impares.
Se comprueba que hay el mismo número de elementos
en la caja de los Pares que en la caja de los números
Naturales. ¿Cómo es posible?

2.- Encuentra el número
2.1.-¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras?

2.2.- Averigua tres números enteros cuya suma es igual a su producto.

2.3.-¿En qué cifra termina la siguiente potencia de 7?

3.- Una de primos:
El año 2011 es un número primo que curiosamente es la suma de tres números primos consecutivos, ¿cuáles son?

¡¡ Ha salido el boletín nº 23 !!

2011-02-01T07:47:00.004+01:00

Acaba de salir el boletín matemático Sacit Ámetam nº 23 de febrero de 2011.
En el podemos encontrar:
1.- ¿Dónde n ació D. Quijote? Un estudio matemático en el que se concluye que el pueblo con más probabilidad de ser cuna del Ingenioso Hidalgo es Villanueva de los Infantes en Ciudad Real.

2.- El Papiro de Ahmes ( o de Rhind) es un documento escrito fundamental para conocer las matemáticas en el Antiguo Egipto.

3.- Inaugurada una exposición matemática en Cosmocaixa, Alcobendas, de título Imaginary. Una mirada matemática, a la vez, la misma exposición itinerante recorrerá varias ciudades españolas.

4.- Varias mini-mates para agudizar la mente.

Puedes ver todos los boletines en PDF pulsando en el siguiente enlace y te los puedes descargar.
.
.

Cita del boletín nº 23

2011-01-31T14:56:00.000+01:00

La cita que figura en la portada del boletín nº 23 de febrero de 2011 es la siguiente

La ciencia de la caballería "Es una ciencia-replicó D. Quijote- que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa que el que la profesa....ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas...".

D. Quijote de la Mancha

Esta cita figura en el libro de El Quijote en el Capítulo XVIII de la 2ª parte, está en la página 776 de la edicion del Instituto Cervantes dirigida por D. Francisco Rico y editada en 1998.

Exposición matemática en Madrid: Imaginary. Una mirada matemática

2011-01-24T11:42:00.014+01:00

El 21 de enero , con motivo de la celebración del centenario de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), se ha inaugurado en CosmoCaixa, Alcobendas, la exposición Imaginary. Una mirada matemática, que pretende seducir al visitante, por la belleza que esconden las ecuaciones matemáticas , sus simetrías y sus singularidades.

Esta exposición ha sido creada por el Instituto de Investigación de Matemáticas de Oberwolfach (MFO) de Alemania, y gracias a la participación y colaboración con la RSME, podremos visitarla en Madrid hasta el 6 de junio.
Además existe otra exposición itinerante , con el mismo título, que recorrerá 13 ciudades españolas empezando el 27 de enero en Salamanca y acabando el 17 de mayo de 2012 en Barcelona. En cada una de las distintas ciudades permanecerá por término medio un mes. ( ve dónde y cuando)
En Madrid estará en las instalaciones de la Real Sociedad Matemática entre los días 19 de octubre y 15 de noviembre

Acercar el fascinante mundo de las matemáticas a los ciudadanos es uno de los objetivos principales de la exposición Imaginary. Una mirada matemática, en la que se combinan el arte, la educación y las matemáticas.

La muestra se compone de doce ilustraciones y esculturas en 3D basadas en fórmulas matemáticas a menudo sencillas, así como proyecciones de superficies matemáticas, además, tiene una parte interactiva en la que los asistentes pueden crear sus propias figuras matemáticas y comprobar lo interesante que puede ser la combinación artística entre álgebra, geometría e imagen. El visitante puede crear fácilmente formas bellas y armoniosas con el uso de la pizarra digital y el programa Surfer. (para poder seguir practicando, Imaginary brinda la posibilidad de descargarse este programa, capaz de hacer realidad cualquier ecuación fruto de la imaginación y conseguir que las matemáticas dejen de ser un hueso).

La representación de estas fórmulas se traduce en formas geométricas, algunas de las cuales ya existen en la naturaleza. No en vano la naturaleza ha producido, de manera espontánea y por acumulación de ensayos, formas bellas y armoniosas. Ensayar con el grado, probar con el signo, cambiar los coeficientes y transformar tu imaginación en ecuaciones son algunas de las posibilidades que ofrece la muestra.

Esta exposición nos invita a descubrir no solo la belleza de estas formas, sino lo que las hace posibles; saber qué tienen en común un cruasán, un limón y una peonza, o entender por qué un árbitro nunca se pondría en el centro del campo ante un posible clamor del público.
Imaginary invita al visitante a dejarse cautivar por la belleza de las figuras, que son el resultado del diálogo entre geometría y álgebra, y a explorar un mundo forjado a base de simetrías y singularidades.

Podemos ver una muestra virtual de esta exposición en el siguiente enlace
.

Matemáticas para conocer el valor de un jugador de fútbol

2011-01-21T18:52:00.004+01:00

Un equipo de investigadores de la Universida Politécnica de Valéncia, ha utilizado una fórmula matemática para conocer la tasación de jugadores de fútbol.

Dicha tasación, está basada en la aplicación de la Teoría Matemática de Decisión Multicriterio o AHP (Analytic Hierarchy Process).

En ella se tienen en cuenta la posición que ocupa en el campo , sus estadísticas deportivas ( número de goles, pases de gol, minutos jugados, asistencias, tarjetas, porcentaje de partidos jugados, tiros a puerta, faltas recibidas….), sus datos personales ( edad, disciplina, capacidad de liderazgo, integración en el quipo, …) , y , por último, sus aspectos contractuales ( fecha de finalización del contrato, resistencia del club a su venta,…).

Este tipo de estudio es de gran ayuda a la hora de elegir el jugador idóneo para jugar en una determinada demarcación dependiendo de las necesidades de un club y de la disponibilidad económica.

Este estudio se ha aplicado al caso concreto del jugador del Atlethic de Bilbao y de la Selección Española Fernando Llorente, y ha estimado su valoración en 33 millones de euros ( Enero de 2011) . En este caso concreto se han tenido en cuenta además, los traspasos de otros tres futbolistas, Villa ( del Valencia CF al Barcelona CF), Balotelli, (del Inter de Milán al Manchester City) y Robinho ( del Santos, donde jugaba cedido por el Manchester City, al AC Milán) realizados en la presente campaña como referente de la actualidad del mercado de futbolistas.

El equipo que ha llevado a cabo esta investigación de la Universidad Politécnica de Valencia está formado por Francisco Guijarro, Jerónimo Aznar y Vicente Estruch quienes comenzaron este tipo de estudios trabajando sobre la valoración de bienes tangibles (bienes agrarios y urbanos) hará unos diez años. Más tarde utilizaron la Teoría de Decisión Multicriterio ( AHP) en la valoración de obras de arte y activos ambientales. Ahora parte de este estudio se enfoca a la valoración de deportistas de élite.

Vemos que esta teoría es la misma que la empleada en el artículo para la determinación del lugar de nacimiento de D. Quijote por métodos matemáticos.

¿Dónde nació D. Quijote? Matemáticas "En un lugar de la Mancha..."

2011-01-17T10:15:00.021+01:00

En Villanueva de los Infantes , en la fachada de la iglesia de las Dominicas de la Encarnación, nos encontramos con cuatro placas - fechadas en agosto de 2006 - en las que se expresa el agradecimiento a un equipo de investigación de la Universidad Complutense de Madrid, dirigido por D. Francisco Parra Luna y D. Manuel Fernández Nieto, por el estudio “ El lugar de la Mancha es… El Quijote como un sistema de distancia-tiempo ” en el que se concluye que el pueblo con más probabilidad de ser “Un lugar de la Mancha…” es Villanueva de los Infantes , después de haber tenido en cuenta distintos aspectos sociológicos, literarios, topológicos. Dicho estudio se realizó en 2005, con motivo de la conmemoración del IV Centenario de la publicación de El Quijote.

En la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España , Volumen 102, nº 1, páginas 251-263, publicada en 2008, encontramos el artículo titulado: ¿De dónde era probablemente D. Quijote? Un enfoque estadístico.

En dicho artículo, los matemáticos , Fco. Javier Girón González-Torre ( Univ. de Málaga) y M. Jesús Rios Insua ( Univ. Complutense), nombrada en una de las placas de la iglesia de La Encarnación, aportan tres enfoques matemáticos distintos, para determinar el “lugar que no quiso poner Cide Hamete, por dejar que todas las villas y lugares de la Mancha contendiesen entre sí por ahijársele y tenérsele por suyo”.

Se parte de :

1.- La situación del lugar en el Campo de Montiel ( Prólogo; Cap. I; Cap. VII; Cap. LII de la 1ª Parte y en el Cap.VII de la segunda).
2.- Las distancias recorridas en las distintas salidas de D. Quijote a El Toboso, Puerto Lápice, Sierras Morena y Punto Tarfe ( Munera).
3.- La velocidad de las cabalgaduras, entre 30 y 35 km. por jornada (Caps. XI, XXVII, 1ª P).

Por los datos que se aportan en la obra se sabe que tardó dos días en llegar Sierra Morena (Cap. XXIX, primera parte) ; una noche y dos días a El Toboso ( Cap. XXXVII primera parte); dos días y algunas horas a Puerto Lápice ( Caps. XII a XXIV, primera parte); y, entre un día y medio y dos días a Punto Tarfe – Munera - ( Cap. LXXII, segunda parte).

En el artículo se analizan dos enfoques previos para resolver el problema: por una parte, el enfoque geométrico y el de la Teoría de Decisión Multicriterio, y por otra, además, un tercer enfoque, el estadístico, donde se proponen tres posibles modelos para determinar el "lugar de la Mancha... ¿Cómo se realiza? Se usan técnicas de selección de modelos y se elige el mejor y, a partir de ahí, se calculan las probabilidades a posteriori de los pueblos candidatos.
Veamos brevemente cada una de ellas
1.- La solución geométrica del problema consiste en trazar circunferencias con centro en cada uno de los cuatro destinos y radios proporcionales a la velocidad de las cabalgaduras, y después, hallar la intersección de las cuatro circunferencias.
Se observa que, para una velocidad de 30 km. por jornada las cuatro circunferencias se cortan en un punto muy próximo a Carrizosa. Para velocidades mayores a 30 km. por jornada, las cuatro circunferencias no se intersecan en un único punto, hay tres que se cortan en un punto y la cuarta, centrada en Sierra Morena, se aleja de ese punto. Ya que el camino hacia Sierra Morena debe de ser más tortuoso que los otros tres por la llanura manchega.
Si se aumenta la velocidad hasta llegar a 35-36 km por jornada el punto de intersección se desplaza en una línea hacia Villanueva de los Infantes.
Con este método se determina un eje Norte-Sur que incluye como posibles candidatos a los pueblos de Alhambra, Alcubillas, Fuenllana, Villanueva de los Infantes y Cózar, y por tanto, desecha todos los demás.

2.- Un segundo enfoque es el basado en la Teoría de Decisión Multicriterio, complementario del geométrico, que consiste en asignar a cada pueblo candidato P y a cada posible velocidad de las cabalgaduras "v", un vector de discrepancias d = (d1,d2,d3,d4) de cuatro coordenadas, que son las distancias de P a cada una de las cuatro circunferencias consideradas en el caso geométrico.
Ahora hay que comparar y ordenar todos estos vectores, siendo la solución aquel pueblo P , que para una cierta velocidad "v" minimice todas las coordenadas, es decir, que el vector de discrepancias para ese pueblo sea el vector nulo , d= (0,0,0,0).
Después de ciertos cálculos y de definir una función Z que asocia a cada pueblo y velocidad un número positivo para poder comparar los distintos pueblos se llega a que para una velocidad de 34 km por jornada Villanueva de los Infantes hace mínima esa función Z.

3.-Por último el enfoque estadístico: En este enfoque se va a considerar como datos básicos: la duración de las jornadas y distancias de los pueblos a los destinos que serán importantes para estimar el parámetro estadístico y la duración de las jornadas y coordenadas de los pueblos respecto a un origen de coordenadas.
(Se elige como origen de coordenadas a Venta de Cárdenas, por ser el lugar más al Sur y al Oeste del Campo de Montiel) esto será necesario para calcular las probabilidades a posteriori de cada uno de los pueblos candidatos a ese lugar buscado.
Además de los datos de distancia , velocidad y tiempo ya conocidos , intervienen un parámetro 0 que representa la distancia euclidea desde un punto genérico cualquiera del Campo de Montiel a uno de los cuatro puntos de destino, un factor de inflación de la distancia de un pueblo genérico a un destino, y un factor de variabilidad.
Con todos estos datos se establecen las hipótesis que dan lugar a tres modelos estadísticos posibles , selecionada la mejor, aplicado la técnica bayesiana descrita en Girón, Moreno y Martínez (2005), sigue una distribución con una Moda y Media Armónica.
Finalmente, a partir de esta distribución se calculan las probabilididaes a posteriori de cada uno de los pueblos candidatos y es de nuevo Villanueva de los Infantes el pueblo más probable, seguido muy de cerca por Fuenllana.

Para un análisis más preciso y riguroso, consultad el artículo en la revista anteriormente citada.

( A Juan y Pilar, infanteña de juventud )

Matemáticas egipicias: Papiro de Ahmes o de Rhind

2010-12-20T10:56:00.013+01:00

El Papiro de Ahmes, fue hallado en 1858 en Tebas, es un documento escrito en un papiro, en un buen estado de conservación, y se encuentra en la actualidad en el Museo Británico en Londres.
Está en escritura hierática y sus contenidos son de carácter matemático. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Tiene unos seis metros de longitud por 33 cm de anchura.
También se le conoce como Papiro Rhind , al ser adquirido en Luxor por el arqueólogo escocés Henry Rhind ( 1833-1863).
Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en 1650 a. C., se cree que es una recopilación de escritos anteriores, además de aportaciones originales del propio escriba.

Comienza con la frase: "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios".

Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que podría ser un documento con claras intenciones pedagógicas, o un cuaderno de notas de un alumno.
Para nosotros representa una guía de las matemáticas del Antiguo Egipto, pues es el mejor texto escrito en el que se revelan los conocimientos matemáticos.
En el papiro aparecen algunos errores, importantes en algunos casos, que pueden deberse al hecho de haber sido copiados de textos anteriores. Aunque en la resolución de los problemas aparecen métodos de cálculo basados en prueba y error, sin formulación y muchas veces tomados de las propias experiencias de los escribas, representa una fuente de información valiosísima.

- Contenido:
Contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritmética básicas, fracciones, cálculo de áreas y volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica, que han hecho de él un referente obligado para la comprensión de las ciencias matemáticas en el Antiguo Egipto.

Los egipcios escribían los números fraccionarios como suma de fracciones unitarias (las de la forma 1/n con n natural) por eso, antes de proponer el primer problema Ahmes, para facilitar los cálculos de los problemas, expuso dos tablas:
1.-Una de descomposición de n/10 para n = 1,...,9, en suma de fracciones de numerador 1
2.- y otra en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 también como suma de fracciones unitarias.

- Relación de problemas:
Hasta el problema 23 se resuelven por medio de fracciones unitarias
Del problema 24 al 29 son ecuaciones de primer grado que se resuelven por el método de “regula falsi”
Del 30 al 34 se resuelven por ecuaciones lineales un poco más complicadas.
A partir del problema 48 trata de geometría, áreas de triángulos, trapecios, círculos…desde el 56 al 60 problemas de pirámides con una trigonometría incipiente.
A partir del 60 proporcionalidad directa e inversa, repartos proporcionales, progresiones…

¡¡ Ha salido el boletín nº 22 !!

2010-12-01T12:15:00.004+01:00

Ya tenemos el boletín número 22 correspondiente al mes de diciembre de 2010. En él encontrarás: a) ¿Cuántos años faltan para que se acabe el mundo? a1) Leyenda de las Torres de Hanoi. a2) Explicación detallada del número de años para el fin del mundo. b) El Instituto Clay da un millón de dólares por la resolución de Los Siete problemas del Milenio . Se resuelve el primero y G. Perelman renuncia al millón de dólares. c) Varias mini-mates propuestas por alumnos del centro d) ¿Cómo Eratóstenes halla la longitud del radio de la Tierra? En la portada un mapa de Eratóstenes con la tierra conocida hasta ese momento. es la primera vez que se utilizan líneas para la latitud y longitud Deseamos que paséis un rato agradable Si quieres descargar otros boletines vete a la página de Boletines Sacit Ámetam donde encontrarás todos.

Cita en el boletín nº 22

2010-12-01T10:30:00.000+01:00

La cita que figura en ela portada del boletín nº 22 de diciembre de 2010 es:

" Ninguna investigación humana puede ser denominada ciencia si no pasda a través de pruebas matemáticas".

Leonardo da Vinci ( 1452-1519)

Yaroslav Serguéyev: Premio Pitágoras 2010

2010-11-20T20:46:00.002+01:00

El Premio Internacional Pitágoras, que se concede a grandes logros en materia de Matemáticas, se entregó al matemático ruso de 47 años, Yaroslav Serguéyev , catedrático ruso de la Universidad Lobachevski de Nizhni Nóvgorod (región del Volga), el pasado 5 de noviembre, en Crotona, sur de Italia.
Fue a Crotona donde se trasladó Pitágoras huyendo de la tiranía de Polícrates a mediados del siglo VI a.C. y donde fundó su famosa escuela.
El alcalde de Crotone, Peppino Vallone, al entregar el premio, dijo que existe una relación entre los estudios del laureado y las ideas del gran filósofo griego.
El premio fue otorgado a Serguéyev por sus métodos de solución de los problemas de optimación global y el desarrollo de una nueva aritmética que permite realizar cálculos de magnitudes infinitamente grandes e infinitamente pequeñas.
La idea del profesor Serguéyev fue que los problemas con el infinito se producen debido a imperfecciones en el lenguaje matemático existente, y desarrolló un nuevo lenguaje, o una nueva aritmética que le permite no solamente escribir un número infinitamente pequeño y grande, si no también realizar con ellos operaciones matemáticas habituales.
Para ello utilizó una computadora de nueva generación desarrollada y patentada por él, una nueva “máquina de infinito”, con las que obtiene unos resultados interesantes referentes a los fundamentos del álgebra y la teoría de la infinitud.
“Todo son números, como sostuvo Pitágoras”, reiteró el matemático galardonado “Desde la astronomía hasta la música, desde la ciencia hasta la vida cotidiana, todo se despliega con el lenguaje de los números”.
El Premio de Pitágoras, en su quinta edición, supone la gratificación de 15.000 euros.
Anteriormente entre sus nominados figuraban el matemático Andrew Wiles, que comprobó el último teorema de Fermat, y el matemático Edward Witten , especialistas en la teoría de cuerdas.
El profesor Yaroslav Serguéyev, galardonado ya por varios centros de la ciencia, es el autor de más de 180 investigaciones científicas. Tiene publicados cuatro libros y patentados tres inventos.

Matemáticas en la X Semana de la Ciencia en Madrid

2010-11-07T09:04:00.002+01:00

Dl 8 al 21 de noviembre se celebra en Madrid la X Semana de la Ciencia. con más de 700 actividades gratuitas que ponen al alcance de todos la ciencia y tecnología realizada en la Comunidad de Madrid.
La Semana de la Ciencia Madrid es uno de los acontecimientos más importantes de ciencia en Europa. Esta décima edición acoge a más de 400 organismos implicados con el objetivo común de acercar la ciencia y la tecnología a los ciudadanos.
Su objetivo es "alentar el desarrollo de relaciones armoniosas entre ciencia y sociedad, así como contribuir a que los científicos reflexionen de manera crítica y adopten una actitud más receptiva ante las preocupaciones de la sociedad".

Entre las actividades de esta Semana de la Ciencia relacionadas con las matemáticas se programan las siguientes:

1.- ¡¡ HOLA, SOMOS LAS MATEMÁTICA, FELIZ NAVIDAD!! ( LAS MATEMÁTICAS EN LA PUBLICIDAD).
Mesa redonda en la que se debatirá cómo las matemáticas aparecen en la vida cotidiana y cómo su conocimiento influye para desenvolverse en el mundo:
Se celebrará en el IES Beatriz Galindo, c/ Goya, 10, el miércoles 10 de noviembre a las 12:30 horas

2..- BIOGRAFÍAS DE ALGUNAS MUJERES MATEMÁTICAS.
Conferencia dirigida al público general y especialmente a alumnado de ESO y Bachillerato en la que se hace un recorrido histórico de mujeres matemáticas tratando sus logros y sus dificultades con el objetivo de divulgar sus biografías.
Se celebrará en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Camino, Canales y Puertos, Sala Verde, en la Ciudad Universitaria el jueves 18 de noviembre a las 16:00 horas.

3.- CONFERENCIAS EN LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES.
Conferencias sobre temas actuales de alto interés científico y tecnológico presentados de forma didáctica, asequibles al ciudadano medio Tras las conferencias se realizará un recorrido por las distintas dependencias del edificio, sede de la institución desde 1897, por la historia de la corporación y de sus académicos, así como de las actividades, programas y proyectos que desarrolla actualmente.
En la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales en c/ Valverde,22, Madrid los jueves 11 y 18 de noviembre de 2010 a las 19:00 horas

4.- EL UNIVERSO ULTRAVIOLETA. EXPLORACIÓN DESDE LA UCM: EXPOSICIÓN Y CONFERENCIA.
En marzo de 2007 España y Rusia firmaron un acuerdo para desarrollar el telescopio espacial World Space Observatory Ultraviolet (WSO-UV). Este telescopio se lanzará en 2013 y estará operativo hasta 2023, proporcionando acceso a la comunidad astronómica española al único telescopio ultravioleta que estará disponible en esa década. Esta serie de conferencias y la exposición están diseñadas para familiarizar al gran público con la ciencia y la tecnología que están detrás de este gran proyecto.
En la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid (UCM) el jueves 18 de noviembre a las 18:00 horas

5.- GRAFFITI Y MATEMÁTICAS:
Taller en el que alumnos de ESO y Bachillerato realizarán un graffiti conjunto de inspiración matemática bajo la dirección de diGo.aRt. La selección se realizará por un concurso de bocetos y ideas que se convocará en septiembre de 2010 (ver bases en página web). Consultar: www.icmat.es/graffiti.

Se realizará en los muros frente a la Residencia de Estudiante. Pabellón Transatlántico, c/ Pinar 21-23, el Jueves y Viernes, 18 y 19, de noviembre desde las 10:00 hasta las 19:00 horas.

6. LÓGICA BORROSA Y SUS APLICACIONES.
Mesa redonda y conferencia: Se introducen los conceptos teóricos de la lógica fuzzy, su uso en razonamiento aproximado, y se muestran ejemplos de motores de inferencia borrosas.
Se celebrará en la Escuela Técnica de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos. Universidad Politécnica. Sala Verde, el jueves 18 de noviembre a las 18:00 horas

7.- PASEOS CON MÖEBIUS, EULER Y HAMILTON.
Curso y Taller: Taller en el que tratará la resolución de una selección de problemas topológicos. Se buscan caminos “desorientados” con la Cinta de Möebius, recorridos por los puentes de las ciudades con río, y ciclos en las aristas de poliedros regulares. Se resuelven otros problemas utilizando grafos.
Se celebrará en la Escuela Técnica de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos. Universidad Politécnica. Sala Blanca, el jueves 18 de noviembre a las 12:00 horas

8.- VEN A CONOCER EL MUSEO DE ASTRONOMÍA Y GEODESIA (CSIC-UCM).
Jornada de puertas abiertas y visitas guiadas: En este museo agrupa una importante colección de instrumentos de Astronomía, Geodesia y Topografía (esferas celestes, teodolitos, taquímetros, brújulas, etc.) La actividad incluye una conferencia y una visita guiada al museo.

Se celebrará en el Aula Miguel de Guzmán y en el Museo en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UCM, de las Ciencias, Ciudad Universitaria, el lunes, 8 de noviembre a las 10:25 horas y el viernes 19 de noviembre a las 10:30 horas.

Muere Benoît Mandelbrot creador de la Geometría Fractal.

2010-10-18T19:59:00.013+02:00

El matemático Benoît Mandelbrot, creador de la geometría fractal, falleció el pasado jueves 14 de octubre en la ciudad de Cambridge en Massachusetts a los 85 años. Se le considera el padre de la geometría fractal, un campo de las matemáticas en el que fue considerado un pionero y divul gador. El término "fractal", del latín "fractus", roto, fue acuñado por Mandelbrot en 1975.

Había nacido en 1924 en Varsovia y emigrado a Francia en 1936 donde su tío Szolem profesor de matemáticas en el Collège de France le inicia en esta materia. Se doctoró en Matemáticas en 1952 en la Universidad de Paris. Se trasladó al MIT y a Pricenton donde coincidió con John von Neumann. Desde 1958 trabajó en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de IBM en Nueva York.

El padre de la geometría fractal desarrolló sus ideas mientras intentaba determinar cuál era la longitud de las costas británicas en un artículo publicado en la revista Science en 1967 donde expuso sus ideas iniciales sobre los fractales.
En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión que la geometría convencional. Y permite una nueva interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.
Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana. Según escribe en el prologo del libro citado anteriormente “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta”.

Es difícil dar con una descripción universal y absoluta del término "fractal". Una de sus propiedades consiste en que la estructura de sus partes es similar -no necesariamente idéntica- a la del conjunto entero.

Algunos ejemplos son un árbol, con sus ramas; una coliflor, aparentemente formada por un sinfín de minicoliflores unidas; la línea de costa de un país, un copo de nieve…..

Los fractales en la actualidad son indispensables en numerosas disciplinas:
Las formas fractales, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías y las espirales, como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan hechos extraordinarios , que dan lugar a nuevas realidades más complejas.
Las formas fractales se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos estudiados en la Teoría del Caos. En los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja ( ciclos) Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos
Se encuentran ejemplos de objetos fractales en ciencias sociales como la economía en el estudio del genoma humano, en la modelización del tiempo,…..

¡¡Ha salido el boletín nº 21 !!

2010-10-06T20:25:00.008+02:00

Quinto año publicando el boletín matemático.

En este boletín de octubre de 2010 podréis ver:

- Una reseña sobre el código de barras tan común en todos los artículos que compramos´- El código de barra y cómo hallar el Dígito Control de un código.

- "Metromáticas" Una idea del Metro de Madrid, puesta en funcionamiento el 15 de septiembre, en la que se muestran problemas de lógica e ingenio a los viajeros del metro.

- Cómo en Economía encontramos la sucesión de Fibonacci en el estudio de las variaciones de los mercados( propuesto por D. Carlos Pozas, profesor de Economía en el centro)

CÓDIGO DE BARRAS ¿cómo hallar el Dígito Control?

2010-10-05T20:28:00.001+02:00

El código de barras está basado en la representación de un conjunto de líneas paralelas verticales de distinto grosor y espaciado que en su conjunto contienen una determinada información y una serie de números. Permite la identificación de objetos de forma única, global y no ambigua.

De este modo, el código de barras proporciona numerosas ventajas, permite reconocer rápidamente un artículo, consultar sus características asociadas, controlar su seguimiento, disponer de estadísticas comerciales en el momento, bajo costo y agilidad en el etiquetado, mínimo porcentaje de error,…..

Se utilizan varios modelos de código de barras, en Europa se utiliza el EAN13 (European Article Numbers) porque consta de 13 dígitos y tiene una estructura dividida en cuatro partes.

a.- Los primeros dígitos del código de barras EAN identifican el país que otorgó el código, no el país de origen del producto. Así en España son dos dígitos 84. Hay países con tres dígitos.

Todos los libros empiezan por 978.

b.- Los siguientes forman el código de empresa, entre 5 y 8 dígitos.

c.- El siguiente es el código del producto, hasta completar los 12 dígitos.

d.- Y por último el último número que es el dígito control ( D.C.)

¿Cómo se obtiene el dígito Control de un código de barras?

1.-Numeramos los 12 dígitos de derecha a izquierda.

2.-Se suman los dígitos que ocupan la posición impar y se multiplica por 3.

3.- A este número le sumamos la suma de los dígitos que ocupan las posiciones pares.

4.- A la decena superior le resto el número obtenido y ese es el dígito control (DC)

Ejemplo en la imagen tendríamos el código 84-80150-10748-DC

2.- Sumamos 8+7+1+5+0+4 = 25 multiplico 25 · 3 = 75

3.- 4+0+0+1+8+8 = 21

4.- 75 + 21 = 96 como la decena siguiente es 100. Entonces 100-96 = 4 que es el D.C. que constituye el último dígito del código de barras

Cita en el Boletín nº 21

2010-10-05T20:12:00.001+02:00

Cita publicada en el Boletín nº 21 de octubre de 2010.

" Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuánto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción."

León Tolstoi (1828-1910)

Hallados dos mil billones de decimales de PI

2010-09-16T20:42:00.009+02:00

(Artículo publicado en el diario Público, hoy 16 de septiembre).

Investigadores en Yahoo desarrollan un algoritmo con el que han conseguido un nuevo récord en el eterno cálculo del enigmático número.

Nicholas Sze, un investigador de la compañía Yahoo, ha calculado el dígito dos mil billones del número pi.
Para ello, ha utilizado la tecnología Hadoop de computación en la nube de Yahoo, consiguiendo doblar el récord obtenido por un cálculo anterior.
El proceso se prolongó a lo largo de 23 días y se desarrolló en mil ordenadores. Este esfuerzo equivale a un solo equipo trabajando durante 500 años.
La forma de trabajar en este complejo cálculo se basa en un algoritmo denominado MapReduce, desarrollado originalmente por Google, que reparte grandes problemas en pequeños sub-problemas, combinando después los resultados y resolver desafíos matemáticos que de otro modo serían irresolubles.

Se realiza "Troceando pi" :

La búsqueda de versiones más largas del eterno número pi es un pasatiempo largamente desarrollado por matemáticos.
Pero este enfoque es muy diferente al del cálculo que relizó Fabrice Bellard que alcanzó a despejar el dígito número 2,7 billones en enero pasado.

En lugar de calcular el número completo, la fórmula de Hadoop trocea el cálculo en pequeñas ecuaciones, devolviendo el número en una sola pieza. "Nuestra fórmula puede calcular pequeños trozos de pi", explicó Nicholas Sze a la BBC inglesa.

Llegar a ese dígito que roza el infinito no parece tener una aplicación práctica inmediata. Sin embargo, conseguir que equipos informáticos realicen estos cálculos puede ser útil como demostración de lo que nuevos algoritmos podrían conseguir en otros campos, como la criptografía, la minería de datos o la física.

El jueves 4 de octubre de 2007 se publicó en este blog los primeros 800 decimales de PI que se encuentran en el Palais de la Découverte de París

Matemáticas en el Metro de Madrid

2010-09-15T07:44:00.000+02:00

A partir de hoy , 15 de septiembre, viajar en Metro será más entretenido para aquellos que quieran participar en “Metromáticas” un juego que sólo requiere ingenio y sentido común: Una serie de enigmas de lógica y matemáticas, se emitirán a través de Canal Metro y se renovarán semanalmente.
Las respuestas a los enigmas propuestos se podrán comprobar en la web de Metro http://www.metromadrid.es/.

Dos de los enigmas que nos encontraremos en las pantallas de Canal Metro son:
1.- Lucia dice a su abuelo "cinco por cuatro veinte más uno veintidós" ¿cómo es posible?

2.- “Si tres gatos cazan 12 ratones, ¿cuántos ratones cazarán cuatro gatos?“

Cada semana se propondrán dos enigmas nuevos , tanto en los andenes como en el interior de los trenes, cuyas soluciones el viajero podrá comprobar en la página web de metro.

Los enigmas tendrán una duración aproximada que variará entre los 20 y los 30 segundos y se repartirán por toda la franja horaria, desde la apertura del servicio hasta su cierre. Se renovaran los martes y los jueves.
Con esta iniciativa Metro de Madrid quiere hacer que el tiempo de espera en los andenes y el tiempo de trayecto de los clientes sea más ameno y entretenido. Es un proyecto que tiene como fin mejorar la calidad del tiempo que los clientes invierten viajando en el metro, a través de una forma divertida y sencilla en la que todos los que quieran pueden participar ya que sólo requiere ingenio y sentido común.

Esta iniciativa se puede llevar a cabo gracias a la colaboración de la Escuela de Pensamiento Matemático Miguel Guzmán que se encargará de desarrollar estos problemas para que los clientes interactúen y puedan probarse a sí mismos.

Solución mini-mates del verano

2010-09-01T12:05:00.018+02:00

He aquí solución de las mini mates planteadas el 22 de junio para resolver durante el verano

1.- ¿Cuándo atrapará el perro a la liebre?

Respuesta: cuando el perro dé 375 pasos.

Cada vez que el galgo da 10 pasos la liebre da 6, luego cada 10 pasos del perro la distancia se acorta 4 pasos.

Si da 10 pasos estarán a 146 pasos (150 - 4)

Si da 20 pasos (2·10) la distancia se acorta 8 pasos, estarán a 142 pasos (150 - 8=150 – 2·4)

Entonces si da n·10 pasos estarán a 150 - n·4 pasos

Cuando se junten 150 - n·4 = 0, quiere decir que n=37,5

Luego el perro alcanzará a la liebre cuando dé 375 pasos

2.- Una partición equitativa

Respuesta: Una moneda al primer pastor y siete al segundo. ¿Por qué?

Si un pastor pone 3 panes y el otro 5, son 8 panes a repartir entre las tres personas.

A cada una le corresponderá 8/3 de los panes.

El primer pastor pone tres panes y se come 8/3 luego 3 – 8/3 = 1/3 deja un tercio de sus panes al caminante, mientras que el 2º pastor pone 5 panes y se come 8/3, deja 5 – 8/3 = 7/3 de sus panes al caminante.

Luego el caminante se come 1/3 del primer pastor y 7/3 del segundo

Luego de las 8 monedas correspondería 1 al primer pastor y 7 al segundo

3.- Midiendo el tiempo

Respuesta: a las 4 horas 21 minutos y 49,09 segundos

El minutero avanza 360º cada hora y la aguja horaria 30º cada hora.

A las cuatro en punto el ángulo que forman las dos agujas es de 120º. Cuando se superpongan las dos agujas el tiempo transcurrido es el mismo para ambas y si la aguja horaria ha recorrido xº entonces el minutero habrá recorrido 120º + xº.

Entonces x/30 = (120+x)/360 resolviendo da x = 10,909090..grados ha recorrido la aguja horaria desde las 4 hasta que sea alcanzada por el minutero

Que traducido a unidades de tiempo da 1,81 minutos o 1 minuto 49,09 seg

Luego se juntan a las 4 horas 21 minutos 49,09 segundos.

4.- Velocidad del Nilo

Respuesta: Tardará 12 días.

Sea la velocidad del barco es vb y la del río es vr entonces se tiene que (vb + vr )· 2 =( vb – vr ) · 3 de ahí obtenemos que vb = 5vr es decir la velocidad del barco es 5 veces la velocidad del río.

por otro lado, veamos la distancia que hay entre las dos ciudades

S = (vb+vr)·2 = 6vr·2 = 12vr, es decir el espacio recorrido es 12 veces la velocidad del río

Luego una balsa de juncos que se deja arrastrar por la corriente tardarán 12 días en llegar de una ciudad a otra.

5.- Pirámides de números

La solución es:

6.- ¿ Cuanto mide un lunario?

Respuesta: 1 lunario equivale a 576,16 km.

la superficie de la esfera es:

el volumen de la esfera es

igualando el volumen y la superficie y despejando r nos queda r = 3.

Entonces para que el área en lunarios cuadrados sea igual al volumen en lunarios cúbicos el radio debe ser 3 lunarios, luego 6 lunarios , el diámetro equivalen 3.475 km.

Por tanto 1 lunario =579,16 km.

7.- ¿ Cuántos habitantes hay?

Respuesta: 540 habitantes

El número de habitantes de ese pueblo debe ser múltiplo de 3, 4, 5 y 9. Luego múltiplo de 180 que es su mínimo común múltiplo, por tanto será 540 habitantes, al ser el único múltiplo de 180 entre 500 y 600.

8.- ¿Cuánto mide el radio de este círculo?

Respuesta: mide 8 cm.

El radio será 8 cm. puesto que es la otra diagonal del rectángulo.

9.- Halla la longitud de los segmentos

Respuesta: 105 cm.

Si colocamos el mismo triángulo tal como vemos en la figura, aparece un paralelogramo y observamos que las líneas interiores son todas de la misma longitud .

Por tanto, la medida de todas las líneas será 7 · 30 = 210 cm. ya que el lado AB = 30 cm.

Entonces, la longitud que busco será la mitad de 210.

Respuesta 105 cm.

10.- ¿Cuántos alumnos fueron a la cena?

Respuesta: 6o alumnos

Hay un plato de ibéricos cada 4 uno de croquetas cada 3 y 1 de ventresca cada dos.

Cada 12 alumnos hay 3 de ibérico, 4 de croquetas y 6 de ventresca total 13 platos si hay 65 platos, 65:13 = 5 grupos de 12 alumnos

En total 12 · 5 = 60 alumnos

Wole Soyinka premio Nobel de Literatura y las Matemáticas.

2010-08-30T20:31:00.007+02:00

En una entrevista de Vicente Verdú a Wole Soyinka , publicada ayer, 29 de agosto, en El País Semanal , descubrimos la relación del primer Premio Nobel africano de Literatura con las Matemáticas.
Wole Soyinka nació en Abeokuta (Nigeria) en 1934 y recibió el Nobel de Literatura, el primero para un escritor africano, en 1986.

En 1967 pasó 27 meses en una cárcel por su oposición al régimen dictatorial y militar que gobernaba su país. En 1994 huyó de Nigeria. En la actualidad, Soyinka, convertido en un símbolo de la democracia y de la liberación de las poblaciones oprimidas, viaja por todo el mundo e imparte clase regularmente en Los Ángeles. Su obra, escrita fundamentalmente en inglés, se inspira en los mitos y en las tradiciones tribales, si bien emplea formas occidentales.

“En la cárcel no me permitían leer ni escribir y recurrí a las matemáticas” -dice Soyinka - "Estuve 27 meses en la cárcel de los cuales 22 incomunicado. Lo más difícil de soportar fue que no me permitían ni leer ni escribir. No tenían papel ni lápiz, estaba prohibido.
Pero luego me dije: ¿Qué más puedo hacer para ejercitar el cerebro? Y pensé: Matemáticas. En el colegio las odiaba. En cuanto pasaba de curso tiraba el libro de matemáticas por la ventana. Para mí eran una verdadera tortura.
Pero en la cárcel pensé: Voy a retomar esa asignatura que tanto odiaba. Y no fue una tortura, sino que me resultó fascinante. Me di cuenta de algunos aspectos estéticos de las matemáticas que tanto me frustraban en el colegio.
La forma que tienen las ecuaciones y la relación de esas formas matemáticas, que traducen el triángulo, el rectángulo, el rombo, el círculo, etcétera, a meros principios matemáticos. Me pareció fascinante.
Así que recuperé lo que me gustaba de las matemáticas, llegué a recordar todas las fórmulas, y me puse un montón de ejercicios, la ley de las permutaciones y combinaciones, ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones de segundo grado no las podía hacer sin un libro, pero por lo menos llegué a dominar las algebraicas… Me llevó días recordarlas, así que el tiempo se me pasaba volando.
Por ejemplo, me despertaba por la mañana e intentaba acordarme de la ley de las permutaciones, es decir, cuántas combinaciones puedes hacer con seis elementos distintos. Al trabajar sin ayuda, me llevaba días, y era siempre un proceso de ensayo y error".

Dibujaba rayas en la pared, en el suelo… Todo ello me ayudaba a tener la mente ocupada. Más tarde conseguí hacer una pluma y tinta a base de café, y seguí experimentando todo tipo de subterfugios que se me ocurrían y desarrollaba a través de un proceso muy lento.

Partirás al amanecer es un libro autobiográfico en el cual Soyinka rememora su vida de escritor y activista político, desde sus días de estudiante en Gran Bretaña, su lucha constante, a veces desde la prisión o desde el exilio, contra la sucesión de dictaduras en Nigeria, contra la humillación y la corrupción de una sociedad sometida al poder militar.
Editado en español en RBA en 2010